Ornamentgruppe

Ornamentgruppen (eller plansymmetrigruppen eller flad krystallografisk gruppe ) er en matematisk klassifikation af todimensionelle gentagne mønstre baseret på symmetrier . Sådanne mønstre findes ofte i arkitektur og dekorativ kunst . Der er 17 mulige forskellige grupper .

Ornamentgrupper er todimensionelle symmetrigrupper , mellem i kompleksitet mellem randgrupper og tredimensionelle krystallografiske grupper (også kaldet rumgrupper ).

Introduktion

Mønstergrupper kategoriserer mønstre efter deres symmetri. Subtile forskelle i lignende mønstre kan resultere i, at mønstre tildeles forskellige grupper, mens mønstre, der er væsentligt forskellige i stil, farve, skala eller orientering, kan tilhøre den samme gruppe.

Overvej følgende eksempler:

Eksempel A og B har den samme mønstergruppe, som kaldes p 4 m i IUC-notation og *442 i orbi - værdier . Eksempel C har en anden mønstergruppe kaldet p 4 g eller 4*2 . At A og B har samme gruppe betyder, at disse ornamenter har de samme symmetrier uanset detaljerne i mønstrene, mens C har et andet sæt af symmetrier på trods af den ydre lighed.

En komplet liste over alle sytten mulige ornamentgrupper kan findes nedenfor.

Mønstersymmetrier

Et mønsters symmetri er groft sagt en måde at transformere et mønster på på en sådan måde, at det ser nøjagtigt ud efter transformationen, som det gjorde før transformationen. For eksempel er parallel translationssymmetri til stede, hvis mønsteret med en vis forskydning ( parallel translation ) er justeret med sig selv. Forestil dig at flytte lodrette (samme bredde) striber vandret med en stribe, mønsteret forbliver det samme. Strengt taget eksisterer ægte symmetri kun for mønstre, der gentages nøjagtigt og uendeligt. Et sæt på f.eks. kun fem striber har ikke parallel overførselssymmetri - når det skiftes, "forsvinder" en stribe på den ene side, og en ny stribe "tilføjes" på den anden side.

Nogle gange er to måder at kategorisere et mønster på, den ene baseret udelukkende på form og den anden ved hjælp af farve. Hvis farver ignoreres, kan mønsteret have mere symmetri. Blandt de sorte og hvide mosaikker er der også 17 grupper af ornamenter. For eksempel svarer en farvet flise til en sort/hvid flise med en farvekodet, radialt symmetrisk "stregkode" i midten af ​​massen af ​​hver flise.

De typer af transformationer, der overvejes her, kaldes bevægelser . For eksempel:

Eksempel C er dog anderledes . Det har kun refleksioner om den vandrette og lodrette retning, men ikke om de diagonale akser. Hvis vi vender mønsteret rundt om den diagonale akse, får vi ikke det samme mønster. Vi vil få det originale mønster forskudt et stykke. Dette er en af ​​grundene til, at mønstergruppen af ​​mønstre A og B er forskellig fra mønstergruppen i mønster C.

En anden transformation er bliksymmetri , en kombination af refleksion og translation langs reflektionsaksen.

Historie

Beviset for, at der kun er 17 mulige mønstre, blev først udført af Evgraf Stepanovich Fedorov i 1891 [1] og derefter uafhængigt af Gyorgy Poya i 1924 [2] . Beviset for, at listen over prydgrupper er komplet, kom først, efter at dette var blevet gjort for det meget mere komplicerede tilfælde af krystallografiske grupper.

Definition

Ornamentgruppen, eller den flade krystallografiske gruppe , er en isometrisk fuldstændig diskontinuerlig co-kompakt handling af gruppen på det euklidiske plan (cocompactness svarer til, at handlingen indeholder to lineært uafhængige parallelle oversættelser ).

To sådanne grupper af isometrier har samme type (den samme gruppe af ornamenter), hvis de transformeres til hinanden under en affin transformation af planet.

