Konstruktive måder at definere et reelt tal på

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 22. august 2021; checks kræver 3 redigeringer .

Med en konstruktiv tilgang til definitionen af et reelt tal bygges reelle tal ud fra rationelle , som anses for givne. I alle tre af følgende metoder tages rationelle tal som grundlag, og nye objekter konstrueres, kaldet irrationelle tal . Som et resultat af deres færdiggørelse af sættet af rationelle tal, får vi et sæt af reelle tal.

Cantors teori om fundamentale sekvenser

Den nedenfor beskrevne tilgang til definitionen af reelle tal blev foreslået af G. Kantor i en artikel offentliggjort i 1872 [1] . Lignende ideer blev udtrykt af E. Heine og S. Mere .

Cauchys konvergenskriterium og dets brug af Cantor

Udgangspunktet for Cantors teori var følgende idé [2] . Ethvert reelt tal kan gives ved en række rationelle tal

a_{1},a_{2},\ldots,a_{n},\ldots

repræsenterer tilnærmelser til dette reelle tal med en stigende grad af nøjagtighed, det vil sige konvergerende til dette tal.

Lad os nu forstå et reelt tal som et objekt defineret af en konvergent sekvens af rationelle tal . $\alfa$ $a_{1},a_{2},\ldots$

En ond cirkel lurer dog her . I definitionen af en konvergent sekvens er et reelt tal involveret, hvilket er dets grænse - selve det begreb, som vi ønsker at definere ved hjælp af konvergente sekvenser:

$\{a_{n}\}$ konvergerer eksisterer , sådan at $\Langvenstrehøjrepil$ $\alpha \in \mathbb{R}$ $\lim _{{n\to \infty }}a_{n}=\alpha$

For ikke at få en ond cirkel, er det nødvendigt at have et eller andet tegn, der giver dig mulighed for at udtrykke betingelsen for konvergens af en sekvens i form af dens medlemmer, det vil sige uden at tale om selve betydningen af sekvensens grænse . .

På Cantors tid var et sådant kriterium allerede fundet. Det blev etableret i en generel form af den franske matematiker O. Cauchy [3] . Ifølge Cauchy-kriteriet konvergerer en sekvens hvis og kun hvis $a_{1},a_{2},\ldots$

\forall \varepsilon >0\;\eksisterer N(\varepsilon )\;\forall n>N(\varepsilon )\;\forall m>0\;|a_{{n+m}}-a_{n}| <\varepsilon

Billedligt set er betingelsen for konvergensen af en sekvens i Cauchy-kriteriet, at dens medlemmer, startende fra et vist antal, vil ligge vilkårligt tæt på hinanden.

Selvfølgelig var Cauchy ikke i stand til at give nogen streng underbyggelse af dette kriterium på grund af fraværet af teorien om det reelle tal.

Kantor vendte i en vis forstand alt på hovedet. Han henledte opmærksomheden på det faktum, at dette tegn i sig selv karakteriserer de indre egenskaber af en konvergent sekvens: det kan formuleres og verificeres uden at tale om selve det reelle tal, som er grænsen for denne sekvens. Og derfor kan denne funktion bruges til at fremhæve den klasse af sekvenser, hvormed reelle tal kan bestemmes .

Således er hovedtrinet, som Cantor tager med at konstruere teorien om det reelle tal, at han betragter enhver sekvens af rationelle tal , der opfylder Cauchy-betingelsen, som en definition af et (rationelt eller irrationelt) reelt tal. $a_{1},a_{2},\ldots$

Når jeg taler om en numerisk størrelse i generaliseret forstand, sker dette primært i det tilfælde, hvor der foreslås en uendelig række af rationelle tal.

a_{1},a_{2},\ldots,a_{n},\ldots

givet af en eller anden lov og har den egenskab, at forskellen bliver uendelig lille som , uanset det positive heltal , eller med andre ord, at der for et vilkårligt valgt (positivt rationelt) heltal eksisterer sådan , at , og er ethvert positivt heltal. $a_{{n+m}}-a_{n}$ $n$ $m$ $\varepsilon$ $n$ $|a_{{n+m}}-a_{n}|<\varepsilon$ $m$ G. Kantor [1]

I moderne terminologi kaldes en sekvens, der opfylder Cauchy-betingelsen, Cauchy-sekvensen eller fundamental sekvens .

Konstruktion af teorien om reelle tal ifølge Cantor

To fundamentale sekvenser og kan definere det samme reelle tal. Dette foregår under betingelsen $\{a_{n}\}$ $\{b_{n}\}$

\forall \varepsilon >0\;\eksisterer N(\varepsilon )\;\forall n>N(\varepsilon )\;|a_{n}-b_{n}|<\varepsilon

Således etableres en ækvivalensrelation på sættet af alle fundamentale sekvenser af rationelle tal, og i overensstemmelse med det generelle princip er alle fundamentale sekvenser opdelt i ækvivalensklasser . Betydningen af denne partition er sådan, at sekvenser fra samme klasse bestemmer det samme reelle tal, mens sekvenser fra forskellige klasser bestemmer forskellige. Der er således en en-til-en overensstemmelse mellem de reelle tal og klasserne af fundamentale sekvenser af rationelle tal.

