Pythagoras mosaik

En pythagoræisk flisebelægning ( fliselægning med to kvadrater ) er en fliselægning af det euklidiske plan med kvadrater af to forskellige størrelser, hvor hver firkant berører fire kvadrater af forskellig størrelse med sine fire sider. Ud fra denne mosaik er det muligt (intuitivt) at bevise Pythagoras sætning [2] , for hvilken mosaikken blev kaldt Pythagoras [1] . Mosaik bruges ofte som flisegulvsmønster . I denne sammenhæng er en flisebelægning også kendt som et klassemønster [3] .

Topologi og symmetri

Den pythagoriske flisebelægning er den eneste flisebelægning med to kvadrater af forskellig størrelse, hvor ikke to kvadrater har en fælles side, og samtidig kan to kvadrater af samme størrelse kortlægges til hinanden ved hjælp af symmetrien af ​​flisebelægningen [ 4] .

Topologisk har den pythagoriske flisebelægning samme struktur som den afkortede firkantede flisebelægning af firkanter og regulære ottekanter [5] . De mindre firkanter i den pythagoræiske flisebelægning støder op til fire store fliser, ligesom firkanterne i den afkortede firkantede flisebelægning, mens de større firkanter i den pythagorasiske flisebelægning støder op til otte naboer, skiftevis store og små, ligesom ottekanterne i den afkortede. firkantet flisebelægning. De to flisebelægninger har dog forskellige symmetrier - den afkortede firkantede flisebelægning har dihedral symmetri omkring midten af ​​hver flise, mens den pythagoriske flisebelægning har et mindre cyklisk sæt af symmetrier omkring de tilsvarende punkter, der danner en p4 symmetri [6] . Mosaikken er chiral , hvilket betyder, at den ikke kun kan opnås fra spejlbilledet ved parallelle oversættelser og rotationer.

En ensartet  flisebelægning er en flisebelægning, hvor hver flise er en regulær polygon, og hvor der er en symmetri, der kortlægger ethvert toppunkt til ethvert andet toppunkt. Normalt kræves der desuden en ensartet flisebelægning, for at fliser kan røre kant-til-kant, men hvis denne begrænsning droppes, er der otte yderligere ensartede fliser - fire er dannet af uendelige strimler af firkanter eller regulære trekanter, tre er dannet af regelmæssige trekanter og regulære sekskanter, og den ottende er Pythagoras mosaik [7] .

Pythagoras sætning og snit

Mosaikken kaldes Pythagorean, fordi den blev brugt til at bevise Pythagoras sætning af de arabiske matematikere fra det niende århundrede An-Nairizi og Thabit ibn Qurra , og i det 19. århundrede af den britiske amatørmatematiker Henry Perigal [1] [8] [9] . Hvis siderne af to firkanter, der danner en mosaik, er angivet med bogstaver og , Så vil den nærmeste afstand mellem de tilsvarende punkter af identiske firkanter være , hvor er længden af ​​hypotenusen af ​​en retvinklet trekant, hvis ben er lig med og . For eksempel, på billedet til venstre, har to kvadrater af den pythagoræiske flisebelægning længder på 5 og 12 enheder, og længden af ​​siden af ​​den overlejrede firkantede flisebelægning (røde linjer) er 13, hvilket svarer til den pythagoræiske tripel (5 ) ,12,13).

Ved at overlejre et firkantet gitter med en side på en pythagoræisk flisebelægning, kan man opnå et snit i fem dele af to ulige firkanter med sider og , hvorfra man kan lave en firkant med side , dette viser, at de to mindre firkanter i i alt har samme areal som den store firkant. På samme måde kan overlejringen af ​​to pythagoræiske fliser bruges til at opnå et snit i seks dele af to ulige kvadrater, hvorfra der kan tilføjes to andre ulige kvadrater [8] [10] .

Aperiodiske afsnit

Selvom den pythagoriske flisebelægning i sig selv er periodisk (den har et kvadratisk gitter af parallelle oversættelser), kan dens sektioner bruges til at danne endimensionelle ikke- periodiske sekvenser [11] .

