Distributionsfunktion

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 27. juni 2021; checks kræver 4 redigeringer .

Fordelingsfunktionen i sandsynlighedsteori er en funktion, der karakteriserer fordelingen af en stokastisk variabel eller tilfældig vektor; sandsynligheden for, at en stokastisk variabel X får en værdi mindre end x, hvor x er et vilkårligt reelt tal. Under visse betingelser (se nedenfor ), bestemmer helt den stokastiske variabel.

Definition

Lad et sandsynlighedsrum være givet og en stokastisk variabel med fordelingen defineret på den . Så kaldes fordelingsfunktionen af en stokastisk variabel funktionen givet af formlen: $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $x$ $\mathbb {P} ^{X}$ $x$ $F_{X}\colon \mathbb {R} \to [0,1]$

F_{X}(x)=\mathbb {P} (X\leqslant x)\equiv \mathbb {P} ^{X}\left((-\infty ,x]\right)

Det vil sige, at fordelingsfunktionen (sandsynligheder) for en stokastisk variabel kaldes en funktion, hvis værdi i et punkt er lig med sandsynligheden for en begivenhed , det vil sige en begivenhed, der kun består af de elementære udfald, for hvilke . $x$ $F(x)$ $x$ $\{X\leqslant x\}$ $X(\omega )\leqslant x$

Egenskaber

$F_{X}$ kontinuerligt til højre [1] : $\lim\limits_{\varepsilon \to 0+} F_X(x+\varepsilon) = F_X(x)$
$F_{X}$ falder ikke på hele tallinjen.
$\lim \limits _{x\to -\infty }F_{X}(x)=0$ .
$\lim \limits _{x\to +\infty }F_{X}(x)=1$ .
Fordelingen af en tilfældig variabel bestemmer entydigt fordelingsfunktionen. $\mathbb {P} ^{X}$
- Det omvendte er også sandt: Hvis en funktion opfylder de fire egenskaber, der er anført ovenfor, er der et sandsynlighedsrum og en tilfældig variabel defineret på den, sådan at det er dens fordelingsfunktion. $F(x)$ $F(x)$
Ved definitionen af ret kontinuitet har en funktion en ret grænse på ethvert punkt, og den er den samme som værdien af funktionen på det tidspunkt. $F_{X}$ $F_{X}(x+)$ $x\in \mathbb {R}$ $F_{X}(x)$
- I kraft af ikke-faldende har funktionen også en venstre grænse på ethvert punkt , som muligvis ikke falder sammen med funktionens værdi. Således er funktionen enten kontinuert i et punkt eller har en
diskontinuitet af den første slags ved det . $F_{X}$ $F_{X}(x-)$ $x\in \mathbb {R}$ $F_{X}$

Identiteter

Det følger af sandsynlighedens egenskaber, at , således at : $\forall x\in \mathbb {R} ,\;\forall a,b\in \mathbb {R}$ $a<b$

$\mathbb {P} (X>x)=1-F_{X}(x)$ ;
$\mathbb {P} (X<x)=F_{X}(x-)$ ;
$\mathbb {P} (X\geqslant x)=1-F_{X}(x-)$ ;
$\mathbb {P} (X=x)=F_{X}(x)-F_{X}(x-)$ ;
$\mathbb {P} (a<X\leqslant b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)$ ;
$\mathbb {P} (a\leqslant X\leqslant b)=F_{X}(b)-F_{X}(a-)$ ;
$\mathbb {P} (a<X<b)=F_{X}(b-)-F_{X}(a)$ ;
$\mathbb {P} (a\leqslant X<b)=F_{X}(b-)-F_{X}(a-)$ ;

Diskrete distributioner

Hvis den stokastiske variabel er diskret, er dens fordeling entydigt givet af sandsynlighedsfunktionen $x$

\mathbb {P} (X=x_{i})=p_{i},\;i=1,2,\ldots

så er fordelingsfunktionen af denne tilfældige variabel stykkevis konstant og kan skrives som: $F_{X}$

F_{X}(x)=\sum \limits _{i\colon x_{i}\leqslant x}p_{i}

Denne funktion er kontinuert på alle punkter, sådan at , og har en diskontinuitet af den første slags på punkter . $x\in \mathbb {R}$ $x\not =x_{i},\;\forall i$ $x=x_{i},\;\forall i$

Kontinuerlige distributioner

En fordeling siges at være kontinuert, hvis dens fordelingsfunktion er sådan . I dette tilfælde: $\mathbb {P} ^{X}$ $F_{X}$

\mathbb {P} (X=x)=0,\;\forall x\in \mathbb {R}

F_{X}(x-0)=F_{X}(x),\;\forall x\in \mathbb {R}

og derfor ser formlerne sådan ud:

\mathbb {P} (X\in |a,b|)=F_{X}(b)-F_{X}(a)

hvor betyder ethvert interval, åbent eller lukket, endeligt eller uendeligt. $|a,b|$

Absolut kontinuerlige distributioner

En fordeling siges at være absolut kontinuert , hvis der eksisterer en ikke-negativ næsten overalt (med hensyn til Lebesgue-målet ), sådan at: $\mathbb {P} ^{X}$ $f_{X}(x)$

F_{X}(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}\!f_{X}(t)\,dt

Funktionen kaldes fordelingstætheden . Det er kendt, at den absolut kontinuerte fordelingsfunktion er kontinuerlig, og desuden hvis , så , og $f_{X}$ $f_{X}\in C(\mathbb {R} )$ $F_{X}\in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} )$

{\frac {d}{dx}}F_{X}(x)=f_{X}(x),\;\forall x\in \mathbb {R}

Variationer og generaliseringer

Nogle gange tages der i den russiske litteratur en sådan definition af distributionsfunktionen:

F_{X}(x)=\mathbb {P} (X<x)\equiv \mathbb {P} ^{X}\left((-\infty ,x)\right)

Fordelingsfunktionen defineret på denne måde vil være kontinuerlig til venstre, ikke til højre.

Multivariate distributionsfunktioner

Lad et fast sandsynlighedsrum, og vær en tilfældig vektor. Så er fordelingen , kaldet fordelingen af en tilfældig vektor eller den fælles fordeling af stokastiske variable , et sandsynlighedsmål på . Funktionen af denne fordeling er givet per definition som følger: $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ ${\displaystyle X=(X_{1},\ldots,X_{n})\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n))$ $\mathbb {P} ^{X}$ $x$ $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $F_{X}\colon \mathbb {R} ^{n}\til [0,1]$

F_{X}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\mathbb {P} (X_{1}\leqslant x_{1},\ldots ,X_{n}\leqslant x_{n}) \equiv \mathbb {P} ^{X}\left(\prod \limits _{i=1}^{n}(-\infty ,x_{i}]\right)

hvor i dette tilfælde betegner det kartesiske produkt af sæt . $\prod$

Egenskaberne for flerdimensionelle fordelingsfunktioner ligner det endimensionelle tilfælde. En en-til-en overensstemmelse mellem distributioner på og multivariate distributionsfunktioner er også bevaret. Formler til beregning af sandsynligheder bliver dog meget mere komplicerede, og derfor bruges fordelingsfunktioner sjældent til . $\mathbb {R} ^{n}$ $n>1$

Se også

Sandsynlighedstæthed

Noter

↑ Shiryaev, A. N. Sandsynlighed. - M . : Nauka, 1980. - S. 45, 166.

Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk Fantastisk catalansk jorden rundt
I bibliografiske kataloger	GND : 4192219-0