Så for eksempel skiftet af hele mønsteret (og dermed overførslen af ​​reflektionsakserne og rotationscentrene) påvirker ikke gruppen af ​​ornamenter. Det samme gælder for ændring af vinklen mellem de parallelle translationsvektorer, forudsat at dette ikke resulterer i tilføjelse eller forsvinden af ​​nogen symmetri (dette er kun muligt i det tilfælde, hvor der ikke er spejlsymmetri og glidesymmetri , og rotationssymmetrien har en ordre på maksimalt 2).

Noter

Definition diskussion

Isometrier af det euklidiske plan

Isometrier af det euklidiske plan falder i fire kategorier (se artiklen Isometri af det euklidiske plan for mere information).

Betingelsen for paralleloversættelsers uafhængighed

Betingelsen for lineær uafhængighed af parallelle translationer betyder, at der er lineært uafhængige vektorer v og w (i R 2 ), således at gruppen indeholder både T v og T w .

Formålet med denne betingelse er at adskille ornamentgrupper fra frisegrupper , som har en parallel oversættelse, men ikke to lineært uafhængige, og fra todimensionelle diskrete punktgrupper , som overhovedet ikke har nogen parallelle oversættelser. Med andre ord repræsenterer ornamentale grupper et mønster, der gentager sig i to forskellige retninger, i modsætning til kantgrupper, som kun gentager sig langs én akse.

(Vi kan generalisere denne situation. Vi kunne f.eks. studere diskrete isometrigrupper R n med m lineært uafhængige parallelle translationer, hvor m er et hvilket som helst heltal i intervallet 0 ≤  m  ≤  n .)

Betingelsen for fuldstændig diskontinuitet

Betingelsen for at være fuldstændig diskontinuerlig (nogle gange kaldet diskret) betyder, at der eksisterer et positivt reelt tal ε, således at for enhver parallel translation Tv i gruppen, har vektoren v længden mindst ε (undtagen naturligvis i tilfælde af nul vektor v ).

Formålet med denne betingelse er at sikre, at gruppen har et kompakt grundareal , eller med andre ord, en "celle" med et endeligt område, der ikke er nul, der gentager sig selv i planet (som et mønster). Uden denne betingelse kan vi f.eks. få en gruppe, der indeholder en parallel translation T x for et hvilket som helst rationelt tal x , som ikke svarer til noget acceptabelt ornamentalt mønster.

En vigtig og ikke-triviel konsekvens af diskrethedsbetingelsen i kombination med betingelsen om uafhængighed af parallelle translationer er, at en gruppe kun kan indeholde rotationer af orden 2, 3, 4 eller 6. Det vil sige, at enhver rotation i gruppen skal være en rotation med 180°, 120°, 90° eller 60°. Denne kendsgerning er kendt som den krystallografiske begrænsning teorem , og denne sætning kan generaliseres til højere dimensionelle tilfælde.

Notation

Krystallografisk notation

Der er 230 forskellige krystallografiske grupper i krystallografi , mange flere end 17 prydgrupper, men mange af symmetrierne i grupperne er de samme. Det er således muligt at bruge lignende notation for begge slags grupper, notationen af ​​Carl Hermann og Charles-Victor Maugin . Et eksempel på det fulde navn på et ornament i stil med Hermann-Mogen (betegnelserne kaldes også "Denotations of the International Union of Crystallographers", IUC ) - p 31 m med fire bogstaver og tal. Et forkortet navn bruges normalt, såsom cmm eller pg .

For grupper af ornamenter begynder den fulde betegnelse med p (fra primitiv celle - elementær celle ) eller c (fra ansigtscentreret celle - ansigtscentreret celle). De vil blive forklaret nedenfor. Bogstavet efterfølges af tallet n , der angiver den højeste orden af ​​rotationssymmetri - 1-fold (ingen), 2-fold, 3-fold, 4-fold eller 6-fold. De næste to tegn angiver symmetrier med hensyn til en af ​​de parallelle translationsakser, som anses for at være "hoved". Hvis der er en spejlsymmetri vinkelret på aksen for parallel translation, skal du vælge denne akse som hovedaksen (hvis der er to af dem, vælg en af ​​dem). Tegnene er m , g eller 1 , for spejlsymmetri, glidesymmetri eller ingen symmetri. Spejlsymmetriaksen eller glidesymmetriaksen er vinkelret på hovedaksen for det første bogstav, og enten parallel eller skråtstillet 180°/ n (hvis n  > 2) for det andet bogstav. Mange grupper inkluderer andre symmetrier. Den korte notation kasserer cifre eller m , hvis den er logisk defineret, medmindre den forårsager forveksling med andre grupper.