Nu kan vi formulere hoveddefinitionen af Cantors teori om reelle tal.

Definition. Et reelt tal er en ækvivalensklasse af fundamentale sekvenser af rationelle tal.

Det reelle tal (ækvivalensklasse) defineret af den grundlæggende sekvens af rationelle tal er betegnet med . $\{a_{n}\}$ $[a_{n}]$

Aritmetiske operationer med reelle tal introduceres som følger. Hvis to reelle tal og er givet , Defineret af grundlæggende sekvenser og , Så at $\alfa$ $\beta$ $\{a_{n}\}$ $\{b_{n}\}$

$\alpha =[a_{n}]$ og $\beta =[b_{n}]$

så er summen det reelle tal defineret af sekvensen , det vil sige ækvivalensklassen, der indeholder denne sekvens: $\alfa$ $\beta$ $\{a_{n}+b_{n}\}$

\alpha +\beta {\overset {{\text{def}}}{=}}[a_{n}+b_{n}]

Det er nemt at kontrollere, at denne definition er korrekt, det vil sige, at den ikke afhænger af valget af specifikke sekvenser fra klassen og fra klassen . $\{a_{n}\}$ $\alfa$ $\{b_{n}\}$ $\beta$

Forskel, produkt og kvotient af reelle tal er defineret på samme måde.

Et reelt tal er per definition større end et tal , altså hvis $\alpha =[a_{n}]$ $\beta =[b_{n}]$ $\alfa >\beta$

\eksisterer \varepsilon >0\;\eksisterer N\;\forall n>N\;a_{n}\geqslant b_{n}+\varepsilon

Denne definition afhænger ikke af valget af sekvenser fra klassen og fra klassen . $\{a_{n}\}$ $\alfa$ $\{b_{n}\}$ $\beta$

Systemet af rationelle tal er inkluderet i systemet af reelle tal ved hjælp af en ekstra aftale, ifølge hvilken rækkefølgen

a,a,\ldots a,\ldots

alle medlemmer, der er lig med det samme rationelle tal , bestemmer selv dette tal, således at . Med andre ord er enhver klasse, der indeholder en stationær sekvens , identificeret med et tal . Således er det konstruerede sæt af reelle tal en forlængelse af mængden af rationelle. $-en$ $[a]{\overset {{\text{def}}}{=}}a$ $[en]$ $a,a,\ldots a,\ldots$ $-en$

Dette fuldender konstruktionen af sættet af reelle tal. Yderligere kan man på grundlag af de introducerede definitioner bevise de kendte egenskaber ved reelle tal.

Fuldstændigheden af sættet af reelle tal

Det følger af definitionen, at enhver grundlæggende sekvens af rationelle tal konvergerer til et eller andet reelt tal. Dette princip ligger til grund for definitionen af et reelt tal. Takket være ham blev sættet af rationelle tal genopfyldt med nye elementer - irrationelle tal - grænserne for de grundlæggende sekvenser af rationelle tal, som ikke havde nogen grænse i det gamle sæt af rationelle tal.

Et naturligt spørgsmål opstår, om det er muligt at udføre en lignende genopfyldningsprocedure igen, allerede for det konstruerede sæt af reelle tal: at danne grundlæggende sekvenser af reelle tal og genopfylde mængden af reelle tal med grænserne for dem af dem, der ikke havde nogen grænse før.

Det viser sig, at det ikke kan lade sig gøre. Hver grundlæggende sekvens af reelle tal har en grænse i mængden af reelle tal. Med andre ord indeholder sættet af reelle tal grænserne for alle grundlæggende sekvenser af dets elementer. Denne egenskab ved sættet af reelle tal kaldes fuldstændighed . Og selve udsagnet om konvergensen af enhver fundamental sekvens af reelle tal er hovedindholdet i Cauchy-konvergenskriteriet , som er den centrale sætning i Cantors teori.

Ideen om at færdiggøre sættet af rationelle tal med grænser for fundamentale sekvenser, brugt af Cantor til at "skabe" irrationelle tal, blev senere brugt af F. Hausdorff til at bevise den berømte metriske rumfuldførelsessætning .

Teori om uendelige decimaler

Teorien om uendelige decimalbrøker går tilbage til K. Weierstrass . Omkring 1863 udviklede han teorien om reelle tal, som blev offentliggjort ud fra noterne fra hans forelæsninger i 1872 [4] . Den originale version af Weierstrass' teori adskiller sig dog noget fra teorien om uendelige decimalbrøker, der præsenteres i moderne lærebøger i matematisk analyse (se Historisk kommentar nedenfor ).

