0,(9)

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 22. februar 2022; checks kræver 18 redigeringer .

0, (9) eller 0,999 ... ( , ) ("nul og ni i perioden") er en periodisk decimalbrøk, der repræsenterer tallet 1 . Med andre ord, $0.{\bar {9}}$ $0.{\dot {9}}$

1=0{,}(9).

Der er mange beviser på denne ligestilling.

På trods af at rigtigheden af denne lighed er et bevist faktum og ikke er i tvivl i det videnskabelige samfund, forsøger mange mennesker at bevise det modsatte. I sådanne beviser laves der sædvanligvis aritmetiske og logiske fejl. En sådan brændende uenighed er forårsaget af, at denne lighed er i strid med intuitionen. På grund af dette har det vundet stor popularitet.

Forklaring

Når man bruger matematisk notation, skal det forstås, at notation ikke er genstand for selve diskussionen, men kun dens betegnelse. To betegnelser kan godt betegne det samme. For eksempel posten og angive det samme nummer. Selvom disse er forskellige poster, definerer de det samme objekt. Et andet eksempel er og . Dette eksempel viser, at forskellige fælles brøker godt kan give det samme tal, og dermed er notationen som fælles brøk tvetydig. ${\frac {1}{10))$ $0{,}1$ ${\frac {1}{2))$ ${\frac {2}{4))$

At notationen i form af en endelig decimalbrøk er entydig er et kendetegn ved decimalbrøker. Forskellige endebrøker står for forskellige tal. Men denne egenskab fungerer kun for den endelige sag. I det generelle tilfælde (hvor både endelige og uendelige decimaler er tilladt), kan to forskellige decimaler repræsentere det samme tal. Dette skyldes det faktum, at uendelige brøker er et meget komplekst objekt, og mange egenskaber ved endelige brøker virker ikke eller virker ikke på dem. Et eksempel på en sådan tvetydig repræsentation er og . På trods af at deres notation er forskellig, repræsenterer de det samme tal, ligesom de repræsenterer det samme tal. $en$ $0{,}(9)$ ${\frac {1}{2))$ ${\frac {2}{4))$

Elementære beviser

Kolonneinddeling

En almindelig brøk (for eksempel ) kan repræsenteres i decimalform som en sidste eller periodisk decimalbrøk . Konvertering fra en almindelig brøk til en decimal kan ske ved at dividere med en kolonne . Efter at have divideret kolonnen med heltal 1 med heltal 3, får vi tallet 0,333 ... (i decimalnotation), hvor cifrene 3 gentages uendeligt: ${\frac {1}{3))$

{\frac {1}{3}}=0{,}333\ldots

Gang venstre side med 3.

{\frac {1}{3}}\cdot 3=1

Gang højre side med 3. Bemærk, at gange hver tredobbelt med 3 giver en ni:

0{,}333\ldots \cdot 3=0{,}999\ldots

På denne måde

1=0{,}999\ldots

[1] .

På samme måde kan du bevise denne lighed ved at dekomponere til en decimalbrøk ikke , men for eksempel : ${\frac {1}{3))$ ${\frac {1}{9}}$

{\frac {1}{9}}=0{,}111\ldots

{\frac {1}{9}}\cdot 9=1

0{,}111\ldots \cdot 9=0{,}999\ldots

1=0{,}999\ldots

Nummermanipulationer

Det tidligere bevis blev opnået ved hjælp af lang division, som er en algoritme til at konvertere en fælles brøk til en decimal. Du kan gå den anden vej og bruge algoritmen til at konvertere en periodisk decimalbrøk til en almindelig.

