Delingsflise ( eng. rep-tile ) [1] - begrebet mosaikgeometri , en figur, der kan skæres til mindre kopier af selve figuren. I 2012 blev en generalisering af delbare fliser kaldet self-tiling flisesæt foreslået af den engelske matematiker Lee Salous i Mathematics Magazine [2] .
Opdelingsfliser betegnes rep- n [3], hvis skæringen bruger n kopier. Sådanne figurer danner nødvendigvis en prototil flisebelægningen af flyet, og danner i mange tilfælde en ikke- periodisk flisebelægning . At skære en fissile flise ved hjælp af forskellige størrelser kaldes en uregelmæssig fissile flise. Hvis et sådant snit bruger n kopier, kaldes figuren irrep- n . Hvis alle subtiler har forskellige størrelser, siges snittet at være perfekt. Figurerne rep- n eller irrep- n er åbenbart irrep-( kn − k + n ) for enhver k > 1 (vi erstatter simpelthen det mindste element i snittet med n endnu mindre elementer). Rækkefølgen af en flise, det være sig en rep-flise eller en irrep-flise, er det mindst mulige antal stykker, som en flise kan skæres i (behold formen på stykkerne).
Ethvert kvadrat , rektangel , parallelogram , rombe eller trekant er rep-4. Hexiamond "Sphinx" (øverste billede) er rep-4 og rep-9 og er en af flere kendte selv-reproducerende femkanter. Gosper-kurven er rep-7. Koch -snefnuget er irrep-7 - seks mindre snefnug af samme størrelse kan sammen med et snefnug tre gange så stort kombineres til et større snefnug.
En retvinklet trekant med sidelængder i forholdet 1:2 er rep-5, og at skære dens rep-5 danner grundlaget for den aperiodiske pinwheel-flisebelægning . Ved Pythagoras sætning har hypotenusen af trekanten rep-5 længden √5.
Den internationale standard ISO 216 definerer dimensionerne af papirark ved hjælp af √2 - den lange side af et rektangulært ark papir til kvadratroden af 2 gange længden af den korte side. Rektangler med denne form er rep-2. Et rektangel (eller parallelogram) er rep- n , hvis dets billedformat er √n:1 (men ikke kun, for eksempel √3: √2 er rep-6, ligesom et rektangel √6:1). Den ligebenede retvinklede trekant er rep-2.
Nogle delbare fliser, såsom den firkantede og den regulære trekant , er symmetriske og forbliver identiske, når de spejles . Andre, såsom sfinxen , er asymmetriske og eksisterer i to forskellige former forbundet med spejlrefleksion. Skæring af sfinxen og nogle andre asymmetriske opdelingsfliser kræver brug af begge typer - den originale figur og dens spejlbillede.
Nogle skillefliser er baseret på polyformer , såsom polyamonds og polyominoes , eller på former skabt ved at forbinde regelmæssige trekanter og firkanter kant-til-kant.
Hvis en polyomino er kvadratisk eller kan flisebelægge et rektangel , så vil det være en delbar flise, da et rektangel kan flisebelægge en firkant (hvilket i sig selv er et specialtilfælde af et rektangel). Dette kan let ses i oktaminoelementerne , der består af otte firkanter. To kopier af nogle octamino-elementer fylder firkanten, så disse elementer er også rep-16 opdelingsbrikker.
Fire kopier af de samme nonominoer og nonakings til kvadratet, så disse polyformer er også delbare rep-36 fliser.
På samme måde, hvis en polyamond flise en almindelig trekant, vil det også være en opdeling flise.
Polyformer baseret på ligebenede retvinklede trekanter (med vinkler på 45°-90°-45°) er kendt som polyabolo . Et uendeligt antal af dem er fissile fliser. Desuden er den enkleste af alle delbare fliser den (enkelt) ligebenede retvinklede trekant. Det er rep-2, når det divideres med højden af hypotenusen . Rep-2 opdelingsbrikker er rep-2 n fliser og rep-4,8,16+ trekanter genererer yderligere opdelingsbrikker. Fliserne nedenfor findes ved at kassere halvdelen af fliserne og omarrangere resten, indtil de er komplementære med spejlsymmetri inde i en retvinklet trekant. En flise ligner en fisk, der er dannet af tre regulære trekanter .
Trekantede og firkantede (fire-sidede) skillefliser er almindelige, mens femkantede skillefliser er sjældne. Sfinksen blev længe anset for at være det eneste eksempel, men den tyske / newzealandske matematiker Karl Scherer og den amerikanske matematiker George Zicherman [4] fandt yderligere eksempler, herunder en dobbeltpyramide og en aflang version af sfinksen. Disse femkantede skillefliser er illustreret på siderne i Math Magic , der vedligeholdes af den amerikanske matematiker Erich Friedman [5] [6] . Sfinxen forbliver dog den eneste kendte femkantede fissile flise, hvis underkopier har samme størrelse.
Opdelingsfliser kan bruges til at skabe fraktaler eller former, der er ens i mindre og mindre størrelser. En fraktal (af en opdelingsbrikke) dannes ved at dividere en opdelingsbrikke ved (eventuelt) at slette flere kopier af den opdelte figur og fortsætte processen rekursivt . For eksempel dannes Sierpinski-tæppet på denne måde af en opdelingsflise (firkant) ved at dele sig i 27 mindre firkanter, og Sierpinski-trekanten dannes af en skilleflise (regelmæssig trekant) ved at dele i fire mindre trekanter. Hvis en af kopierne fjernes, kan rep-4 L- tromino bruges til at skabe fire fraktaler, hvoraf to er identiske, hvis orienteringen ikke tages i betragtning .
Fordi fraktaler er selv-lignende, er mange af dem også selvfliser og derfor delbare fliser. For eksempel er Sierpinski-trekanten rep-3 flisebelagt med tre kopier af sig selv, og Sierpinski-tæppet er rep-8 flisebelagt med otte kopier af sig selv.
Mange af de kendte delbare fliser er rep- n 2 for alle positive værdier af n . Dette gælder især for tre trapezoider , inklusive den, der er dannet af tre regulære trekanter, for tre pentominoer (L-tromino, L-tetramino, P-pentamino) og Sphinx-heximond. [7]
Blandt regulære polygoner kan kun en trekant og et rektangel skæres i mindre lige store kopier af sig selv. En regulær sekskant kan dog skæres i seks ligesidede trekanter, som hver kan skæres i en regulær sekskant og tre regulære trekanter. Dette er grundlaget for en uendelig flisedeling af en sekskant med sekskanter. Således er sekskanten en irrep-∞ eller irrep-uendelig delende brik.
| geometriske mosaikker | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Periodisk |
| ||||||||
| aperiodisk |
| ||||||||
| Andet |
| ||||||||
| Ved toppunktskonfiguration _ |
| ||||||||
| Polyformer | |
|---|---|
| Typer af polyformer | |
| Polyomino efter antal celler | |
| Puslespil med polykuber | |
| Stable opgave |
|
| Personligheder |
|
| relaterede emner | |
| Andre puslespil og spil | |