Fredholm Alternativ

Fredholm-alternativet er et sæt af Fredholms sætninger om løseligheden af Fredholm-integralligningen af anden art.

Forskellige formuleringer af alternativet er givet. Kildemæssigt forstås Fredholm-alternativet kun som den første Fredholm-sætning, der siger, at enten har en inhomogen ligning en løsning for et hvilket som helst frit led, eller en adjoint (unions)ligning har en ikke-trivial løsning [1] . Fredholms alternativ til integralligninger er en generalisering til det uendeligt-dimensionelle tilfælde af lignende sætninger i et endeligt-dimensionelt rum (for systemer af lineære algebraiske ligninger ). Generaliseret af F. Riss til lineære operatorligninger med fuldstændig kontinuerte operatorer i Banach-rum [2] .

Finit-dimensional space

Enten har ligningen en løsning for enhver højre side , eller også har ligningen, der støder op til den , en ikke-triviel løsning $\mathcal Az = u$ $u \i W$ $\mathcal A^*w=0$

Bevis

Metode 1

Lad . Der er to tilfælde: enten , eller . Betingelsen svarer til betingelsen , hvilket betyder, at ligningen har en løsning for evt . Desuden, da , da og dermed, har ligningen ikke en løsning, der ikke er nul. Betingelsen svarer til betingelsen , hvilket betyder eksistensen af en ikke-nul vektor , det vil sige en ikke-nul løsning . Desuden har ligningen ikke en løsning for nogen . $r = \operatørnavn{rg} \mathcal A, ~m = \operatørnavn{dim} W$ $r=m$ $r<m$ $r=m$ $\operatorname {im} {\mathcal {A}}=W$ $\mathcal Az = u$ $u \i W$ $\operatørnavn{rg} \mathcal A = \operatørnavn{rg} \mathcal A^*$ $\operatorname {ker} {\mathcal {A}}^{*}=0$ $\mathcal A^*w=0$ $r<m$ $\operatorname {dim} (\operatorname {ker} {\mathcal {A}}^{*})>0$ $w \in \operatørnavn{ker} \mathcal A^*$ $\mathcal A^*w=0$ $\operatørnavn{im} \mathcal A \ne W$ $\mathcal Az = u$ $u \i W$

Metode 2

Lad system (1), dvs. have en løsning for evt . I dette tilfælde , fordi det ellers for nogle ville være mindre end rangeringen af den udvidede matrix, og systemet (1) ville være inkonsekvent på grund af Kronecker-Capelli-sætningen . Da , så under disse betingelser , det vil sige, er lig med antallet af ukendte i system (2), og dette system har kun en triviel løsning. $A\cdotX=B$ $B$ $\operatørnavn{rg} A = m$ $B$ $\operatørnavn{rg} A$ $\operatørnavn{rg} A^T= \operatørnavn{rg} A$ $\operatørnavn{rg} A^T = m$
Lad nu systemet være inkonsekvent for nogle . Derfor betyder , , og , det vil sige, at rangeringen af matrixen for system (2) er mindre end antallet af ukendte, og dette system har en løsning, der ikke er nul. $A\cdotX=B$ $B$ $\operatørnavn{rg}A<m$ $\operatørnavn{rg}A^T<m$

Følgende notationer bruges i beviset: — matrixens rang , — rummets dimension , — billedet af operatoren , — operatorens defekt , — operatorens kerne , — den transponerede matrix . $\operatørnavn{rg} A$ $EN$ $\operatørnavn{dim} W$ $W$ $\operatørnavn{im} \mathcal A$ ${\mathcal {A}}$ $\operatørnavn{def} \mathcal A$ $\mathcal A$ $\operatørnavn{ker} \mathcal A$ ${\mathcal {A}}$ $A^{T}$

Fredholm-alternativet for en lineær operator, der virker i ét rum betyder, at enten har grundligningen en unik løsning for enhver , eller også har den homogene ligning, der støder op til den, en ikke-triviel løsning [1] . ${\mathcal {A}}$ $V$ $u\i V$

Integralligninger

Formuleringer

Fredholm-alternativet er formuleret til Fredholm-integralligningen

\varphi(x) = \lambda \int\limits_0^a K(x, y) \varphi(y) \, dy + f(x) \qquad (1)

med en kontinuert kerne og dens tilhørende ligning $K(x, y)$

\psi(x) = \bar \lambda \int\limits_0^a K^*(x, y) \psi(y) \, dy + g(x), \qquad (1')

$K^*(x, y) = \overline{K(y, x)}$ . En homogen ligning er en ligning med nul frit led f eller g.