Rationale tal og decimaler

Som i tilfældet med Cantors teori antager vi, at mængden af rationelle tal er givet . Det er kendt, at ethvert rationelt tal kan dekomponeres i en decimalbrøk , som vi vil skrive i formen: $\mathbb {Q}$ $p/q\in {\mathbb {Q}}$

p/q\sim \pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots

Hvis nedbrydningsprocessen stopper efter et begrænset antal trin, vil decimalbrøken være endelig , ellers vil den være uendelig .

Enhver decimalbrøk, endelig eller uendelig, kan betragtes som en formel række af formen

\pm \sum _{{k}}a_{k}\cdot 10^{{-k}}

hvor indekset løber gennem enten det oprindelige segment af den naturlige serie eller hele den naturlige serie . Det kan vises, at den række, der opnås ved at udvide et rationelt tal til en decimalbrøk, altid konvergerer, og dens sum er lig med det givne rationale tal. $k$ $0,1,\ldots ,n$ $0,1,2,\ldots$ $p/q$

Vigtigt for den videre præsentation er det faktum, at hvis en uendelig decimalbrøk opnås ved nedbrydning af et rationelt tal, så vil denne brøk altid være periodisk .

Der er således en overensstemmelse mellem rationelle tal og decimalbrøker, hvor hvert rationelt tal svarer til en enkelt decimalbrøk, men for nogle brøker (nemlig uendelige ikke-periodiske) er der ikke noget rationelt tal svarende til dem. Det er naturligt at antage, at disse brøker også svarer til nogle hypotetiske tal, der ikke er rationelle. Ved at tage hensyn til disse hypotetiske tal, som vi vil kalde irrationelle , synes vi at udfylde hullerne i totaliteten af alle decimalbrøker.

På grundlag af teorien om et reelt tal sætter vi således antagelsen (ideen), at enhver decimalbrøk er udvidelsen af et eller andet, rationelt eller irrationelt, reelt tal : $\alfa$

\alpha \sim \pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots

Samtidig fortolker vi denne udvidelse på samme måde som i tilfældet med rationelle tal, det vil sige, at vi mener, at et reelt tal er summen af en række $\alfa$

\pm \sum _{{k}}a_{k}\cdot 10^{{-k}}

Konstruktion af teorien om uendelige decimalbrøker

Definition. Et reelt tal er en uendelig decimalbrøk, det vil sige et udtryk for formen

\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots

hvor der er et af symbolerne eller , kaldet taltegnet, er et ikke-negativt heltal, er en sekvens af decimaler (det vil sige elementer i det numeriske sæt ). $\om eftermiddagen$ $+$ $-$ $a_{0}$ $a_{1},a_{2},\ldots a_{n},\ldots$ $\{0,1,\ldots 9\}$

Samtidig vurderer vi , per definition , at brøkerne og repræsenterer det samme tal, såvel som det samme tal repræsenterer brøker af formen og . Betydningen af denne konvention er indlysende, da de rationelle tal, der svarer til disse brøker, er de samme. [5] $+0,00\ldots$ $-0,00\ldots$ $\pm a_{0},a_{1}\ldots a_{n}999\ldots$ $\pm a_{0},a_{1}\ldots (a_{n}+1)000\ldots ,\;(a_{n}\neq 9)$

Det er naturligt umiddelbart at blive enige om, at periodiske uendelige decimalbrøker repræsenterer de rationelle tal, der svarer til dem. Med andre ord identificerer vi periodiske brøker med rationelle tal. Under denne konvention er mængden af rationelle tal en delmængde af mængden af alle reelle tal.

Nedenfor er en skitse af konstruktionen af teorien om uendelige decimalbrøker.

Først bestemmes rækkefølgen på mængden af alle uendelige decimalbrøker. Dette gøres på grundlag af en sekventiel sammenligning af cifrene i tal fra det højeste til det laveste. For eksempel givet to ikke-negative tal

{\begin{matrix}\alpha &=+a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots \\\beta &=+b_{0},b_{1}b_{ 2}\ldots b_{n}\ldots \end{matrix}}

Lad og vær de første ikke-sammenfaldende tegn i decimalnotation og . Så hvis , så per definition , og hvis , så . Baseret på sammenligningen af to ikke-negative tal bestemmes sammenligneligheden af to reelle tal. $a_n$ $b_n$ $\alfa$ $\beta$ $a_{n}<b_{n}$ $\alfa <\beta$ $a_{n}>b_{n}$ $\alfa >\beta$

Det kan vises, at den indførte sammenligningsrelation definerer strukturen af et lineært ordnet sæt på mængden af uendelige decimalbrøker . Det kan også vises, at for periodiske brøker falder den etablerede ordensrelation sammen med den allerede eksisterende sammenlignelighedsrelation for rationale tal. $<$

Efter indførelsen af ordensrelationen på mængden af uendelige decimalbrøker, beviser vi sætningen om den nøjagtige øvre grænse , som er grundlæggende for konstruktionen af teorien om det reelle tal . Denne teorem udtrykker det faktum, at en ordnet samling af reelle tal har egenskaben kontinuitet (fuldstændighed) ifølge Dedekind.

