Funktionsomfang

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 27. august 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Definitionsdomænet er det sæt , som funktionen er defineret på . Ved hvert punkt i dette sæt skal værdien af funktionen bestemmes.

Definition

Hvis der er defineret en funktion på et sæt, der knytter sættet til et andet sæt, kaldes sættet for definitionsdomænet eller funktionens domæne . $x$ $x$ $x$

Mere formelt, hvis der er givet en funktion, der knytter et sæt til , det vil sige: , kaldes sættet definitionsdomænet [1] eller indstillingsdomænet [2] for funktionen og betegnes eller (fra det engelske domæne - "areal"). $f$ $x$ $Y$ $f\kolon X\til Y$ $x$ $f$ $D(f)$ $\mathrm {dom} \,f$

Nogle gange tages der også hensyn til funktioner defineret på en delmængde af et sæt . I dette tilfælde kaldes sættet for funktionens afgangsområde [3] . $D$ $x$ $x$ $f$

Eksempler

De mest illustrative eksempler på domæner leveres af numeriske funktioner . Målingen og det funktionelle giver også vigtige typer domæner i applikationer.

Numeriske funktioner

Numeriske funktioner er funktioner, der tilhører følgende to klasser:

reelle værdier af en reel variabel er funktioner af formen ; $f\colon {\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}$
samt funktioner med kompleks værdi af en kompleks variabel af formen , $f\colon {\mathbb {C}}\to {\mathbb {C}}$

hvor og er mængderne af henholdsvis reelle og komplekse tal. $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

Identitetskortlægning

Funktionens omfang er det samme som oprindelsesområdet ( eller ). $f(x)=x$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

Harmonisk funktion

Funktionens domæne er det komplekse plan uden nul: $f(x)=1/x$

{\mathrm {dom}}\,f={\mathbb {C}}\setminus \{0\}

fordi formlen ikke sætter værdien af funktionen til nul til et eller andet tal.

Brøk-rationelle funktioner

Visningsfunktionens omfang

f(x)={\frac {a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{m}x^{m}}{b_{0}+b_{1}x+\dots +b_{n} x^{n}}}

er den reelle linje eller komplekse plan bortset fra et begrænset antal punkter, som er løsninger af ligningen

b_{0}+b_{1}x+\dots +b_{n}x^{n}=0

Disse punkter kaldes funktionens poler . $f$

Så funktionen er defineret på alle punkter, hvor nævneren ikke forsvinder, det vil sige hvor . Således er mængden af alle reelle (eller komplekse) tal undtagen 2 og -2. $f(x)={\frac {2x}{x^{2}-4))$ $x^{2}-4\neq 0$ $\mathrm {dom} \,f$

Mål

Hvis hvert punkt i en funktions domæne er et sæt, for eksempel en delmængde af et givet sæt, så siger de, at en mængdefunktion er givet .

Et mål er et eksempel på en sådan funktion, hvor et bestemt sæt af delmængder af en given mængde, som for eksempel er en ring eller en semiring af mængder, fungerer som funktionens domæne (mål).

For eksempel er det bestemte integral en funktion af et orienteret spænd .

Funktionalitet

Lad være en familie af kortlægninger fra sæt til sæt . Så kan vi definere en afbildning af formen . En sådan kortlægning kaldes en funktionel . ${\mathbb {F}}=\{f\midt f\colon X\to {\mathbb {R}}\}$ $x$ $\mathbb {R}$ $F\colon {\mathbb {F}}\to {\mathbb {R}}$

Hvis vi for eksempel fikser et punkt , så kan vi definere en funktion , der har samme værdi i "punktet" som selve funktionen i punktet . $x_{0}\i ~X$ $F(f)=f(x_{0})$ $f$ $f$ $x_{0}$

Se også

Funktionsområde

Noter

↑ V. A. Sadovnichiy . Operatør teori. - M . : Drofa, 2001. - S. 10. - 381 s. — ISBN 5-71-074297-X .
↑ V. A. Ilyin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sendov . Kapitel 3. Theory of Limits // Matematisk analyse / Red. A.N. Tikhonova . - 3. udg. , revideret og yderligere - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 105-121. — 672 s. — ISBN 5-482-00445-7 .
↑ V. A. Zorich . Kapitel I. Nogle generelle matematiske begreber og notation. § 3. Funktion // Matematisk analyse. Del I. - fjerde, rettet. - M. : MTSNMO, 2002. - S. 12-14. — 664 s. — ISBN 5-94057-056-9 .

Litteratur

Funktion, Matematisk Encyklopædisk Ordbog . - Ch. udg. Yu. V. Prokhorov. - M .: "Den store russiske encyklopædi", 1995.
Klein F. Det generelle koncept for en funktion . I: Elementær matematik fra et højere synspunkt. T.1. M.-L., 1933
I. A. Lavrov ogL. L. Maksimova Del I. Sætteori// Problemer i mængdeteori, matematisk logik og algoritmer. -3. udg. . -M.: Fizmatlit, 1995. - S. 13 - 21. - 256 s. —ISBN 5-02-014844-X.
A. N. Kolmogorov ogS. V. Fomin Kapitel 1. Elementer i mængdelære// Elementer i funktionsteori og funktionsanalyse. -3. udg. . -M.: Nauka, 1972. - S. 14 - 18. - 256 s.
J.L. Kelly . Kapitel 0. Indledende// Generel topologi. -2. udg. . -M.: Nauka, 1981. - S. 19 - 27. - 423 s.
V. A. Zorich . Kapitel I. Nogle generelle matematiske begreber og notation. § 3. Funktion// Matematisk analyse, del I. -M.: Nauka, 1981. - S. 23 - 36. - 544 s.
G. E. Shilov . Kapitel 2. Elementer i mængdelære. § 2.8. Det generelle koncept for en funktion. Graf// Matematisk analyse (funktioner af en variabel). -M.: Nauka, 1969. - S. 65 - 69. - 528 s.
A. N. Kolmogorov . Hvad er en funktion // "Quantum" : scientific-pop. Fysisk.-Matematik. magasin - M . : "Nauka" , 1970. - Nr. 1 . - S. 27-36 . — ISSN 0130-2221 .