Udsagn 1. Hvis integralligningen (1) med en kontinuert kerne kan løses i et hvilket som helst frit led , så kan ligningen (1'), der er forbundet med den, løses i et hvilket som helst frit led , og disse løsninger er unikke ( Fredholms første sætning ) . $C[0, a]$ $f \i C[0, a]$ $C[0, a]$ $g \i C[0, a]$

Hvis integralligningen (1) kan løses i C[0, a] ikke for et frit led , så: $f$

1) homogene ligninger (1) og (1') har det samme (endelige) antal lineært uafhængige løsninger ( Fredholms anden sætning );

2) for at ligning (1) kan løses, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at det frie led er ortogonalt i forhold til alle løsninger af den homogene unionsligning (1') ( Fredholms tredje sætning ) [3] . $f$

Formulering 2. Hvis Fredholm homogene integralligning kun har en trivial løsning, så har den tilsvarende inhomogene ligning altid én og kun én løsning. Hvis den homogene ligning har en eller anden ikke-triviel løsning, så har den inhomogene integralligning enten slet ingen løsning eller har et uendeligt antal løsninger afhængig af den givne funktion [4] [5] . $f(x)$

Idé om beviset

Degenereret kerne

Fredholm integralligning (1) med en degenereret kerne af formen

K(x, y) = \sum_{i = 1}^N f_i(x) g_i(y)

kan omskrives i formularen

\varphi(x) = \lambda \sum\limits_{i = 1}^N c_i f_i(x) + f(x),

hvor

c_i = \int\limits_0^a \varphi(y) g_i(y) \, dy

er ukendte tal. Ved at multiplicere den resulterende lighed med og integrere over intervallet , reduceres ligningen med en degenereret kerne til et ækvivalent system af lineære algebraiske ligninger med hensyn til de ukendte : $g_k(x)$ $[0,a]$ $(c_1, c_2, \dots, c_N)$

c_k = \lambda \sum_{i = 1}^N \alpha_{ki} c_i + a_k,

hvor

\alpha_{ki} = \int\grænser_0^a g_k(x) f_i(x) \, dx, \quad a_k = \int\grænser_0^a g_k(x) f(x) \, dx.

Derfor følger Fredholm-alternativet direkte af det finit-dimensionelle tilfælde [6] .

En vilkårlig kontinuerlig kerne

I det generelle tilfælde er beviset for Fredholm-alternativet for integralligninger baseret på repræsentationen af en vilkårlig kontinuerlig kerne i formen

K(x, y) = P(x, y) + Q(x, y),

hvor er en degenereret kerne ( polynomium ) og er en lille kontinuerlig kerne ,. Så antager ligning (1) formen $P(x, y)$ $Q(x,y)$ $|Q(x, y)| < \varepsilon, \, 0 \le x \le a$

\varphi = \lambda P \varphi + \lambda Q \varphi + f,

hvor og er integrale operatorer med kerner og hhv. $P$ $Q$ $P(x, y)$ $Q(x,y)$

Vi introducerer en ukendt funktion med formlen $\Phi (x)$

\Phi = \varphi - \lambda Q \varphi

For funktionen er entydigt udtrykt i form af formlen $|\lambda| < \frac{1}{\varepsilon a}$ $\varphi$ $\Phi$

\varphi = (I - \lambda Q)^{-1} \Phi = (I + \lambda R) \Phi,

hvor er identitetsoperatoren , er en integreret operator med kernel , kernens opløsningsmiddel . Så tager den oprindelige ligning formen $jeg$ $R$ $R(x, y, \lambda)$ $Q(x,y)$