Nu udvides de aritmetiske operationer, der allerede er indført på delmængden af rationelle tal, til hele sættet af reelle tal ved kontinuitet .

Nemlig lade og være to reelle tal. Deres sum er et reelt tal , der opfylder følgende betingelse: $\alfa$ $\beta$ $\alfa +\beta$

\forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} \;(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \ leqslant b'')\Rightarrow (a'+b'\leqslant \alpha +\beta \leqslant a''+b'')

Det kan påvises, at et reelt tal, der opfylder denne betingelse, eksisterer og er unikt.

Multiplikationen af tal er defineret på samme måde . Produktet af to positive reelle tal og kaldes et reelt tal , der opfylder følgende betingelse: $\alfa$ $\beta$ $\alpha \cdot \beta$

\forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} \;(a'>0)\land (b'>0)\land (a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow (a'\cdot b'\leqslant \alpha \cdot \beta \leqslant a''\cdot b'')

Ligesom i tilfældet med addition eksisterer et tal, der opfylder denne betingelse, og er unikt. Derefter er det let at definere multiplikationen af to reelle tal med vilkårlige fortegn.

Det kan verificeres, at operationerne med addition og multiplikation, der er indført på sættet af reelle tal, falder sammen med operationerne med addition og multiplikation af rationelle tal.

Dette fuldender konstruktionen af teorien om uendelige decimalbrøker. Yderligere kan man ved hjælp af de introducerede definitioner bevise de kendte egenskaber af reelle tal relateret til aritmetiske operationer og sammenligningsrelationen.

Afslutningsvis bemærker vi, at ved at definere begrebet grænsen for en sekvens og summen af en række reelle tal, kan vi bevise den påstand, der blev annonceret, da begrebet et reelt tal blev introduceret. Nemlig: ethvert reelt tal er summen af en række af dens decimaludvidelse. Det vil sige, hvis

\alpha \sim \pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots

derefter

$\alpha =\pm \sum _{{k=0}}^{{\infty }}a_{k}\cdot 10^{{-k}}$

Historisk kommentar

Som nævnt ovenfor overvejede Weierstrass selv en lidt anderledes konstruktion [4] [6] .

Teorien om reelle tal præsenteret ovenfor kan kort defineres som teorien om formrækker af formen

$\pm \sum _{{k=0}}^{{\infty }}a_{k}\cdot 10^{{-k}}$

hvor er et ikke-negativt heltal og er decimaler $a_{0}$ $a_{k},k=1,2,\ldots$

Weierstrass på den anden side betragtede formelle serier af en mere generel form:

$\pm \sum _{{n=0}}^{{\infty }}a_{n}\cdot 1/n$

hvor er vilkårlige ikke-negative heltal. $a_{n},n=1,2,\ldots$

Det er klart, at i en sådan konstruktion kan et reelt tal repræsenteres på uendeligt mange måder. Derudover er det klart, at ikke alle sådanne serier kan tildeles en numerisk værdi. For eksempel en række

$\sum _{{n=1}}^{{\infty }}1/n$

divergerer.

Derfor betragter Weierstrass for det første kun konvergente serier - han definerer sådanne serier som serier med afgrænsede partielle summer (se kriteriet for konvergensen af en serie med ikke-negative led) og introducerer for det andet en ækvivalensrelation på dette sæt. Et reelt tal er defineret som en klasse af ækvivalente konvergerende serier.

Selvfølgelig er metoden til at bestemme reelle tal ved hjælp af decimalbrøker, det vil sige at bruge ekspansion ikke i alle aliquotbrøker (det vil sige brøker af formen ), men kun i potenser af ti , mere bekvem, da dette opnår unikheden af repræsenterer et reelt tal i form af en række. Men vender vi tilbage til den generelle Weierstrass-metode, så bliver analogien mellem Weierstrass-tilgangen og Cantors tilgang indlysende. Cantor definerede et reelt tal som en ækvivalensklasse af konvergente sekvenser af rationelle tal, og han brugte Cauchy-kriteriet til at bestemme konvergensen af en sekvens. Weierstrass gjorde det samme, kun i stedet for konvergente sekvenser anså han for konvergente rækker, og i stedet for Cauchy-kriteriet for konvergens af en sekvens, brugte han kriteriet for konvergens af en række med ikke-negative termer (i øvrigt det ækvivalente teorem om grænsen for en monoton sekvens er opkaldt efter Weierstrass). $1/n$ $1/10^{k}$

Sektionsteori i området for rationelle tal

Dedekinds teori er den enkleste og historisk set den første strenge teori om det reelle tal. I modsætning til Cantors og Weierstrass' analytiske tilgange er Dedekinds teori baseret på geometriske overvejelser; derfor dens synlighed.

Værdien af Dedekinds teori ligger i, at den ud over at konstruere reelle tal var den første til at afsløre den matematiske essens af begrebet kontinuitet - et begreb, der ligger til grund for matematisk analyse, og som var blevet brugt i århundreder, med henvisning til beviser. eller overvejelser af geometrisk karakter.

