Kernel (lineær algebra)

Kernen i en lineær mapping er sådan et lineært underrum af mapping-domænet , hvor hvert element er afbildet til en nulvektor [1] [2] . Nemlig, hvis en lineær afbildning er givet mellem to vektorrum V og W , så er kernen af afbildningen L vektorrummet for alle elementer i rummet V , således at , hvor angiver nulvektoren fra W [3] , eller mere formelt: $L\colon V\to W$ $\mathbf{v}$ $L(\mathbf {v} )=\mathbf {0}$ $\mathbf {0}$

\ker(L)=\venstre\{\mathbf {v} \in V\mid L(\mathbf {v} )=\mathbf {0} \right\}.

Egenskaber

Kernen i kortet L er et lineært underrum af domænet V [4] . I en lineær kortlægning har to elementer af V det samme billede i W , hvis og kun hvis deres forskel ligger i kernen af L : $L\colon V\to W$

L(\mathbf {v} _{1})=L(\mathbf {v} _{2})\iff L(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2 })=\mathbf {0} .

Det følger af dette, at billedet L er isomorft til kvotientrummet i rummet V med hensyn til kernen:

\operatørnavn {im} (L)\cong V/\ker(L).

I det tilfælde, hvor V er finit -dimensional , indebærer dette rang- og defektsætningen :

\dim(\ker L)+\dim(\operatørnavn {im} L)=\dim(V),

hvor vi med rang mener dimensionen af billedet af kortlægningen L , og med defekten dimensionen af kernen af kortlægningen L [5] .

Hvis V er et præ-Hilbert-rum , kan kvotientrummet identificeres med det ortogonale komplement til V -rummet . Dette er en generalisering af de lineære operatorer af rækkerummet eller matrix-sambilledet. $V/ker(L)$ $ker(L)$

Anvendelse til moduler

Begrebet en kerne giver også mening for modulhomomorfismer , som er generaliseringer af vektorrum, hvor skalarer er elementer i en ring , ikke et felt . Omfanget af en mapping er et modul med en kerne, der danner et undermodul . Her er begreberne rang og dimension af kernen valgfrie.

I funktionel analyse

Hvis og er topologiske vektorrum og er endelig-dimensionelle, så er den lineære operator kontinuert, hvis og kun hvis kernen af kortlægningen er et lukket underrum af rummet . $V$ $W$ $W$ $L\colon V\to W$ $L$ $V$

Repræsentation som en matrixmultiplikation

Overvej en lineær afbildning repræsenteret af en matrix af størrelse med koefficienter fra feltet (normalt fra eller ), det vil sige, at operere på kolonnevektorer med elementer fra feltet . Kernen i denne lineære kortlægning er sættet af løsninger til ligningen , hvor det forstås som nulvektoren . Dimensionen af matrixkernen kaldes matrixens defekt . I form af operationer på sæt , $EN$ $m\ gange n$ $K$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $\mathbf {x}$ $n$ $K$ $A\mathbf {x} =\mathbf {0}$ $\mathbf {0}$ $EN$ $EN$

\operatørnavn {N} (A)=\operatørnavn {Null} (A)=\operatørnavn {ker} (A)=\venstre\{\mathbf {x} \in K^{n}|A\mathbf {x} =\mathbf {0} \right\}.

Matrixligningen svarer til det homogene system af lineære ligninger :

A\mathbf {x} =\mathbf {0} \;\;\Leftrightarrow \;\;\left\{{\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+ \;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\\a_{21}x_{1}&&\ ;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\\vdots \;\;\; &&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\;\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\; +\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&0{\text{.}}\\\end{aligned}}\right.

Så er kernen i matrixen den samme som løsningen til sættet af homogene ligninger ovenfor. $EN$

Underrumsegenskaber

Kernen i en matrix over et felt er et lineært underrum . Det vil sige, at kernen i matrixen , set , har følgende tre egenskaber: $m\ gange n$ $EN$ $K$ $K^n$ $EN$ $\operatorname {Null} (A)$

$\operatorname {Null} (A)$ indeholder altid en nulvektor, fordi . $A\mathbf {0} =\mathbf {0}$
Hvis og , så . Dette følger af den distributive egenskab ved matrixmultiplikation. $\mathbf {x} \i \operatørnavn {Nul} (A)$ $\mathbf {y} \in \operatørnavn {Null} (A)$ $\mathbf {x} +\mathbf {y} \in \operatørnavn {Null} (A)$
Hvis , a er en skalar , så siden . $\mathbf {x} \i \operatørnavn {Nul} (A)$ $c$ $c\in K$ $c\mathbf {x} \i \operatørnavn {Null} (A)$ $A(c\mathbf {x} )=c(A\mathbf {x} )=c\mathbf {0} =\mathbf {0}$

Rækkerumsmatrix

Produktet kan skrives i form af punktproduktet af vektorer som følger: $A\mathbf {x}$

A\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {a} _{m}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}}.