Lad os betegne tallet som . Når du multiplicerer et decimaltal med et tal, ændres cifrene ikke, kommaet flytter et ciffer til højre: $0{,}(9)$ $x$ $ti$

0{,}999\ldots \cdot 10=9{,}999\ldots

Det er,

10x=9{,}999\ldots

Hvis du trækker fra tallet , trækkes alle ni efter decimaltegnet fra, og nuller forbliver: $9{,}999\ldots$ $0{,}999\ldots$

9{,}999\ldots -0{,}999\ldots =9{,}000\ldots =9

Genkald den introducerede notation og erstat den venstre side af ligheden med dem: $x$

10x-x=9

Derefter,

9x=9

x=1

Nå, da vi betegnede med , altså $x$ $0{,}999\ldots$

0{,}999\ldots =1

Rigorøs begrundelse

På trods af enkelheden og klarheden af ovenstående beviser har de ikke tilstrækkelig matematisk stringens og formalitet. Det første bevis er baseret på det faktum, at

0{,}333\ldots \cdot 3=0{,}999\ldots

sekund på

0{,}999\ldots \cdot 10=9{,}999\ldots

Disse udtryk ser indlysende ud, men selvfølgeligheden er vildledende, som det kan ses af eksemplet med ligestilling i sig selv . Med en streng præsentation kræver disse fakta også bevis. Faktisk, hvis sådanne mærkelige ligheder kan holde til uendelige decimalbrøker, hvordan kan vi så være sikre på, at multiplikationsreglerne for dem fungerer på samme måde som for endelige? Enkelheden og indlysendeheden af ovenstående beviser opnås på grund af ræsonnementets slaphed, hvilket er afgørende for kontraintuitive udsagn. $1=0{,}(9)$

For at indføre stringens i ræsonnementet skal du først forstå, hvad notationen generelt betyder . Lad os overveje en sidste decimalbrøk, for eksempel . Hvad betyder denne post? Denne post er en forkortelse for følgende udtryk: $0{,}(9)$ $127{,}98765$

1\cdot 100+2\cdot 10+7\cdot 1+{\frac {9}{10}}+{\frac {8}{100}}+{\frac {7}{1000}} +{\frac {6}{10000}}+{\frac {5}{100000}}

Tallet, som denne post står for, er resultatet af dette udtryk. Så i matematik er selve begrebet en decimalbrøk defineret. Ifølge denne definition er en uendelig decimal nøjagtig den samme forkortelse for en sådan sum, idet den kun adskiller sig fra det sidste tilfælde ved, at antallet af led i det er uendeligt. Det vil sige, at for eksempel en brøk er en stenografi for $21{,}5(23)$

2\cdot 10+1\cdot 1+{\frac {5}{10}}+{\frac {2}{100}}+{\frac {3}{1000}}+{\frac { 2}{10000}}+{\frac {3}{100000}}+\ldots

Brøken, der tages i betragtning i denne artikel , er en stenografi for summen $0{,}(9)$

{\frac {9}{10}}+{\frac {9}{100}}+{\frac {9}{1000}}+{\frac {9}{10000}}+{\frac {9}{100000}}+\ldots

Tallet angivet af notationen er per definition summen af et uendeligt antal udtryk præsenteret ovenfor. Det skal forstås, at der kun er en formel notation for resultatet af ovenstående beløb, som ikke kræves for at opfylde andre egenskaber end at være lig med dette beløb. Uanset hvad denne sum viser sig at være lig med, vil dette tal være det samme, uanset hvor intuitivt dette er eller overensstemmelsen med vores forventninger. $0{,}(9)$ $0{,}(9)$

Resultatet af at summere et uendeligt antal led i matematisk analyse bestemmes ved hjælp af grænsebegrebet . Egenskaberne ved uendelige summer adskiller sig på mange måder fra egenskaberne for endelige summer og kræver særlig omhu i deres anvendelse.