En primitiv celle er et minimalt område, der gentages af en parallel translation langs gitteret. Alle undtagen to ornamentale symmetrigrupper er beskrevet af primitive celleakser, en koordinatbasis ved hjælp af gitterets parallelle translationsvektorer. I de resterende to tilfælde er symmetrien beskrevet af centrerede celler, som er større end primitive celler, og derfor har intern gentagelse. Retningen af ​​deres sider er forskellige fra retningerne af de parallelle translationsvektorer. Hermann-Mogen-notationen for krystaller af krystallografiske grupper bruger yderligere celletyper.

Eksempler

Navne, hvis korte og fulde form er forskellige.

Krystallografiske korte og fulde navne
En kort p2 _ om eftermiddagen pg cm pmm pmg pgg cmm p 4 m p 4 g p 6 m
Komplet s 211 p 1 m 1 p 1 g 1 c 1 m 1 p 2 mm p 2 mg p 2 gg c 2 mm p 4 mm p4gm _ _ p 6 mm

De resterende navne er p 1 , p 3 , p 3 m 1 , p 31 m , p 4 og p 6 .

Orbio-notationer

Orbi-betegnelsen for ornamentale grupper, populariseret af John Conway , er ikke baseret på krystallografi, men på topologi. Vi betragter planets kvotient orbifold ved ornamentgruppens handling og beskriver det ved hjælp af flere symboler.

Overvej en gruppe med krystallografisk notation cmm . I Conways notation ville dette være 2*22 . 2'eren foran * siger, at vi har et center med 2x rotation uden spejle, der går igennem det. * Selv * siger, at vi har et spejl. De første 2 efter * angiver, at vi har et 2x rotationscenter på spejlet. De sidste 2 siger, at vi har et uafhængigt andet center med 2-fold rotation på spejlet, som ikke duplikerer det første center ved symmetrier.

En gruppe mærket pgg vil have Conways 22× notation . Vi har to simple centre med 2-fold rotation og en glidesymmetriakse. I kontrast til denne gruppe er gruppen pmg , med Conway-symbolet 22* , hvor den krystallografiske notation nævner en bliksymmetri, men en der er underforstået af orbifoldens andre symmetrier.

Coxeter- parentesnotation er også inkluderet. Den er baseret på Coxeter-gruppen og modificeret med et plus (i hævet skrift) for rotationer, ukorrekte rotationer og parallelle oversættelser.

Korrespondance af Conway, Coxeter notation og krystallografisk notation
Conway o ×× *× ** 632 *632
coxeter [∞ + ,2,∞ + ] [(∞,2) + ,∞ + ] [∞,2 + ,∞ + ] [∞,2,∞ + ] [6,3] + [6,3]
Krystallografisk p1 _ pg cm om eftermiddagen p6 _ p 6 m
Conway 333 *333 3 *3 442 *442 4 *2
coxeter [3 [3] ] + [3 [3] ] [3 + ,6] [4,4] + [4,4] [4 + ,4]
Krystallografisk s 3 p 3 m 1 p 31 m s 4]] p 4 m p 4 g
Conway 2222 22 × 22 * *2222 2 *22
coxeter [∞,2,∞] + [((∞,2) + ,(∞,2) + )] [(∞,2) + ,∞] [∞,2,∞] [∞,2 + ,∞]
Krystallografisk p2 _ pgg pmg pmm cmm

