Begrænsning

Begrænsethed i matematik er en egenskab ved sæt , der angiver størrelsens endelighed i konteksten bestemt af rumkategorien.

Det oprindelige koncept er et begrænset antal sæt , sådan er mængden af reelle tal , for hvilke der er tal sådan, at for nogen af det finder sted: , med andre ord, ligger helt i segmentet . Tallene og kaldes i dette tilfælde henholdsvis den nedre og øvre grænse af sættet . Hvis der kun er en nedre eller øvre grænse, så taler man om en mængde, der henholdsvis er afgrænset under eller afgrænset ovenfor . $B\subset \mathbb {R}$ $m,M\in \mathbb {R}$ $x$ $B$ $m\leqslant x\leqslant M$ $B$ $[m,M]$ $m$ $M$ $x$

Et numerisk sæt afgrænset ovenfor har en nøjagtig øvre grænse , afgrænset nedefra har en nøjagtig nedre grænse (kantsætning). Et begrænset sæt af punkter, et interval af den numeriske akse (hvor er endelige tal), en endelig forening af afgrænsede mængder - afgrænsede mængder; sættet af heltal er ubegrænset; mængden af naturlige tal set fra systemet af reelle tal er afgrænset nedefra og ubegrænset ovenfra. $[a,b]$ $a,b$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {N}$

En afgrænset numerisk funktion er en funktion, hvis rækkevidde af værdier erbegrænset, det vil sige, der eksisterer sådan,at uligheden gælder. Især er en afgrænset numerisk sekvens en sekvens, for hvilken der eksisterersådan, at. $f\colon D\to \mathbb {R}$ $f(D)$ $m$ $x$ $|f(x)|\leqslant m$ $(a_{i})$ $m\in \mathbb {R}$ $i \i \N$ $|a_{i}|\leqslant m$

Generaliseringer

Generaliseringer af numerisk afgrænsning til mere generelle kategorier af rum kan variere. Til delmængder af vilkårlige delvist ordnede mængder overføres den numeriske definition således på en naturlig måde (da definitionen kun kræver rækkefølgerelationen ).

I et topologisk vektorrum over et felt betragtes ethvert sæt absorberet af ethvert kvarter af nul som afgrænset , det vil sige, hvis der eksisterer sådan , at . Den afgrænsede operator på topologiske vektorrum tager afgrænsede sæt til afgrænsede. $E$ $k$ $B$ $\alpha \in k$ ${\displaystyle B\subset \alpha U_{0))$

I tilfælde af et vilkårligt metrisk rum , betragtes sæt med endelig diameter som afgrænset , det vil sige afgrænset, hvis selvfølgelig. Samtidig er det umuligt at introducere begreberne øvre og nedre afgrænsning i generelle metriske rum. $(M,d)$ $B\subseteq M$ ${\displaystyle \mathrm {sup} \{d(x,y)\midt {x,y\in B}\))$

Et mere specielt koncept, der strækker sig til vilkårlige metriske rum, er fuldstændig afgrænsning ; i tilfælde af numeriske mængder og i euklidiske rum falder denne forestilling sammen med de tilsvarende forestillinger om en afgrænset mængde. I metriske rum svarer topologisk kompakthed til at være fuldstændig afgrænset og fuldstændig på samme tid , og selvom begrebet afgrænsethed ikke strækker sig til vilkårlige topologiske rum , kan kompakthed i det generelle tilfælde betragtes som en analog af afgrænsethed.

Litteratur

Afgrænset sæt - Encyclopedia of Mathematics artikel . M. I. Voitsekhovsky