Her er rækkerne i matrixen . Dette indebærer, at det hører til matrixens kerne, hvis og kun hvis vektoren er ortogonal (vinkelret) på hver af matrixens rækkevektorer (da ortogonalitet er defineret som, at det skalære produkt er lig med nul). ${\displaystyle \mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {a} _{m))$ $EN$ $\mathbf {x}$ $EN$ $\mathbf {x}$ $EN$

Rækkerummet eller sambilledet af matrixen er det lineære spænd af matrixens rækkevektorer . Af ovenstående årsager er matrixkernen det ortogonale komplement til rækkerummet. Det vil sige, at en vektor ligger ved matrixkernen, hvis og kun hvis den er vinkelret på en hvilken som helst vektor fra matrixens rækkerum . $EN$ $EN$ $EN$ $\mathbf {x}$ $EN$ $EN$

Dimensionen af rækkerummet i en matrix kaldes matrixens rang , og dimensionen af matrixkernen kaldes matrixens defekt . Disse mængder er relateret af rang- og defektsætningen $EN$ $EN$ $EN$ $EN$

\operatørnavn {rang} (A)+\operatørnavn {ugyldighed} (A)=n.

[5]

Venstre null mellemrum (kokerne)

Det venstre nullrum eller cokernel af en matrix består af alle vektorer sådan, at , hvor betegner transpositionen af matrixen. Det venstre nulrum i en matrix er det samme som kernen i matrixen . Det venstre nulrum i en matrix er ortogonalt i forhold til matrixens kolonnerum og er dobbelt i forhold til cokernelen af den tilhørende lineære transformation. Kernen, rækkerummet, kolonnerummet og venstre nullrum i en matrix er de fire grundlæggende underrum , der er knyttet til en matrix . $EN$ $\mathbf {x}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ^{T}A=\mathbf {0} ^{T))$ $T$ $EN$ $A^{T}$ $EN$ $EN$ $EN$ $EN$

Inhomogene systemer af lineære ligninger

Kernen spiller også en vigtig rolle i løsningen af ikke-homogene systemer af lineære ligninger:

A\mathbf {x} =\mathbf {b} \;\;\Leftrightarrow \;\;\left\{{\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+ \;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1 }&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{2}\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\;\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_ {2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&b_{m}.\\\end{aligned}}\right.

Lad så vektorerne og være løsningerne af ligningen ovenfor $\mathbf {u}$ $\mathbf{v}$

A(\mathbf {u} -\mathbf {v} )=A\mathbf {u} -A\mathbf {v} =\mathbf {b} -\mathbf {b} =\mathbf {0} .

Forskellen mellem to af systemets løsninger ligger således i matrixens kerne . $A\mathbb {x} =\mathbb {b}$ $EN$

Dette indebærer, at enhver løsning til ligningen kan udtrykkes som summen af en fast løsning og et element af kernen. Det vil sige, at mængden af løsninger til ligningen er $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ $\mathbf{v}$ $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$

\left\{\mathbf {v} +\mathbf {x} \mid A\mathbf {v} =\mathbf {b} \land \mathbf {x} \i \operatornavn {Null} (A)\ ret\}.

Geometrisk betyder det, at mængden af løsninger til ligningen dannes ved parallel overførsel af matrixkernen til vektoren . Se også Fredholm Alternativ . $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ $EN$ $\mathbf{v}$

Illustration

Nedenfor er en simpel illustration af beregning af kernen i en matrix (se Gaussisk beregning nedenfor for en metode, der er mere egnet til mere komplekse beregninger). Illustrationen berører også strengmellemrum og deres forhold til kernen.

Overvej matrixen

A={\begin{bmatrix}2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}.