Dedekinds teori, bygget i 1858, blev offentliggjort i 1872 i en lille pjece kaldet "Kontinuitet og irrationelle tal" ( tysk "Stetigkeit und irrationale Zahlen" ). Den dag i dag er denne bog fortsat en af de bedste med hensyn til klarhed og tilgængelighed af præsentationen af emnet. Nedenfor i denne artikel vil vi hovedsageligt følge Dedekinds tankegang.

Udtalelse af spørgsmålet

For at forstå problemet fra Dedekind, lad os i generelle vendinger beskrive tingenes tilstand inden for matematisk analyse, der fandt sted på det tidspunkt.

Ved præsentationen af differentialregningens forløb , som for det meste blev udført ved strenge metoder, for at bevise nogle påstande, måtte man stadig ty til geometrisk klarhed.

For eksempel, for at bevise sætningen om grænsen for en monoton sekvens, blev der tegnet en lige linje, hvor der var markeret punkter, der repræsenterer medlemmerne af sekvensen . Ydermere blev sætninger af følgende art udtalt: "naturligvis" , der er et punkt , hvortil punkterne nærmer sig uendeligt, eller "bør" der være et sådant punkt, da tallinjen er "kontinuerligt fyldt med punkter" . Yderligere, da et eller andet rationelt eller irrationelt tal svarer til ethvert punkt på linjen, så har vi for det tal , der svarer til punktet : . $A_{n}$ $a_n$ $EN$ $A_{n}$ $EN$ $-en$ $\lim a_{n}=a$

Man siger ofte, at differentialregningen omhandler kontinuerte størrelser, men ingen steder er denne kontinuitet givet, og selv i den strengeste udlægning af differentialregningen hviler beviserne ikke på kontinuitet, men appellerer, mere eller mindre bevidst, enten til geometriske repræsentationer eller til repræsentationer, der stammer fra geometri, eller endelig baserer beviset på påstande, der i sig selv aldrig er blevet bevist med rent aritmetiske midler.R. Dedekind, "Kontinuitet og irrationelle tal"

Behovet for at inddrage overvejelser af geometrisk karakter for at bevise et rent aritmetisk (på tal) forslag forårsager en vis følelse af utilfredshed og indikerer en "manglende begrundelse for aritmetik" , dvs. fraværet af en streng og fuldstændig teori om nummer. Men selv hvis vi indrømmer muligheden for geometrisk ræsonnement, opstår et andet spørgsmål: om kontinuiteten med hensyn til punkterne på selve den rette linje. Og som det viser sig, er begrebet kontinuitet af en ret linje blottet for en logisk definition her.

På baggrund af denne analyse stillede Dedekind følgende to opgaver:

1. Find en logisk formulering af hovedegenskaben ved en ret linje, som er indeholdt i vores visuelle repræsentationer af "kontinuerlig udfyldning af rette linjer" 2. Konstruer en stringent rent aritmetisk talteori , således at de egenskaber ved talsystemet, til grund for hvilke de tidligere har tyet til visuelle geometriske repræsentationer, nu følger af den generelle definition af tal

Sammenligning af rationelle tal med punkter på en ret linje

Dedekind tager udgangspunkt i det sæt af rationelle tal, hvis egenskaber antages at være kendt. Han sammenligner systemet af rationelle tal med sættet af punkter på en ret linje for at afsløre sidstnævntes egenskaber. $\mathbb {Q}$ ${\mathbb {L}}$

Rationelle tal danner en samling, hvorpå de aritmetiske operationer af addition og multiplikation er givet, som har visse egenskaber. Men for yderligere præsentation er det faktum, at samlingen er lineært ordnet , ekstremt vigtigt : for to forskellige tal , og vi kan sige, at det ene af dem er mindre end det andet. $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$ $-en$ $b$

Sættet af punkter på en lige linje er også et lineært ordnet sæt. Ordningsrelationen mellem to punkter og her kommer til udtryk i, at det ene punkt ligger til venstre for det andet . ${\mathbb {L}}$ $s$ $q$ $s$ $q$

Denne lighed mellem rationelle tal og punkter på en linje kan udvikles ved at etablere en overensstemmelse mellem dem. Som du ved, for dette vælges et bestemt udgangspunkt på en lige linje , en bestemt længdeenhed til måling af segmenter samt en positiv retning . For hver , kan du bygge den tilsvarende længde, og udskyder den fra startpunktet til højre eller venstre, afhængigt af om tallet er positivt eller ej, får vi et bestemt punkt svarende til et rationelt tal . $a\in {\mathbb {Q}}$ $-en$ $p\in {\mathbb {L}}$ $-en$

Således kan hvert rationelt tal være forbundet med et bestemt punkt . I dette tilfælde vil forskellige tal svare til forskellige punkter. Desuden, hvis tallet er mindre end , så vil punktet svarende til ligge til venstre for punktet svarende til . Det etablerede forhold bevarer med andre ord orden. $a\in {\mathbb {Q}}$ $p\in {\mathbb {L}}$ $-en$ $b$ $s$ $-en$ $q$ $b$