Sekvensen er en geometrisk progression , hvis nævner er , og det første led er . Ifølge den velkendte formel i matematisk analyse er summen af en geometrisk progression , hvor er det første led og er nævneren. Derefter ${\frac {9}{10)),{\frac {9}{100)),{\frac {9}{1000)),{\frac {9}{10000)),\ldots$ $0{,}1$ ${\frac {9}{10}}$ ${\frac {b_{1}}{1-q}}$ $b_{1}$ $q$

0{,}(9)={\frac {9}{10}}+{\frac {9}{100}}+\ldots ={\frac {\dfrac {9}{10}}{ 1-{\dfrac {1}{10}}}}={\frac {\dfrac {1}{9}}{\dfrac {1}{9}}}=1

Dette bevis er kun baseret på den formelle definition af en decimalbrøk og indeholder ikke brugen af ubeviste egenskaber ved uendelige decimalbrøker.

Et sådant bevis (om ækvivalensen af tallene 10 og 9.999...) blev offentliggjort i 1770 af Leonhard Euler i publikationen " Elements of Algebra " [2] .

Formlen for summen af en konvergent geometrisk progression var kendt før Euler. Lærebogen fra 1811 An Introduction to Algebra bruger også en geometrisk progression for tallet 0,(9) [3] . I det 19. århundrede resulterede reaktionen på en sådan summeringsregel i påstanden om, at summen af en serie skal være grænsen for en sekvens af delsummer [4] .

Rigor af elementære beviser

Ved at bruge den formelle definition af en decimalbrøk kan man forsøge at opnå tilstrækkelig stringens til de to første beviser.

Beviset via lang division bruger det ikke-trivielle faktum, at lang division giver den korrekte repræsentation som en periodisk brøk, hvilket igen kræver et bevis. Egenskaben bevises meget enkelt ved hjælp af operationen med at gange talserier med et tal: $0{,}(3)\cdot 3=0{,}(9)$

0{,}(3)\cdot 3=\left({\frac {3}{10}}+{\frac {3}{100}}+\ldots \right)\cdot 3={\ frac {3}{10}}\cdot 3+{\frac {3}{100}}\cdot 3+\ldots ={\frac {9}{10}}+{\frac {9}{100}} +\ldots =0{,}(9)

Beviset ved manipulation af tal bruger to simple egenskaber. Først: $0{,}(9)\cdot 10=9{,}(9)$

0{,}(9)\cdot 10=\left({\frac {9}{10}}+{\frac {9}{100}}+\ldots \right)\cdot 10={\ frac {9}{10}}\cdot 10+{\frac {9}{100}}\cdot 10+\ldots =9\cdot 1+{\frac {9}{10}}+\ldots =9{ ,}(9)

For det andet:. $9{,}(9)-0{,}(9)=9$

9{,}(9)-0{,}(9)=\left(9\cdot 1+{\frac {9}{10}}+{\frac {9}{100}}\ldots \right)-\left({\frac {9}{10}}+{\frac {9}{100}}+\ldots \right)=\left(9\cdot 1+{\frac {9}{ 10}}+{\frac {9}{100}}\ldots \right)-\left(0\cdot 1+{\frac {9}{10}}+{\frac {9}{100}}+ \ldots \right)=(9\cdot 1-0)+\left({\frac {9}{10}}-{\frac {9}{10}}\right)+\left({\frac { 9}{100}}-{\frac {9}{100}}\right)+\ldots =9+0+0+0+\ldots =9

Under alle omstændigheder vil jagten på stringens enten føre til behovet for manipulationer med talserier eller til en anden mere kunstig definition af periodiske brøker. Implementeringen af den anden tilgang kan for eksempel være at bestemme værdien af periodiske brøker ved hjælp af en algoritme til at konvertere dem til almindelige. Alle egenskaber vil stadig kræve bevis, men uden behov for at ty til teorien om talserier. Et forsøg på at implementere den anden tilgang ved at definere periodiske brøker gennem opdeling i en kolonne vil ikke føre til det ønskede resultat, da det ved opdeling i en kolonne er umuligt at opnå en brøk med en periode . $9$

Andre efterfølgende decimaler

En lignende lighed kan opnås for enhver endelig decimalbrøk. Lad være nogle sidste decimalbrøk, . Derefter: ${\displaystyle a_{n}\ldots a_{0}{,}a_{-1}\ldots a_{-m))$ $a_{-m}\neq 0$

a_{n}\ldots a_{0}{,}a_{-1}\ldots a_{-m}=a_{n}\ldots a_{0}{,}a_{-1}\ldots [ a_{-m}-1](9)

