Lineært ordnet sæt

Et lineært ordnet sæt ( kæde ) er et delvist ordnet sæt , hvor et hvilket som helst par af elementer er sammenligneligt, det vil sige for alle to elementer og eller finder sted . $-en$ $b$ $a\leqslant b$ $b\leqslant a$

Et af de centrale begreber i ordensteori ; spiller en vigtig rolle i generel algebra , især ordnede grupper , ordnede ringe , ordnede felter studeres især . Det vigtigste specialtilfælde af lineært ordnede sæt er fuldstændigt ordnede sæt .

Relaterede definitioner

En sektion af et lineært ordnet sæt er en opdeling af det i to delmængder og således at , og for enhver og : . Klasserne og kaldes henholdsvis de nedre og øvre snitklasser. $P$ $EN$ $B$ $A\kop B=P$ $A\cap B=\varnothing$ $a\i A$ $b\i B$ $a\leqslant b$ $EN$ $B$

Der skelnes mellem følgende typer sektioner:

hop — underklassen har det største element, og overklassen har det mindste;
Dedekind cut — der er ikke noget mindste element i overklassen eller der er ikke noget største element i underklassen, men ikke begge dele;
gap — underklassen har ikke det største element, og overklassen har ikke det mindste.

Et lineært ordnet sæt kaldes kontinuert , hvis alle dets sektioner er Dedekind.

En delmængde af et lineært ordnet sæt kaldes tæt, hvis hvert ikke-singleton-interval i sættet indeholder elementer, der tilhører . $D$ $P$ $P$ $D$

Egenskaber

En delmængde af en lineært ordnet mængde er i sig selv lineært ordnet.

Ethvert maksimum (minimum) element i et lineært ordnet sæt viser sig at være det største (mindste). [en]

Det lineært ordnede sæt af reelle tal kan karakteriseres som et kontinuerligt lineært ordnet mængde, der hverken har de største eller mindste elementer, men indeholder en tællig tæt delmængde.

Ethvert tælleligt lineært ordnet sæt er isomorf til en delmængde af segmentet med rækkefølgen nedarvet fra . $[0, 1]$ $\mathbb {R}$

Et gitter er isomorft i forhold til en delmængde af et lineært ordnet sæt af heltal , hvis og kun hvis hver af dets undergitter er en tilbagetrækning . $L$

Noter

↑ Det modsatte er altid sandt - det største element i et sæt er maksimum