Hvorfor er der præcis sytten grupper

En orbifold kan opfattes som en polygon med en flade, kanter og hjørner, der kan udvides til at danne et muligvis uendeligt sæt af polygoner, der fliser hele kuglen , planet eller hyperbolsk plan . Hvis en polygon fliser et plan, giver det en gruppe ornamenter, og hvis en kugle eller et hyperbolsk plan, så en gruppe af sfærisk symmetri eller en gruppe af hyperbolsk symmetri . Typen af ​​mellemrum en polygon fliser kan findes ved at beregne Euler-karakteristikken χ =  V  −  E  +  F  , hvor V er antallet af hjørner (hjørnepunkter), E er antallet af kanter, og F er antallet af flader. Hvis Euler-karakteristikken er positiv, har orbifolden en elliptisk (sfærisk) struktur. Hvis Euler-karakteristikken er lig med nul, har den en parabolsk struktur, det vil sige, at den er en gruppe af ornamenter. Hvis Euler-karakteristikken er negativ, har orbifolden en hyperbolsk struktur. Da alle mulige orbifolds blev listet, blev det konstateret, at kun 17 havde Euler karakteristik 0.

Når en orbifold kopieres for at fylde et plan, skaber dens elementer en struktur af hjørner, kanter og flader, der skal opfylde Euler-karakteristikken. Ved at vende processen kan vi tildele tal til elementerne i orbifolden, men brøker i stedet for heltal. Da orbifolden i sig selv er kvotientgruppen for den komplette overflade med hensyn til symmetrigruppen, er orbifoldens Euler-karakteristika kvotienten for at dividere overfladens Euler-karakteristik med rækkefølgen af ​​symmetrigruppen.

Euler-karakteristikken for en orbifold er 2 minus summen af ​​værdierne af de elementer, der er tildelt som følger:

For en gruppe af ornamenter skal summen for Euler-karakteristikken være nul, så summen af ​​elementværdierne skal være 2.

Eksempler

Nu er opregningen af ​​alle grupper af ornamenter reduceret til aritmetik, en liste over sæt af elementer, der summerer til 2.

Sæt af elementer med en anden sum er ikke meningsløse. De indeholder ikke-planære tesseller, som vi ikke diskuterer her. (Hvis Euler-karakteristikken for en orbifold er negativ, er flisedelingen hyperbolsk ; hvis den er positiv, er flisedelingen enten sfærisk eller dårlig ).

En guide til at genkende grupper af ornamenter

For at forstå, hvilken gruppe af ornamenter der svarer til en bestemt mosaik, kan du bruge følgende tabel [3] .


Minimum drejningsstørrelse		 Har refleksioner?
Ja Ikke
360° / 6 p6m ( *632 ) s6 (632)
360° / 4 Har spejle i en 45° vinkel? s 4 (442)
Ja: p 4 m (*442) Nr: p 4 g (4*2)
360° / 3 Har drejecentre uden for spejlene? s . 3 (333)
Ja: p 31 m (3*3) Nr: p 3 m 1 (*333)
360° / 2 Har vinkelrette refleksioner? Har glidesymmetri?
Ja Ikke
Har drejecentre uden for spejlene? pmg (22*) Ja: pgg (22×) Nr: s . 2 (2222)
Ja: cmm (2*22) Nr: pmm (*2222)
Ingen sving Har glideakser uden for spejlene? Har glidesymmetri?
Ja: cm (*×) Nej: kl. (**) Ja: s . (××) Nej: p 1 (o)

Se også Denne oversigt med diagrammer .

Sytten flade krystallografiske grupper

Hver af grupperne i dette afsnit har to cellestrukturdiagrammer, som hver fortolkes som følger (form er vigtig her, ikke farve):

rotationscentrum af orden to (180°).
rotationscentrum af orden tre (120°).
rotationscentrum af orden fire (90°).
rotationscentrum af orden seks (60°).
refleksions akse.
glidesymmetriakse.

På højre side af diagrammet er forskellige ækvivalensklasser af symmetrielementer farvet (og roteret) forskelligt.

Brune eller gule områder angiver det grundlæggende område , dvs. den mindste gentagende del af mønsteret.

Diagrammerne til højre viser gittercellen svarende til den mindste parallelle translation. Til venstre viser nogle gange et stort område.

Gruppe p 1 (o)

Cellestrukturer for p 1 efter gittertype

skrå
Sekskantet

Rektangulær
Rhombic
Firkant
Gruppe p 1 eksempler

De to parallelle overførsler (cellesider) kan have forskellige længder og kan danne enhver vinkel.