Lige linje kontinuitet

Samtidig viser det sig, at der er uendeligt mange punkter på linjen, som ikke svarer til noget rationelt tal. Dette følger af eksistensen af inkommensurable segmenter, som var kendt af de gamle (for eksempel inkommensurabiliteten af diagonalen og siden af kvadratet, det vil sige irrationalitet ). ${\mathbb {L}}$ ${\sqrt {2}}$

Billedligt talt er den rette linje tættere fyldt med punkter, end mængden af rationelle tal er fyldt med tal. Vi ser, at der i sættet af rationelle tal er tomrum , der svarer til de punkter på linjen, for hvilke der ikke var noget tilsvarende rationelt tal, mens vi siger om linjen, at den "kontinuerligt er fyldt med punkter" . ${\mathbb {L}}$ $\mathbb {Q}$

Den tidligere sammenligning af området for rationelle tal med den rette linje førte til opdagelsen i den første af fejl (Lückenhaftigkeit), ufuldstændighed eller diskontinuitet, mens vi til den rette linje tilskriver fuldstændighed, fravær af huller, kontinuitet.R. Dedekind, "Kontinuitet og irrationelle tal"

Hvad er denne kontinuitet egentlig? Hvordan kan denne egenskab ved en ret linje udtrykkes matematisk ?

Dedekind gør følgende observation. Hvis der er et bestemt punkt på linjen, falder alle punkter på linjen i to klasser: dem, der er placeret til venstre , og dem, der er placeret til højre ; selve punktet kan vilkårligt tildeles enten til den første eller anden klasse. Men for punkter på en lige linje finder det modsatte princip sted: $s$ $s$ $s$ $s$

Hvis punkterne på en linje er opdelt i to klasser, således at hvert punkt i den første klasse ligger til venstre for hvert punkt i den anden klasse, så er der ét og kun ét punkt, der producerer denne opdeling af linjen i to klasser, dette er dissektionen af linjen i to stykker.R. Dedekind, "Kontinuitet og irrationelle tal"

Geometrisk virker dette forslag indlysende, men vi er ikke i stand til at bevise det. Dedekind påpeger, at dette princip i virkeligheden ikke er andet end et postulat, som udtrykker essensen af en ret linjes kontinuitetsegenskab. Ved at acceptere det, tilskriver vi en ret linje den egenskab, som vi kalder dens kontinuitet.

Accepten af denne egenskab ved en ret linje er intet andet end et aksiom, ved hjælp af hvilket vi alene anerkender dens kontinuitet som en ret linje, der mentalt investerer kontinuitet i en ret linje.R. Dedekind, "Kontinuitet og irrationelle tal"

Lad os forklare indholdet og den geometriske fortolkning af Dedekind-princippet. Forestil dig, at alle punkter på linjen er farvet i to farver - grøn og rød, så hvert grønt punkt ligger til venstre for hvert rødt punkt.

Det er geometrisk indlysende , at der skal være et sådant punkt på linjen, hvor farverne kommer i kontakt. Det er dette punkt, der "deler linjen i to klasser": alle grønne punkter ligger til venstre for det, og alle røde punkter ligger til højre. Dette er princippet om Dedekind.

Samtidig skal punktet for selve "farvernes kryds" også være af en bestemt farve, da alle punkter på linjen er malet uden undtagelse. Denne prik skal enten være grøn, i dette tilfælde den sidste grønne prik, eller rød, som den første røde prik. Som det er let at se, udelukker disse to muligheder hinanden: i det første tilfælde er der ingen første røde prik - der er røde prikker vilkårligt tæt på krydset, men den første er ikke blandt dem, og i det andet tilfælde , af lignende årsager er der ingen sidste grønne prik.

Lad os nu være opmærksomme på, hvilke logiske muligheder , der kan finde sted teoretisk, vi har udelukket, og appellerer til geometrisk klarhed. Det er let at se, at der kun er to af dem: For det første kan det ske, at både den sidste grønne og den første røde prik eksisterer samtidigt; for det andet kan det ske, at der hverken er den sidste grønne eller den første røde prik.

Den første situation siges at være et hop . Et sådant billede er muligt for en lige linje, hvorfra et helt interval af mellempunkter er udeladt.

Udtrykket gap bruges til at beskrive den anden situation . Et sådant billede kan finde sted for en lige linje, hvorfra et helt segment, inklusive dets ender, er blevet fjernet - især hvis et enkelt punkt er blevet fjernet.

Kontinuiteten af en linje betyder således, at der ikke er nogen spring eller huller i den - kort sagt, der er ingen tomrum.

Bemærkelsesværdigt gælder ovenstående definition af kontinuitet for ethvert ordnet sæt af elementer.

Dedekind kontinuitet

Lad os nu give en præcis formulering af Dedekind-kontinuitet gældende for et vilkårligt lineært ordnet sæt.