Kernen i denne matrix består af alle vektorer for hvilke ${\displaystyle (x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3))$

{\begin{bmatrix}2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0 \end{bmatrix}},

som kan udtrykkes som et homogent system af lineære ligninger for , og : $x$ $y$ $z$

{\begin{aligned}2x+3y+5z&=0,\\-4x+2y+3z&=0.\end{aligned))

De samme ligheder kan skrives i matrixform:

\left[{\begin{array}{ccc|c}2&3&5&0\\-4&2&3&0\end{array}}\right].

Ved hjælp af Gauss-metoden kan matrixen reduceres til:

\left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&1/16&0\\0&1&13/8&0\end{array}}\right].

Konvertering af matricen til ligninger giver:

{\begin{aligned}x&=-{\frac {1}{16}}z\\y&=-{\frac {13}{8}}z.\end{aligned}}

Elementerne i kernen kan udtrykkes i en parametrisk form som følger:

{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1/16\\-13/8\\1\end{bmatrix}}\ quad ({\text{hvor))\quad c\in \mathbb {R} )

Da det er en fri variabel , der løber over alle reelle tal, kan dette udtryk omskrives tilsvarende som: $c$

{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}.

Kernen i matrixen er præcis sættet af løsninger til disse ligninger (i dette tilfælde linjen gennem oprindelsen i ). Her danner vektoren (−1,−26,16) T grundlaget for matrixens kerne . Matrixdefekten er 1. $EN$ $\mathbb {R} ^{3}$ $EN$ $EN$

Følgende prikprodukter er nul:

{\begin{bmatrix}2&3&5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}=0\quad {\text{ og }}\quad {\begin{bmatrix}-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}=0\mathrm {,}

hvilket viser, at matrixens kernevektorer er ortogonale på hver rækkevektor i matrixen . $EN$ $EN$

Det lineære spænd af disse to (lineært uafhængige) rækkevektorer er et plan vinkelret på vektoren . ${\displaystyle (-1,-26,16)^{T))$

Da matrixens rang er 2, dimensionen af matrixkernen er 1, og matrixens dimension er 3, har vi en illustration af rang- og defektsætningen. $EN$ $EN$ $EN$

Eksempler

Hvis , så er kernen i kortlægningen mængden af løsninger af det homogene system af lineære ligninger . Som i illustrationen ovenfor, hvis er en operator: ${\displaystyle L\colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n))$ $L$ $L$

L(x_{1},x_{2},x_{3})=(2x_{1}+3x_{2}+5x_{3},\;-4x_{1}+2x_{2}+ 3x_{3})

, så er kernen af operatøren L systemets løsninger

{\begin{alignedat}{7}2x_{1}&\;+\;&3x_{2}&\;+\;&5x_{3}&\;=\;&0\\-4x_{1} &\;+\;&2x_{2}&\;+\;&3x_{3}&\;=\;&0\end{aligned}}

Lad betegne vektorrummet for alle kontinuerte reelle funktioner på intervallet [0,1]. Lad os definere reglen $C[0,1]$ $L\colon C[0,1]\to \mathbb {R}$

L(f)=f(0,3){\tekst{.))\,

Så består kernen af L af alle funktioner , som .

f\in C[0,1]

f(0,3)=0

Lad være vektorrummet for alle uendeligt differentierbare funktioner og lad være differentieringsoperatoren : $C^{\infty }(\mathbb {R} )$ $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $D\colon C^{\infty }(\mathbb {R} )\to C^{\infty }(\mathbb {R} )$

D(f)={\frac {df}{dx}}{\tekst{.}}

Så består kernen af D af alle funktioner i , hvis afledede er lig nul, altså af alle konstantfunktioner .

C^{\infty }(\mathbb {R} )

Lad være det direkte produkt af et uendeligt antal kopier , og lad være skiftoperatoren ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty ))$ $\mathbb {R}$ ${\displaystyle s\colon \mathbb {R} ^{\infty }\to \mathbb {R} ^{\infty ))$

s(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\ldots )=(x_{2},x_{3},x_{4},\ldots){\ tekst{.}}

Så vil kernen af operatoren s være et endimensionelt underrum bestående af alle vektorer .

(x_{1},0,0,\dots )

Hvis er et præ-Hilbert-rum og er et underrum, er den ortogonale projektionskerne det ortogonale komplement i . $V$ $W$ $V\to W$ $W$ $V$

Gauss-beregninger

Grundlaget for kernen i en matrix kan beregnes ved hjælp af Gauss-metoden .