Gruppe p 2 (2222)

Cellestrukturer for p 2 efter gittertyper

skrå
Sekskantet

Rektangulær
Rhombic
Firkant
Gruppe p 2 eksempler

Gruppe pm (**)

Cellestruktur for kl

Vandret refleksion
Lodret refleksion
pm gruppe eksempler

(De første tre har lodrette symmetriakser, og de sidste to har diagonale akser.)

Grupper s . (××)

Cellestrukturer for pg

Horisontale forskydninger
Lodrette skift
Rektangulær
pg gruppe eksempler

Uden at overveje detaljerne inde i zigzag, er måtten pmg . Hvis vi tager højde for detaljerne inde i zigzag, men ikke skelner mellem brune og sorte striber, får vi pgg .

Hvis flisernes bølgede kanter ignoreres, er fortovet pgg .

Grupper cm (*×)

Cellestruktur for cm

Vandret refleksion
Lodret refleksion
Rhombic
cm gruppe eksempler

Gruppe pmm (*2222)

Cellestruktur for pmm

rektangulær
firkant
pmm gruppe eksempler

pmg -gruppe (22*)

Cellestrukturer for pmg

Vandrette refleksioner
Lodrette refleksioner
pmg gruppe eksempler

Grupper pgg (22×)

Cellestruktur for pgg efter gittertype

Rektangulær
Firkant
pgg gruppe eksempler

Gruppe cmm (2*22)

Cellestrukturer for cmm efter gittertype

Rhombic
Firkant

Rotationssymmetrier af orden 2, med rotationscentre i midten af ​​siderne af rhombus, er en konsekvens af andre egenskaber.

Mønster matcher:

cmm gruppe eksempler

Gruppe p 4 (442)

Gruppe p 4 eksempler

P 4 -mønsteret kan ses som en gentagelse i rækker og kolonner af en firkantet flise med 4-fold rotationssymmetri. Det kan også ses som et skakbræt af to sådanne fliser, der er mindre med en faktor på 4 og roteret 45°.

Gruppe p 4 m (*442)

Dette svarer til et rektangulært gitter af rækker og kolonner af identiske firkanter med fire symmetriakser. Dette svarer også til skakternet mønster af to sådanne firkanter.

Gruppeeksempler s 4 m

Eksempler er vist med den mindste vandrette og lodrette parallelle oversættelse (som i diagrammet):

Eksempler med den mindste parallelle diagonale oversættelse:

Gruppe p 4 g (4*2)

P 4 g -mønsteret kan ses som et skakternet arrangement af kopier af firkantede fliser med 4-fold rotationssymmetri og deres spejlbilleder. Alternativt kan mønsteret ses (når det er forskudt med en halv flise) som et skakternet arrangement af kopier af vandret eller lodret symmetriske fliser og deres 90° roterede versioner. Bemærk, at begge måder at se det på ikke er anvendelige til et simpelt skakbrætmønster af sorte og hvide fliser, i dette tilfælde er det en gruppe p 4 m (med diagonal parallel translation af celler).

Gruppeeksempler s 4 g

Gruppe p 3 (333)

Forestil dig en flisebelægning af planet med ligesidede trekanter af samme størrelse med en side svarende til den mindste parallelle translation. Så har halvdelen af ​​trekanterne samme orientering, og den anden halvdel er symmetrisk. Mønstergruppen svarer til det tilfælde, hvor alle trekanter med samme orientering er ens, mens begge typer har rotationssymmetri af orden tre, men de to er ikke ens, er ikke spejlbilleder af hinanden, og begge er ikke symmetriske (hvis begge typer er ens, har vi p 6 , hvis de er spejlbilleder af hinanden, har vi p 31 m , hvis begge typer er symmetriske, har vi p 3 m 1 , hvis to af disse tre egenskaber holder, så gælder den tredje også , og vi får p 6 m ). For et givet mønster er tre af disse fliselægninger mulige, hver med rotationscentre ved toppunkterne, det vil sige, at to skift er mulige for enhver fliselægning. I tegningstermer: hjørner kan være røde, blå eller grønne trekanter.