Definition. Lad være et lineært ordnet sæt. Et bestilt par sæt og kaldes en sektion i , og selve sættene kaldes henholdsvis den nedre og øvre klasse af den givne sektion, hvis følgende betingelser er opfyldt: ${\mathsf {L}}$ $EN$ $EN'$ ${\mathsf {L}}$ $EN$ $EN'$

1. Klasser er ikke tomme:

$A\neq \varnothing ,A'\neq \varnothing$

2. Hvert element tilhører mindst én af klasserne

{\mathsf {L}}

$A\kop A'={\mathsf {L}}$

3. Hvert element i underklassen er mindre end ethvert element i overklassen :

$\forall a\in A,\forall a'\in A'\;(a<a')$

Vi vil betegne afsnittet . $A|A'$

Definition. En lineært ordnet mængde kaldes kontinuert (ifølge Dedekind), hvis hvad end dets sektion er, eller i den nederste klasse af sektionen er der det største element, og i det øvre er der ikke det mindste; eller i overklassen er der et mindste element, og i det nederste er der ikke det største (sådanne afsnit kaldes Dedekind ). ${\mathsf {L}}$

Som et eksempel kan du overveje sættet af rationelle tal. Det er let at se, at der ikke kan springes i det: hvis er det maksimale element i den lavere klasse, er det mindste element i overklassen, så tallet ligger midt imellem og kan ikke tilhøre hverken den lavere eller overklasse, hvilket er i modstrid med definitionen af et afsnit. $-en$ $b$ $(a+b)/2$ $-en$ $b$

Samtidig er der huller i mængden af rationelle tal – netop de steder, hvor irrationelle tal burde være. Overvej for eksempel den sektion, der er defineret af sættene $A|A'$

$A=\{x\in \mathbb {Q} :x\leq 0\lor (x>0\land x^{2}<2)\},A'=\{x\in \mathbb { Q} :x>0\land x^{2}>2\}$

Det er let at se, at dette faktisk er en sektion, dog er der intet maksimumelement i den lavere klasse, og intet minimumselement i den øverste. Det vil sige, at vi har et hul.

Konstruktion af irrationelle tal

Således er sættet af rationelle tal, i modsætning til en lige linje, ikke kontinuerligt: det har huller. I lyset af det foregående bliver det klart, at for at konstruere et sæt reelle tal, hvis elementer er forbundet med punkterne på en ret linje, er det nødvendigt at udfylde alle de tomme pladser i sættet af rationelle tal.

For enhver sektion af et sæt rationaler af typerum tilføjer vi et nyt element (et irrationelt tal) til mængden , som per definition er større end et hvilket som helst tal fra den lavere klasse og mindre end et hvilket som helst tal fra overklassen . Således udfylder vi det tomme rum mellem afsnitsklasserne. Vi vil sige, at snittet bestemmer det irrationelle tal , eller også at det irrationelle tal producerer snittet . $A|A'$ $\mathbb {Q}$ $\alfa$ $-en$ $en'$ $A|A'$ $\alfa$ $\alfa$ $A|A'$

Ved at kombinere alle mulige tilfælde kan vi sige, at enhver nedskæring i området af rationelle tal bestemmer et rationelt eller irrationelt tal, som denne nedskæring frembringer.

Definition. Et irrationelt tal er en hvilken som helst sektion i sættet af rationelle tal, i hvis lavere klasse der ikke er noget største element, og i overklassen er der ingen mindste.

Definition. Mængden af reelle tal er foreningen af mængderne af rationelle og irrationelle tal. Hvert element i mængden af reelle tal kaldes et reelt tal .

Mængden af reelle tal er, som det er let at se, lineært ordnet i henhold til den indførte ordensrelation. Følgende kendsgerning er af grundlæggende betydning.

Sætning. Sættet af reelle tal er Dedekind kontinuerligt.

Denne sætning følger ikke automatisk af definitionen af irrationelle tal, som udfyldte hullerne i sættet af rationelle tal. Det kræver bevis.

Operationerne med addition og multiplikation introduceres på mængden af reelle tal ved kontinuitet (ligesom i teorien om uendelige decimalbrøker). Summen af to reelle tal kaldes nemlig et reelt tal , der opfylder følgende betingelse: $\alfa$ $\beta$ $\gamma$

$\forall a,a',b,b'\;(a\leqslant \alpha \leqslant a')\land (b\leqslant \beta \leqslant b')\Højrepil (a+b\leqslant \gamma \leqslant a'+b')$

Det følger af kontinuiteten af reelle tal, at et sådant reelt tal eksisterer og er unikt. Desuden, hvis og er rationelle tal, så falder denne definition sammen med den sædvanlige definition af summen af to rationelle tal. Multiplikation indføres på samme måde, og egenskaber ved operationer og ordensrelationer bevises. $\gamma$ $\alfa$ $\beta$

