Polygon

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 21. juli 2022; checks kræver 7 redigeringer .

En polygon er en geometrisk figur, normalt defineret som en del af et plan afgrænset af en lukket polylinje . Hvis grænsepolygonen ikke har nogen selvskæringspunkter , kaldes polygonen simpel [1] . For eksempel er trekanter og firkanter simple polygoner, men et pentagram er det ikke.

Brydepunkterne for polylinjen kaldes polygonens hjørner , og dens led kaldes polygonens sider . Antallet af sider af polygonen er det samme som antallet af dets hjørner [2] .

Varianter af definitioner

Der er tre forskellige muligheder for at definere en polygon; sidstnævnte definition er den mest almindelige [1] .

En flad lukket brudt linje er det mest generelle tilfælde;
En flad lukket polylinje uden selvskæringer , hvis to tilstødende led ikke ligger på den samme lige linje;
Den del af planet, der er afgrænset af en lukket polylinje uden selvskæringer, er en flad polygon ; i dette tilfælde kaldes selve polylinjen polygonens kontur .

Der er også flere muligheder for at generalisere denne definition, hvilket tillader et uendeligt antal stiplede linjer, adskillige adskilte grænsepolylinjer, stiplede linjer i rummet, vilkårlige segmenter af kontinuerlige kurver i stedet for segmenter af lige linjer osv. [1]

Relaterede definitioner

En polygons hjørner kaldes naboer , hvis de er enderne af en af dens sider.
Siderne af en polygon kaldes tilstødende , hvis de støder op til samme toppunkt.
Den samlede længde af alle sider af en polygon kaldes dens omkreds .
Diagonaler er segmenter, der forbinder ikke-naboende hjørner af en polygon.
Vinklen (eller indvendig vinkel ) af en flad polygon ved et givet toppunkt er vinklen mellem to sider, der konvergerer ved det toppunkt. Vinklen kan overstige , hvis polygonen ikke er konveks. Antallet af hjørner af en simpel polygon er det samme som antallet af dens sider eller hjørner. $180^{\cirkel }$
Den ydre vinkel af en konveks polygon ved et givet toppunkt er vinklen, der støder op til polygonens indre vinkel ved det toppunkt. I tilfælde af en ikke-konveks polygon er den ydre vinkel forskellen mellem og den indre vinkel, den kan tage værdier fra til . $180^{\cirkel }$ ${\displaystyle -180^{\circ ))$ $180^{\cirkel }$
En vinkelret faldet fra midten af den indskrevne cirkel af en regulær polygon til en af siderne kaldes apotem .

Typer af polygoner og deres egenskaber

En polygon med tre hjørner kaldes en trekant , med fire - en firkant , med fem - en femkant , og så videre. En polygon med hjørner kaldes en -gon . $n$ $n$

En konveks polygon er en polygon, der ligger på den ene side af enhver linje, der indeholder dens side (det vil sige, at forlængelserne af polygonens sider ikke skærer dens andre sider). Der er andre tilsvarende definitioner af en konveks polygon . En konveks polygon er altid enkel , det vil sige, den har ingen selvskæringspunkter.
En konveks polygon kaldes regulær , hvis den har alle sider og alle vinkler ens, såsom en ligesidet trekant , en firkant og en regulær femkant . Schläfli-symbolet for en regulær -gon er . $n$ ${\displaystyle \{n\))$
En polygon, der har alle sider og alle vinkler ens, men som har selvskæringer, kaldes en regulær stjerneformet polygon , for eksempel pentagram og oktagram .
En polygon kaldes indskrevet i en cirkel, hvis alle dens toppunkter ligger på den samme cirkel. Selve cirklen kaldes omskrevet , og dens centrum ligger i skæringspunktet mellem de mediale perpendikulære sider af polygonen. Enhver trekant er indskrevet i en cirkel.
En polygon kaldes circumcircle , hvis alle dens sider rører ved en cirkel. Selve cirklen kaldes indskrevet , og dens centrum ligger i skæringspunktet mellem halveringslinjerne for polygonens vinkler. Enhver trekant er omskrevet omkring en cirkel.
En konveks firkant kaldes ikke-omskrevet nær en cirkel, hvis forlængelserne af alle dens sider (men ikke siderne selv) er tangent til en cirkel. [3] Cirklen kaldes excirkel . En excirkel findes også for en vilkårlig trekant .

Generelle egenskaber

Trekantuligheden

Trekantuligheden siger, at længden af enhver side af en trekant altid er mindre end summen af længderne af dens to andre sider : . Den omvendte trekantsulighed siger, at længden af enhver side af en trekant altid er større end modulet af forskellen mellem længderne af dens to andre sider. $a<b+c,\quad b<c+a,\quad c<a+b$

Den firkantede ulighed

Firkantet ulighed - modulet af forskellen mellem to sider af en firkant overstiger ikke summen af de to andre sider :. $\left|ab\right|\leq c+d$
Tilsvarende: i enhver firkant (inklusive en degenereret) er summen af længderne af dens tre sider ikke mindre end længden af den fjerde side, det vil sige: ; ; ; . $a\leq b+c+d$ $b\leq +c+d$ $c\leq a+b+d$ $d\leq a+b+c$