De firkantede parenteser betyder her, at vi skriver et tal lig med . For eksempel , , . For enhver efterfølgende decimalbrøk kan der således opnås en anden decimalindtastning med ni i perioden. Dette fungerer også omvendt: For hver brøk med ni i perioden kan du få en endelig rekord. $a_{-m}-1$ $3=2{,}(9)$ $20=19{,}(9)$ $0{,}5=0{,}4(9)$ $0{,}01=0{,}00(9)$

Interessant er det faktum, at alle tvetydighederne i decimalnotationen er udtømt af denne sag. Lad os give en streng formulering af dette faktum. Først og fremmest skal vi nøje definere, hvilke poster vi betragter som de samme, og hvilke der er forskellige (for ikke at tælle poster som forskellige, f.eks. og , eller og ). Vi vil betragte to decimalposter for at være ens, hvis de har de samme cifre i alle cifre (hvis der ikke er et ciffer i posten, vil vi betragte dens værdi som nul). Derefter: $2{,}3$ $2{,}30$ $0{,}(3)$ $0{,}(33)$

hvis tallet ikke er nul og kan repræsenteres som en endelig decimalbrøk, så kan det repræsenteres med 9 i perioden
hvis tallet ikke er nul og kan repræsenteres med 9 i perioden, så kan det også repræsenteres som en sidste decimalbrøk

og disse repræsentationer er relateret af relationen

a_{n}\ldots a_{0}{,}a_{-1}\ldots a_{-m}=a_{n}\ldots a_{0}{,}a_{-1}\ldots [ a_{-m}-1](9)

der er ingen andre decimalrepræsentationer for sådanne tal.

Alle andre reelle tal har kun én decimalrepræsentation.

Sammenligning af decimaler

For efterfølgende decimaler er der en simpel algoritme til at sammenligne dem. Vi går fra venstre mod højre indtil det første mismatchede ciffer. Tallet, der har denne smule mere, er det større. Hvis alle cifre er ens, så er tallene ens.

Denne algoritme fungerer ikke længere med uendelige brøker. Ifølge denne algoritme skal tallet være større end , men disse tal er lige store. Algoritmen fungerer dog stadig til ikke-streng sammenligning: Hvis vi erstatter alle strenge uligheder i den med ikke-strenge, vil den også fungere for uendelige brøker. Således, for og det vil output , hvilket er sandt. $en$ $0{,}(9)$ $en$ $0{,}(9)$ $1\geq 0{,}(9)$

Hvis det er nødvendigt at sammenligne uendelige decimalbrøker, skal man tage højde for, at tilfældet med ni i en periode udtømmer alle tvetydige repræsentationer af tal. Således kan du blot bringe alle tal med en ni i perioden til den endelige post på forhånd og anvende den sædvanlige sammenligningsalgoritme.

Andre talsystemer

En lignende lighed kan opnås for ethvert positionsnummersystem . For et talsystem med et grundtal og et ledende ciffer , kan den endelige brøk repræsenteres som $k$ $c=k-1$ ${\displaystyle a_{n}\ldots a_{0}{,}a_{-1}\ldots a_{-m))$ $a_{-m}\neq 0$

a_{n}\ldots a_{0}{,}a_{-1}\ldots a_{-m}=a_{n}\ldots a_{0}{,}a_{-1}\ldots [ a_{-m}-1](c)

For eksempel: , , , . $0{,}(1)_{2}=1$ $0{,}(3)_{4}=1$ $0{,}(F)_{16}=1$ $0{,}0(1)_{2}=0{,}1_{2}=0{,}5$

Alle egenskaber er bevaret til andre talsystemer. På samme måde kan hver endelig brøk repræsenteres som en brøk med en periode og omvendt, og alle repræsentationer af et tal er udtømte af disse to repræsentationer. Resten af brøkerne har kun én repræsentation. De samme bemærkninger gælder for bitvis sammenligning af fraktioner. $c$