\Phi = \lambda T \Phi + f,

hvor

T = P + \lambda PR

er en integreret operator med degenereret kerne

T(x, y, \lambda) = P(x, y) + \lambda \int\limits_0^a P(x, \xi) R(\xi, y, \lambda) d\xi,

analytisk i cirklen . På samme måde transformeres den allierede integralligning (1') til formen $\lambda$ $|\lambda| < \frac{1}{\varepsilon a}$

\psi = \bar \lambda T^* \psi + g_1.

Således er ligning (1) og (1') cirkelækvivalent med ligninger med degenererede kerner, hvilket gør det muligt at udlede Fredholm-alternativet for det generelle tilfælde [6] . $|\lambda| < \frac{1}{\varepsilon a}$

Konsekvenser

Sættet af karakteristiske tal for den kontinuerlige kerne har ingen endelige grænsepunkter og kan derfor højst tælles . Faktisk falder kernens karakteristiske tal i hver cirkel sammen med de karakteristiske tal for den degenererede kerne, som er den analytiske funktions nuller . $|\lambda| < \frac{1}{\varepsilon a}$ $K(x, y)$
Hvert karakteristisk tal har en endelig multiplicitet (antallet af lineært uafhængige egenfunktioner ). Følger af den anden Fredholm-sætning. De karakteristiske tal kan nummereres i stigende rækkefølge efter deres modul :

|\lambda_1| \le |\lambda_2| \le\prikker,

gentages i denne rækkefølge lige så mange gange som dens mangfoldighed. $\lambda_k$

Hvis er kernens karakteristiske antal , så er kernens karakteristiske antal , og de har samme multiplicitet. $\lambda _{0}$ $K(x, y)$ $\bar \lambda_0$ $K^*(x, y)$
Egenfunktioner af og kerner og , svarende til de karakteristiske tal og henholdsvis og , er ortogonale til : . $\varphi_k$ $\psi _{i}$ $K(x, y)$ $K^*(x, y)$ $\lambda_k$ $\bar \lambda_i$ $\lambda_k \ne \lambda_i$ $(\varphi_k, \psi_i) = 0$

Ved hjælp af disse egenskaber kan man omformulere Fredholm-alternativet i form af karakteristiske tal og egenfunktioner:

Hvis , så er integralligningerne (1) og (1') entydigt løselige for alle frie led. $\lambda \ne \lambda_k, \, k = 1, 2, \prikker$
Hvis , så de homogene ligninger $\lambda = \lambda_k$

\varphi = \lambda_k K \varphi, \quad \psi = \bar \lambda_k K^* \psi,

har det samme (endelige) antal lineært uafhængige løsninger — kerneegenfunktioner og kerneegenfunktioner . $r_k\ge 1$ $\varphi_k, \varphi_{k + 1}, \dots, \varphi_{k + r_k - 1}$ $K(x, y)$ $\psi_k, \psi_{k + 1}, \dots, \psi_{r_k - 1}$ $K^*(x, y)$

Hvis , så for løseligheden af ligning (1) er det nødvendigt og tilstrækkeligt at $\lambda = \lambda_k$

(f, \psi_{k + i}) = 0, \quad i = 0, 1, r_k - 1.

[6]

Banach space

Givet ligningerne

A x - x = y, \quad (2)

A^* f - f = g, \quad (2')

hvor er en fuldstændig kontinuerlig operatør, der handler i et Banach-rum , og er en adjoint operatør, der handler i et dobbeltrum . Så kan enten ligning (2) og (2') løses for enhver højre side, i hvilket tilfælde de homogene ligninger $EN$ $E$ $A^{*}$ $E^{*}$