Forestil dig tilsvarende en flisedeling af planet med regulære sekskanter med en side lig med den mindste parallelle translation divideret med √3. Så svarer denne gruppe af tapeter til det tilfælde, hvor alle sekskanterne er ens (og har samme orientering) og har en rotationssymmetri af orden tre, men der er ingen spejlrefleksion (hvis de har en rotationssymmetri af orden seks, får vi p 6 hvis der er en symmetri med hensyn til hoveddiagonalen, har vi p 31 m , hvis der er symmetri med hensyn til linjer vinkelret på siderne, har vi p 3 m 1 ; hvis to af disse tre egenskaber holder, så er den tredje holder også og vi har p 6 m ). For et givet billede er der tre fliser, hver opnået ved at placere sekskanternes centre i mønsterets rotationscentre. Med hensyn til tegning kan røde, blå og grønne trekanter være sekskantens centre.

Gruppe p 3 eksempler

Gruppe p 3 m 1 (*333)

Forestil dig ligesom gruppen p 3 et plan med ligesidede trekanter af samme størrelse, med en side lig med den mindste mængde parallel translation. Så har halvdelen af ​​trekanterne én orientering, og den anden halvdel har den modsatte orientering. Denne tapetgruppe svarer til det tilfælde, hvor alle trekanter med samme orientering er ens. Begge typer har en rotationssymmetri af orden tre, begge typer er symmetriske, men de er ikke ens og er ikke spejlbilleder af hinanden. For et givet billede er tre tesseller mulige, som hver har toppunkter i rotationscentrene. I tegningstermer kan hjørnerne være røde, mørkeblå eller grønne trekanter.

Gruppeeksempler p 3 m 1

Gruppe p 31 m (3*3)

Hvad angår p 3 og p 3 m 1 , forestiller du dig en flisebelægning af planet med ligesidede trekanter af samme størrelse, med en side lig med den mindste parallelle translation. Så har halvdelen af ​​trekanterne én orientering, og den anden halvdel har den modsatte orientering. Tapetgruppen svarer til det tilfælde, hvor alle trekanter med samme orientering er ens, mens begge typer har rotationssymmetri af orden tre og hver er et spejlbillede af den anden, men trekanterne er hverken symmetriske eller lig med sig selv. Kun én flisesætning er mulig for et givet billede. I tegningstermer kan mørkeblå trekanter ikke være hjørner.

Gruppeeksempler s 31 m

Gruppe p 6 (632)

Et mønster med denne symmetri kan betragtes som en flisebelægning af planet med lige store trekantede fliser med C 3 symmetri , eller tilsvarende en flisebelægning af planet med lige store sekskantede fliser med C 6 symmetri (hvorved flisernes kanter ikke nødvendigvis er en del af mønstret).

Gruppe p 6 eksempler

Gruppe p 6 m (*632)

Et mønster med denne symmetri kan opfattes som en flisebelægning på et plan med lige store trekantede fliser med D 3 symmetri eller tilsvarende en flisebelægning af planet med lige store sekskantede fliser med D 6 symmetri (flisernes kanter er ikke nødvendigvis en del af mønsteret). De enkleste eksempler er et sekskantet gitter med eller uden forbindelseslinjer og en sekskantet flisebelægning med én farve til sekskanternes omrids og en anden til baggrunden.

Gruppeeksempler s 6 m

Gittertyper

Der er fem typer gitter ( Brave lattices ), svarende til de fem grupper af ornamenter i selve gitterne. En gruppe af mønsterornamenter med dette gitter af parallel translationssymmetri kan ikke have flere, men kan have mindre, symmetrier end selve gitteret.

Symmetrigrupper

Den egentlige symmetrigruppe skal adskilles fra ornamentikgruppen. Ornamentgrupper er et sæt symmetrigrupper. Der er 17 sådanne sæt, men for hvert sæt er der uendeligt mange symmetrigrupper i betydningen egentlige isometrigrupper. De afhænger, separat fra gruppen af ​​ornamenter, af antallet af parametre for de parallelle overføringsvektorer, orienteringen og positionen af ​​spejlsymmetriakserne og rotationscentrene.

Antallet af frihedsgrader er:

Inden for hver ornamentgruppe er alle symmetrigrupper dog algebraisk isomorfe.