Noter

↑ 1 2 Kantor G. Arbejder med mængdelære / red. A. N. Kolmogorov, F. A. Medvedev, A. P. Yushkevich,. - M. : NAUKA, 1985. - S. 9-10. - (videnskabens klassikere).
↑ Arnold I. V. Teoretisk aritmetik. - S. 277.
↑ Faktisk opstillede Cauchy et kriterium for konvergens af en serie, der også bærer hans navn, men fra hvert af disse to kriterier følger let et andet
↑ 1 2 Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Veje og labyrinter. Essays om matematikkens historie. — S. 287-289.
↑ Nogle gange, for at korrespondancen mellem mængden af reelle tal og mængden af uendelige decimalbrøker skal være en-til-en, betragter de ikke alle, men kun tilladte uendelige decimalbrøker, idet de som sådan forstår alle dem, der ikke har en periode bestående af en ni, og også blandt hvilken brøkdel ikke er inkluderet $-0,00\ldots$
↑ Rybnikov K. A. Matematikkens historie. - T. 2. - S. 197.

Litteratur

Referencer

Arnold V. I. Teoretisk aritmetik. — M .: UCHPEDGIZ, 1938.

Bourbaki N. Essays om matematikkens historie / overs. fra fransk I. G. Bashmakova, red. K. A. Rybnikova. - M . : Forlag for udenlandsk litteratur, 1963.

Hilbert D. Foundations of Geometry = Grundlagen der Geometrie / pr. fra 7. tyske udgave af I. S. Gradshtein, red. P.K. Rashevsky. - M. - L .: Statens forlag for teknisk og teoretisk litteratur, 1948.

Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Veje og labyrinter. Essays om matematikkens historie. — Trans. fra fransk. - M . : MIR, 1986. - 432 s.

Dedekind R. Kontinuitet og irrationelle tal = Stetigkeit und irrationale Zahlen. — 4. reviderede udgave. - Odessa: Mathesis, 1923. - 44 s.

Zorich V. A. Matematisk analyse. Del I. - 4. udg., Rev. - M . : MTSNMO, 2002. - XVI + 664 s. — ISBN 5-94057-056-9 .

Ilyin V. A., Poznak E. G. Fundamentals of Mathematical Analysis: Om 2 timer Del I. - 7. udgave - M . : FIZMATLIT, 2005. - 648 s. - ISBN 5-9221-0536-1 .

Matematikkens historie fra oldtiden til begyndelsen af det 19. århundrede. I tre bind / udg. Jusjkevitj. - M. : NAUKA, 1970. - T. 1.

Kantor G. Arbejder med mængdelære / red. A. N. Kolmogorov, F. A. Medvedev, A. P. Yushkevich,. - M . : SCIENCE, 1985. - (videnskabens klassikere).

Kudryavtsev L. D. Kursus i matematisk analyse. - 5. udg. - M . : "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 s. - ISBN 5-7107-4119-1 .

Reed K. Gilbert / trans. fra engelsk. I.V. Dolgachev, red. R. V. Gamkrelidze. — M .: NAUKA, 1977.

Rybnikov K. A. Historie om matematik. - M . : Forlag ved Moskva Universitet, 1963. - T. 2.

Ter-Krikorov A. M., Shabunin M. I. Et kursus i matematisk analyse. - 3. udg., rettet .. - M . : FIZMATLIT, 2001. - 672 s. — ISBN 5-9221-0008-4 .

Fikhtengol's G.M. Fundamentals of Mathematical Analysis. - 7. udg. - M. : FIZMATLIT, 2002. - T. 1. - 416 s. — ISBN 5-9221-0196-X .

Foreslået læsning

Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Veje og labyrinter. Essays om matematikkens historie.
Matematikkens historie fra oldtiden til begyndelsen af det 19. århundrede. I tre bind / udg. Jusjkevitj. - T. 1.
Arnold V. I. Teoretisk aritmetik.
Dedekind R. Kontinuitet og irrationelle tal = Stetigkeit und irrationale Zahlen. — 44 sek.
Fikhtengol's G.M. Fundamentals of Mathematical Analysis.
Ter-Krikorov A. M., Shabunin M. I. Et kursus i matematisk analyse.
Ilyin V. A., Poznak E. G. Fundamentals of matematisk analyse: Om 2 timer. Del I.

Numeriske systemer
Tællelige sæt	Naturlige tal ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Heltal ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Rationel ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebraisk ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioder Beregnbar Aritmetik
Reelle tal og deres forlængelser	Ægte ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Kompleks ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Kvaternioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-tal (oktaver, oktonioner) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Skifter Dobbelt Hyperkompleks Superrealistisk Hypermateriale surrealistisk
Numeriske udvidelsesværktøjer	Cayley-Dixon procedure Frobenius sætning Hurwitz-sætning
Andre nummersystemer	kardinalnumre Ordinaltal (transfinite, ordinaler) p-adic Overnaturlige tal intervaltal
se også	dobbelte tal Irrationelle tal transcendentale tal nummerstråle Biquaternion