A x - x = 0

A^* f - f = 0

har kun nulløsninger, eller homogene ligninger har det samme antal lineært uafhængige løsninger

x_1, x_2, \dots, x_n; \quad f_1, f_2, \dots, f_n;

i dette tilfælde, for at ligning (2) (henholdsvis (2')) skal have en løsning, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at

f_i(y) = 0, \quad i = 1, 2, \dots, n

(henholdsvis ) [7] . $g(x_i) = 0, \, i = 1, 2, \prikker, n$

Anvendelse til løsning af grænseværdiproblemer for elliptiske ligninger

Neumann metode til løsning af Dirichlet-problemet

\Delta u(x) = 0, \quad x \in G, \quad u(s) = g(s), \quad s \in C

er, at løsningen søges i skemaet $u$

u(x) = \int\limits_C \mu(t) \frac{\partial}{\partial n_t} \log \frac{1}{r_{xt))dt,

det vil sige i form af et dobbeltlagspotentiale . Her er et fladt område, er en lukket kurve , der afgrænser det og har kontinuerlig krumning , er afstanden fra et punkt til et punkt på konturen , er den indre normal til ved punktet . Funktionen skal opfylde integralligningen $G$ $C$ $r_{xt}$ $x$ $t$ $S$ $n_t$ $C$ $t$ $\mu$

\frac{1}{\pi} g(s) = \mu(s) + \int\limits_C K(s, t) \mu(t) \, dt

med kontinuerlig kerne

K(s, t) = \frac{1}{\pi} \frac{\partial}{\partial n_t} \log \frac{1}{r_{xt))dt.

Ifølge Fredholm-alternativet har enten denne inhomogene ligning en løsning for ethvert valg af kontinuert funktion , eller den homogene ligning $\mu (s)$ $g(er)$

\nu(s) + \int\grænser_C K(s, t) \mu(t) \, dt = 0

indrømmer en ikke-nul løsning . Sidstnævnte er umuligt, dette kan vises ved hjælp af det maksimale princip for harmoniske funktioner . Derfor har det interne Dirichlet-problem en løsning på eventuelle kontinuerte grænseværdier . Lignende resultater blev opnået for det eksterne Dirichlet-problem , såvel som for Neumann-problemet [8] . $\nu(r)$ $g(er)$

Se også

Noter

↑ 1 2 Ilyin V. A., Kim G. D. Linear Algebra and Analytic Geometry, 1998 , s. 313.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elements of functional analysis, 1965 , s. 268.
↑ Vladimirov V.S., Zharinov V.V. Equations of matematisk fysik, 2004 , s. 221.
↑ Tricomi F. Integral Equations, 1960 , s. 87.
↑ Krasnov M. L. Integralligninger, 1975 , s. 49.
↑ 1 2 3 Vladimirov V. S., Zharinov V. V. Matematisk fysiks ligninger, 2004 , kapitel IV, § 4.2.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elements of functional analysis, 1965 , s. 280.
↑ Riess F., Sökefalvi-Nagy B. Lectures on Functional Analysis, 1979 , s. 81.

Litteratur

Finit-dimensional space

Ilyin V. A. , Kim G. D. Linear Algebra and Analytic Geometry. - M . : Forlag i Moskva. un-ta, 1998. - 320 s. — ISBN 5-211-03814-2 .

Integralligninger

Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. Matematisk fysiks ligninger: Lærebog for universiteter. - 2. udg., stereotype .. - M . : Fizmatlit, 2004. - 400 s. - ISBN 5-9221-0310-5 .
Trikomi F. Integralligninger. - M . : Forlag for udenlandsk litteratur, 1960.
Krasnov M. L. Integralligninger. (Introduktion til teori). - M. : Ch. udg. Fysisk.-Matematik. tændt. forlaget "Science", 1975.
Petrovsky IG Forelæsninger om teorien om integralligninger. — M .: Nauka, 1965. — 128 s.
Riess F. , Sökefalvi-Nagy B. Forelæsninger om funktionsanalyse. — M .: Mir, 1979. — 592 s.

Banach space

Lyusternik L. A. , Sobolev V. I. Elementer af funktionel analyse. - Ed. 2., revideret. — M .: Nauka, 1965. — 520 s.