Til dette formål, givet en matrix , konstruerer vi først en række- udvidet matrix , hvor er identitetsmatrixen . $m\ gange n$ $EN$ $\left[{\begin{array}{c}A\\\hline E\end{array}}\right],$ $E$ $n\ gange n$

Hvis vi beregner matrixens søjletrinformede form ved Gauss-metoden (eller en hvilken som helst anden egnet metode), får vi matrixen . Grundlaget for matrixkernen består af søjler, der ikke er nul, således at de tilsvarende søjler i matrixen a er nul . $\left[{\begin{array}{c}B\\\hline C\end{array}}\right].$ $EN$ $C$ $B$

Faktisk kan beregningen stoppes, så snart matricen tager den søjletrinformede form - resten af beregningen består i at ændre grundlaget for vektorrummet dannet af søjlerne, hvis top er lig med nul.

Lad os for eksempel forestille os det

A=\left[{\begin{array}{cccccc}1&0&-3&0&2&-8\\0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\end{array}}\,\right].

Derefter

{\displaystyle \left[{\begin{array}{c}A\\\hline E\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cccccc}1&0&-3&0&2&-8\\ 0&1&5&0&-1&4\\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\\\hline

Hvis vi reducerer den øvre del ved hjælp af operationer på kolonner til en trinvis form, får vi

{\displaystyle \left[{\begin{array}{c}B\\\hline C\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cccccc}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0 \\0&0&0&0&0&0\\\hline 1&0&0&3&-2&8\\0&1&0&-5&1&-4\\0&0&0&1&0&0\\\0&0&1&0&-7&9\\\0&0&0&0&1&0\\\0&0&0&1}\end\{&0}].

De sidste tre kolonner i matrixen er nul. Derfor er de sidste tre vektorer i matrixen , $B$ $C$

\left[\!\!{\begin{array}{r}3\\-5\\1\\0\\\0\\0\end{array}}\right],\;\venstre [\!\!{\begin{array}{r}-2\\1\\0\\\-7\\1\\0\end{array}}\right],\;\venstre[\!\ !{\begin{array}{r}8\\-4\\0\\9\\0\\1\end{array}}\right]

er grundlaget for matrixkernen . $EN$

Bevis på, at metoden beregner en kerne: da kolonneoperationer svarer til højre multiplikation med en inverterbar matrix, betyder det faktum, at reducerer til , at der eksisterer en inverterbar matrix, sådan at hvor har en trinform. Så og kolonnevektor hører til kernen af matricen (dvs. ) hvis og kun hvis hvor Da den har en trinvis form, hvis og kun hvis ikke-nul elementer svarer til nul kolonner i matricen Efter multiplikation med, kan vi konkludere, at dette sker, hvis og kun når er en lineær kombination af de tilsvarende søjler i matrixen $\left[{\begin{array}{c}A\\\hline E\end{array}}\right]$ $\left[{\begin{array}{c}B\\\hline C\end{array}}\right]$ $P$ $\left[{\begin{array}{c}A\\\hline E\end{array}}\right]P=\left[{\begin{array}{c}B\\\hline C \end{array}}\right],$ $B$ $AP=B,$ $IP=C,$ $AC=B.$ $v$ $EN$ $Av=0$ $Bw=0,$ $w=P^{-1}v=C^{-1}v.$ $B$ $Bw=0$ $w$ $b.$ $C$ $v=cw$ $C.$

Numeriske beregninger

Opgaven med at beregne kernen på en computer afhænger af koefficienternes art.

Præcise odds

Hvis koefficienterne for en matrix er angivet som nøjagtige tal, kan trinformen af matrixen beregnes af Bareis-algoritmen , som er mere effektiv end Gauss-metoden. Endnu mere effektiv er brugen af modulo-sammenligning og den kinesiske restsætning , som reducerer problemet til flere lignende problemer over endelige felter (hvilket reducerer overhead genereret af den ikke-lineære beregningsmæssige kompleksitet af heltalsmultiplikation).

For koefficienter fra et endeligt felt fungerer Gauss-metoden godt, men for store matricer, der sker i kryptografi og ved beregning af Gröbner-grundlaget , kendes bedre algoritmer, der har næsten samme beregningskompleksitet , men som er hurtigere og mere velegnede til moderne computerenheder .