Nogle isomorfier af symmetrigrupper:

Afhængighed af grupper af ornamenter under transformationer

Bemærk, at hvis en transformation reducerer symmetri, vil en transformation af samme slags (invers) naturligvis øge symmetrien for det samme mønster. Denne egenskab ved et mønster (for eksempel at udvide i én retning giver et mønster med firdobbelt symmetri) betragtes ikke som en type yderligere symmetri.

At bytte farver påvirker ikke ornamentgruppen, hvis to prikker, der har samme farve før ændringen, også vil have samme farve efter byttet, og hvis to prikker, der har forskellige farver før byttet, vil have forskellige farver efter byttet.

Holder førstnævnte og sidstnævnte ikke, som ved sort/hvid afstøbning, bevares symmetrierne, men kan forstørres, så tapetgruppen kan ændre sig.

Websteder og software

Nogle softwareprodukter giver dig mulighed for at skabe todimensionelle mønstre ved hjælp af ornamentsymmetrigrupper. Du kan normalt redigere den originale flise, og alle kopier af flisen i mønsteret opdateres automatisk.

Se også

Noter

  1. ↑ Fedorov, 1891 , s. 245-291.
  2. ↑ Polen, 1924 , s. 278-282.
  3. ↑ Radaelli, 2011 .
  4. ↑ Dette hjælper med at behandle firkanterne som baggrund, så ser vi simple mønstre af rækker af diamanter.

Litteratur

Links

 geometriske mosaikker
Periodisk
aperiodisk
Andet
Ved toppunktskonfiguration
_
Kugleformet
Korrekt
semi
-korrekt
Hyperbolsk
_
  • 3 2 .4.3.5
  • 3 2 .4.3.6
  • 3 2 .4.3.7
  • 3 2 .4.3.8
  • 3 2 .4.3.∞
  • 3 2 .5.3.5
  • 3 2 .5.3.6
  • 3 2 .6.3.6
  • 3 2 .6.3.8
  • 3 2 .7.3.7
  • 3 2 .8.3.8
  • 3 3 .4.3.4
  • 3 2 .∞.3.∞
  • 3 4 .7
  • 3 4 .8
  • 3 4 .∞
  • 3 5 .4
  • 3 7
  • 3 8
  • 3∞ _
  • (3.4) 3
  • (3.4) 4
  • 3.4.6 2.4 _
  • 3.4.7.4
  • 3.4.8.4
  • 3.4.∞.4
  • 3.6.4.6
  • (3.7) 2
  • (3.8) 2
  • 3.14 2
  • 3,16 2
  • (3.∞) 2
  • 3.∞ 2
  • 4 2 .5.4
  • 4 2 .6.4
  • 4 2 .7.4
  • 4 2 .8.4
  • 4 2 .∞.4
  • 4 5
  • 4 6
  • 4 7
  • 4 8
  • 4∞ _
  • (4.5) 2
  • (4.6) 2
  • 4.6.12
  • 4.6.14
  • V4.6.14
  • 4.6.16
  • V4.6.16
  • 4.6.∞
  • (4.7) 2
  • (4.8) 2
  • 4.8.10
  • V4.8.10
  • 4.8.12
  • 4.8.14
  • 4.8.16
  • 4.8.∞
  • 4.10 2
  • 4.10.12
  • 4.12 2
  • 4.12.16
  • 4,14 2
  • 4,16 2
  • 4.∞ 2
  • (4.∞) 2
  • 5 4
  • 5 5
  • 5 6
  • 5∞ _
  • 5.4.6.4
  • (5.6) 2
  • 5,8 2
  • 5.10 2
  • 5.12 2
  • (5.∞) 2
  • 6 4
  • 6 5
  • 6 6
  • 6 8
  • 6.4.8.4
  • (6.8) 2
  • 6,8 2
  • 6.10 2
  • 6.12 2
  • 6,16 2
  • 7 3
  • 74 _
  • 7 7
  • 7,6 2
  • 7,8 2
  • 7.14 2
  • 8 3
  • 8 4
  • 8 6
  • 8 8
  • 8 12
  • 8,6 2
  • 8.16 2
  • ∞ 3
  • ∞ 4
  • ∞ 5
  • ∞∞ _
  • ∞.6 2
  • ∞.8 2