Bestemt integral

Et bestemt integral er et af de grundlæggende begreber i matematisk analyse , en af typerne af integral . Et bestemt integral er et tal lig med grænsen for summer af en speciel form ( integral summer ) . Det geometrisk definerede integral udtrykker arealet af den " kurvilineære trapez " afgrænset af grafen for funktionen . [1] Med hensyn til funktionel analyse er et bestemt integral en additiv monoton funktionel defineret på et sæt af par, hvoraf den første komponent er en integrerbar funktion eller funktionel , og den anden er et område i sættet af tildeling af denne funktion (funktionel) [2] .

Definition

Lad funktionen defineres på segmentet . Lad os dele det op i dele med flere vilkårlige punkter: . Derefter siger vi, at segmentet er blevet opdelt , og for hver fra til vælger vi et vilkårligt punkt . $f(x)$ $[a;b]$ $[a;b]$ $a=x_{{0}}<x_{{1}}<x_{{2}}<\ldots <x_{{n}}=b$ $R$ $[a;b].$ $jeg$ $0$ $n-1$ $\xi _{{i}}\in [x_{{i}};x_{{i+1}}]$

Det definitive integral af en funktionpå et segmenter grænsen for integral-summer, da partitionsrangen har en tendens til nul, hvis den eksisterer uanset partitionenog valg af punkter, dvs. $f(x)$ $[a;b]$ $\lambda _{{R}}\højrepil 0$ $R$ $\xi _{{i}}$

\int \limits _{{a}}^{{b}}f(x)dx=\lim \limits _{{\Delta x\rightarrow 0}}\sum \limits _{{i=0}}^ {{n-1}}f(\xi _{{i}})\Delta x_{{i}}

Hvis den angivne grænse eksisterer, siges funktionen at være Riemann-integrerbar på . $f(x)$ $[a;b]$

Notation

$-en$ - nedre grænse.
$b$ - Øverste grænse.
$f(x)$ er integranden.
${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i+1}-x_{i))$ er længden af delsegmentet.
$\lambda _{{R}}=\up {\Delta x_{i}}$ er rangeringen af partitionen, maksimum af længderne af delsegmenterne.

Geometrisk sans

Det definitive integral af en ikke-negativ funktion er numerisk lig med arealet af figuren afgrænset af x-aksen, rette linjer og funktionsgrafen . [en] $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$ $x=a$ $x=b$ $f(x)$

Egenskaber

Hvis og er integrerbare på et interval af en funktion, så er deres lineære kombination også integrerbar på en funktion, og $f$ $g$ $[a,b]$ $\alfa f+\beta g$ $[a,b]$ $\int \limits _{a}^{b}(\alpha f+\beta g)(x)dx=\alpha \int \limits _{a}^{b}f(x)dx+\beta \ int \limits _{a}^{b}g(x)dx.$
Hvis er en funktion, der kan integreres på et interval , så $f$ $[a,b]$ $\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)dx.$
Hvis er en funktion, der kan integreres i et område af et punkt , så har vi [3] $f$ $-en$ $\int \limits _{a}^{a}f(x)dx=0.$
Hvis en funktion er Riemann-integrerbar på , så er den afgrænset på den. $f(x)$ $[a;b]$

Regneeksempler

Følgende er eksempler på beregning af bestemte integraler ved hjælp af Newton-Leibniz-formlen .

$\int \limits _{8}^{9}x^{2}\,dx={\frac {x^{3}}{3}}{\Big |}_{8}^{9 }={\frac {729}{3}}-{\frac {512}{3}}={\frac {217}{3}}=72{,}(3)\ca. 72{,}3$
$\int \limits _{1}^{b}{\frac {dx}{x}}=\ln x{\Big |}_{1}^{b}=\ln b$
$\int \limits _{1}^{4}{\frac {2dx}{x}}=2\ln x{\Big |}_{1}^{4}\approx 2{,}8$

Noter

↑ 1 2 Bestemt integral // Great Soviet Encyclopedia : [i 30 bind] / kap. udg. A. M. Prokhorov . - 3. udg. - M . : Sovjetisk encyklopædi, 1969-1978.
↑ Great Russian Encyclopedia : [i 35 bind] / kap. udg. Yu. S. Osipov . - M . : Great Russian Encyclopedia, 2004-2017.
↑ Zorich V. A. Matematisk analyse. Del I. Udg. 10. rev. . — M. : MTsNMO, 2019. — S. 321-323. — 564 s. - ISBN 978-5-4439-4029-8 , 978-5-4439-4030-4. Arkiveret 16. maj 2021 på Wayback Machine

Ordbøger og encyklopædier	Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	NKC : ph126953

Integralregning

Hoved

Generaliseringer
af Riemann-integralet

Integrale
transformationer

Numerisk
integration

måle teori

relaterede emner

Lister over integraler