Polygonvinkelsumsætning

Summen af de indre vinkler af en simpel flad gon er [4] . Summen af de ydre vinkler afhænger ikke af antallet af sider og er altid lig med $n$ $180^{\cirkel}(n-2)$ $360^{\circ }.$

Antal diagonaler

Antallet af diagonaler af enhver -gon er . $n$ ${\tfrac {n(n-3)}{2))$

Område

Lade være en sekvens af koordinater af hjørnerne af -gon støder op til hinanden uden selvskæringspunkter . Derefter beregnes dens areal ved Gauss formlen : $\{(X_{i},Y_{i})\},i=1,2,...,n$ $n$

S={\frac {1}{2}}\left|\sum \limits _{{i=1}}^{n}(X_{i}+X_{{i+1}})(Y_{i }-Y_{{i+1}})\right|

, hvor .

(X_{{n+1}},Y_{{n+1}})=(X_{1},Y_{1})

Givet længderne af siderne af polygonen og azimutvinklerne af siderne, så kan arealet af polygonen findes ved hjælp af Sarrons formel [5] .

Arealet af en regulær -gon beregnes ved en af formlerne [6] : $n$

halvdelen af produktet af perimeter -gon og apotem : $n$

$S={\frac {n}{4}}\ a^{2}{\mathop {{\mathrm {}}}}\,\operatørnavn {ctg}{\frac {\pi }{n}}$ .

$S={\frac {1}{2}}nR^{2}\sin {\frac {360^{\circ }}{n));$

$S=nr^{2}{\mathop {{\mathrm {tg))))\,{\frac {\pi}{n))$

hvor er længden af siden af polygonen, er radius af den omskrevne cirkel, er radius af den indskrevne cirkel. $-en$ $R$ $r$

Kvadring af figurer

Ved hjælp af et sæt polygoner bestemmes kvadratet og arealet af en vilkårlig figur på flyet. En figur kaldes kvadrering , hvis der for nogen er et par polygoner og , sådan at og , hvor betegner området . $F$ $\varepsilon >0$ $P$ $Q$ $P\undersæt F\undersæt Q$ $S(Q)-S(P)<\varepsilon$ $S(P)$ $P$

Variationer og generaliseringer

Et polyeder er en generalisering af en polygon i dimension tre, en lukket overflade sammensat af polygoner eller et legeme afgrænset af det.

Noter

↑ 1 2 3 Polygon // Mathematical Encyclopedia (i 5 bind) . - M .: Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 3. - S. 749-752.
↑ 1 2 3 Elementær matematik, 1976 , s. 383-384.
↑ Kartaslov.ru
↑ Elementær matematik, 1976 , s. 499.
↑ Khrenov L. S. Beregning af arealer af polygoner ved hjælp af Sarrons metode Arkivkopi af 19. juli 2020 på Wayback Machine // Mathematical Education. 1936. Hefte 6. S. 12-15
↑ Elementær matematik, 1976 , s. 503-504.

Litteratur

Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Elementær matematik. Gentag kurset. - Tredje udgave, stereotypisk. — M .: Nauka, 1976. — 591 s.

Links

Weisstein, Eric W. Polygon (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .

Polygoner

Efter antal sider

Monogon
Bigon
Trekant
Firkantet
Pentagon
Sekskant
Heptagon
Oktagon
femkant
Decagon
Hendecagon
Dodecagon
Tretten
tetradekagon
Pentagon
Sekskant
Sytten
ottekant
Nittenagon
Dodecagon
Enogtyve-sidet
22-vinkel
Twentytrigon
Tyve-firkantet
tyve femkant
Oktagon tyve
Tridecagon
Thirty-Biagon
Fyrre kvadratisk
Forty bicagon
pinseven
pinseven
Hexagon
Sixty-quad
Heptagon
Octagon
Nonagon
[ da
Millagon
Ten-thousand-gon
Hundrede tusindedel
Milliogon
uendelighed

korrekt

konveks	Trekant Firkant Pentagon Sekskant Heptagon Oktagon femkant tetradekagon Sytten 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
stjerneklar	Pentagram Hexagram Heptagram Octagram ( Star of Lakshmi ) Enneagram Dekagram Endecagram Dodekagram

trekanter

Firkanter

se også

Schläfli symbol
Polygoner	{en} {2} {3} {fire} {5} {6} {7} {otte} {9} {ti} {elleve} {12} {fjorten} {femten} {17} {atten} {tyve} {tredive} {51} {257} {65537} {4294967295} {∞}
stjerne polygoner	{5/2} {6/2} {7/2} {7/3} {8/2} {8/3} {9/2} {9/3} {9/4}
Flade parketgulve _	{3,6} {4,4} {6,3}
Almindelige polyedere og kugleformede parketgulve	{2, n } {3,3} {4,3} {3,4} {5,3} {3,5} { n ,2}
Kepler-Poinsot polyedre	{5/2.5} {5,5/2} {5/2,3} {3,5/2}
honningkager	{4,3,4}
Firedimensionelle polyedre	{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}

Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk Fantastisk norsk Stor russer Ny Britannica (online) Brockhaus
I bibliografiske kataloger	BNF : 12266998h GND : 4175197-8 J9U : 987007563260005171 LCCN : sh85104637 NKC : ph327599