Flydende kommaberegninger

For matricer, hvis elementer er flydende-komma-tal , giver opgaven med at beregne kernen kun mening for matricer, hvis antal rækker er lig med dens rang - på grund af afrundingsfejl , har flydende-kommamatricer næsten altid fuld rang , selv når de er en tilnærmelse af en matrix af mange lavere rang. Selv for en matrix med fuld rang kan dens kerne kun beregnes, når den er velkonditioneret , dvs. den har et lavt betingelsesnummer [6] .

Og for en velkonditioneret fuldrangsmatrix opfører Gauss-metoden sig ikke korrekt: afrundingsfejlene er for store til at opnå et meningsfuldt resultat. Da beregningen af matrixkernen er et særligt tilfælde af løsning af et homogent system af lineære ligninger, kan kernen beregnes ved hjælp af enhver algoritme designet til at løse homogene systemer. Den avancerede software til dette formål er Lapack- biblioteket .

Se også

Noter

↑ The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon - Null . Math Vault (1. august 2019). Hentet: 9. december 2019. (ubestemt)
↑ Weisstein, Eric W. Kernel . mathworld.wolfram.com . Hentet: 9. december 2019. (ubestemt)
↑ Kernel (Nullspace) | Brilliant Math & Science Wiki . brilliant.org . Hentet: 9. december 2019. (ubestemt)
↑ Lineær algebra som diskuteret i denne artikel er en veletableret matematisk disciplin, som der kan findes mange bøger om. Næsten hele artiklens materiale kan findes i foredrag af Lay ( Lay, 2005 ), Meyer ( Meyer, 2001 ) og Strang.
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Rank-Nullity Theorem . mathworld.wolfram.com . Hentet: 9. december 2019. (ubestemt)
↑ Arkiveret kopi . Hentet 14. april 2015. Arkiveret fra originalen 29. august 2017. (ubestemt)

Litteratur

Sheldon Jay Axler. Lineær algebra udført rigtigt. — 2. - Springer-Verlag, 1997. - ISBN 0-387-98259-0 .
Gilbert Strang. Lineær algebra og dens anvendelse. - Moskva: Mir, 1980.
David C Lay. Lineær algebra og dens anvendelser. — 3. - Addison Wesley, 2005. - ISBN 978-0-321-28713-7 .
Carl D Meyer. Matrixanalyse og anvendt lineær algebra. - Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), 2001. - ISBN 978-0-89871-454-8 .
David Poole. Lineær algebra: en moderne introduktion. — 2. — Brooks/Cole, 2006. — ISBN 0-534-99845-3 .
Howard Anthony. Elementær lineær algebra (applikationsversion). — 9. - Wiley International, 2005.
Steven J. Leon. Lineær algebra med applikationer . — 7. — Pearson Prentice Hall, 2006.
Serge Lang . Lineær algebra. - Springer, 1987. - ISBN 9780387964126 .
Lloyd N. Trefethen, David III Bau. Numerisk lineær algebra . - SIAM, 1997. - ISBN 978-0-89871-361-9 .

Links

Hazewinkel, Michiel, red. (2001), Kernel of a matrix , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Khan Academy , Introduktion til Null Space of a Matrix

Vektorer og matricer

Vektorer

Basale koncepter	Vektor i geometri Basis Ortogonalt grundlag Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Lineær afhængighed Søjleplads
Slags vektorer	Enhedsvektor Aksial vektor isotrop vektor Normal Kolinearitet Nul vektor Radius vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalært produkt vektor produkt blandet produkt Pseudoskalært produkt Dobbelt kryds produkt
Rumtyper	vektor rum affint rum Euklidisk rum Pseudo-euklidisk rum Normeret rum Minkowski plads

matricer

Basale koncepter	Matrix multiplikation Transponeret matrix Hermitisk konjugeret matrix Symmetrisk matrix omvendt matrix Egenværdi Karakteristisk polynomium af en matrix
Særlige matricer	Identitetsmatrix Nul matrix Diagonal matrix lambda matrix
Matrix nedbrydninger	LU nedbrydning Kolesky nedbrydning QR-nedbrydning LUP nedbrydning singular værdi nedbrydning Spektral nedbrydning af en matrix

Andet