Et træk ved andre talsystemer er, at brøker repræsenteret i decimaltalsystemet af en sidste brøk kan repræsenteres som periodiske i et andet talsystem og omvendt. Så en brøk , som ikke er repræsenteret i decimaltalsystemet som en endelig brøk, er repræsenteret i den ternære som . En brøkdel i det ternære system er repræsenteret som . Antallet af repræsentationer af et bestemt tal som en n-ær brøk afhænger således af talsystemet. Et tal i form af en decimalbrøk har to repræsentationer: og , og i form af en ternær kun én: . Et tal i form af en decimalbrøk har én repræsentation: , og i form af en ternær to: og . $0{,}(3)$ $0{,}1_{3}$ $0{,}5$ ${\displaystyle 0{,}(1)_{3))$ ${\frac {1}{2))$ $0{,}5$ $0{,}4(9)$ ${\displaystyle 0{,}(1)_{3))$ ${\frac {1}{3))$ $0{,}(3)$ $0{,}1_{3}$ ${\displaystyle 0{,}0(2)_{3))$

Afhængigheden af antallet af n-ære repræsentationer af talsystemet manifesteres kun for ikke-heltallige rationelle tal. Alle heltal undtagen nul har to repræsentationer i ethvert talsystem, alle irrationelle og - en. $0$

Ansøgning

Ligestilling har anvendelser, for eksempel i elementær talteori . I 1802 offentliggjorde H. Goodwin en observation, han havde opdaget, da han dividerede tal med primtal . For eksempel:

${\frac {1}{7))$ = 0,142857142857 ... og _ _

142 + 857 = 999;

${\frac {1}{73}}$ = 0, 0136 9863 0136 9863 ... og

0136 + 9863 = 9999.

Midi (ME Midy) generaliserede i 1836 observationsdata til Midis teorem .

I populærkulturen

Forfatteren af nyhedsspalten " The Straight Dope " beviser ligningen 1 = 0,999... med 1 ⁄ 3 og grænser, og taler om en misforståelse:

Den lavere forrang hviler imod os og siger: ,999~ repræsenterer faktisk ikke et tal , men en proces . For at finde nummeret er vi nødt til at stoppe denne proces. Og på dette tidspunkt falder ligheden ,999~ = 1 bare fra hinanden.

- Nonsens [5] .

Spørgsmålet om lighed 1 = 0,999... blev så varmt et emne i de første syv år af Battle.net- foraene , at Blizzard Entertainment udsendte en "pressemeddelelse" til aprilsnar 2004:

Vi er meget glade for at lukke bogen om dette emne én gang for alle. Vi har været vidne til angsten og angsten for, om .999~ er lig med 1 eller ej, og vi er stolte af at præsentere følgende bevis, der løser dette problem for vores kunder [6] .

Det følgende er beviser baseret på grænser og multiplikation med tallet 10.

Se også

Noter

↑ Sammenlign med den binære version af det samme argument i Calculus gjort let af Silvanus P. Thompson (St. Martin 's Press, New York, 1998, ISBN 0-312-18548-0 ).
↑ Side 179 i Eulers bog.
↑ Grattan-Guinness, side 69; side 177 i Bonnycastle-bogen.
↑ Se for eksempel side 706 af J. Stewart, side 61 af Rudin, side 213 af Protter og Morrey, side 180 af Pugh, side 31 af JB Conway.
↑ Cecil Adams . Et uendeligt spørgsmål: Hvorfor er .999~ ikke = 1? (engelsk) (utilgængeligt link) . The Straight Dope . Chicago Reader (11. juli 2003). Hentet 6. september 2006. Arkiveret fra originalen 18. februar 2012.
↑ Blizzard Entertainment: Pressemeddelelser . Hentet 17. juni 2015. Arkiveret fra originalen 17. juni 2015.