I "blokkonstruktionen" af aperiodiske sekvenser er en Pythagoras mosaik konstrueret med to kvadrater, hvor forholdet mellem længderne af siderne er irrationelt (lig med ). I dette tilfælde vælges en linje, der er parallel med siderne af kvadraterne, og en sekvens af binære værdier genereres afhængigt af kvadratet, som linjen skærer - 0 svarer til skæringspunktet mellem det større kvadrat, og 1 svarer til til skæringspunktet mellem den mindre firkant. I denne sekvens er forholdet mellem forekomster af nuller og enere i relation . Denne andel kan ikke opnås ved en periodisk sekvens af nuller og ettaller, da den er irrationel [11] .

Hvis du vælger det gyldne snit som kvalitet , har sekvensen af ​​nuller og ener dannet på denne måde den samme rekursive struktur som Fibonacci-ordet  - det kan opdeles i understrenge af formen "01" og "0" ( altså uden to på hinanden følgende ), og hvis disse to understrenge successivt erstattes af kortere strenge "0" og "1", får vi en anden streng med samme struktur [11] .

Relaterede resultater

Ifølge Kellers formodning skal enhver fliselægning af planet med identiske firkanter indeholde to firkanter, der rører kant-til-kant [12] . Ikke to kvadrater i en pythagoræisk flisebelægning rører kant-til-kant [4] , men dette faktum bryder ikke med Kellers formodning, da ikke alle kvadrater er ens.

Pythagoras flisebelægning kan generaliseres til tredimensionelt euklidisk rum som en flisebelægning af terninger af to forskellige størrelser, der rører hinanden på en lignende måde. Attila Bölcskey kalder sådanne tredimensionelle tessellationer for Rogers tilings . Han foreslog, at der i enhver dimension større end tre er en unik måde at tesselere et hyperkuberum af to forskellige størrelser med egenskaber svarende til dem, der er beskrevet ovenfor (ingen to hyperkuber har en fælles side, og to hyperkuber af samme størrelse kan kortlægges til hinanden ved flisesymmetri) [13] [14] .

Burns og Rigby har fundet nogle prototiler , inklusive Koch-snefnuget , der kan bruges til at tesselere et fly med to eller flere kopier af forskellige størrelser [15] [16] . Et tidligere papir af Danzer, Grünbaum og Shepard giver et andet eksempel, en konveks femkant, der kun tesselterer planet i en kombination af to dimensioner [17] . Selvom den pythagoræiske flisebelægning bruger to forskellige størrelser af kvadrater, har kvadraterne ikke de samme egenskaber som de angivne prototiler, som kun kan flisebelægges med to (eller flere) fliser af forskellig størrelse, da planet kan flisebelægges med kvadrater af samme størrelse.

Noter

1. ↑ 1 2 3 Nelsen, 2003 , s. 5-8.
2. ↑ Wells, 1991 , s. 260-261.
3. ↑ Hopscotch: Det er mere end et børnespil. — Tile Inc., august 2008. .
4. ↑ 1 2 Martini, Makai, Soltan, 1998 , s. 481-495.
5. ↑ Grünbaum og Shephard 1987 , s. 171.
6. ↑ Grünbaum og Shephard 1987 , s. 42.
7. ↑ Grünbaum og Shephard 1987 , s. 73-74.
8. ↑ 1 2 Aguilo, Fiol, Fiol, 2000 , s. 341-352.
9. ↑ Grünbaum og Shephard 1987 , s. 94.
10. ↑ Frederickson, 1997 , s. 30-31.
11. ↑ 1 2 3 Steurer, Deloudi, 2009 , s. 91-92.
12. ↑ Rigtigheden af ​​denne formodning for todimensionelle flisebelægninger var allerede kendt af Keller, men senere blev det bevist, at formodningen ikke er sand for dimensioner otte og højere. For gennemgange af resultater relateret til hypotesen, se ( Zong 2005 ).
13. ↑ Bölcskei, 2001 , s. 317-326.
14. ↑ Dawson ( 1984 ) leverede en tegning af en tredimensionel mosaik, som han tilskriver Rogers, men citerede et papir fra 1960 af Richard Guy .
15. ↑ Burns, 1994 , s. 193-196.
16. ↑ Rigby, 1995 , s. 560-561.
17. ↑ Danzer, Grünbaum, Shephard 1982 , s. 568–570+583–585, figur 3.

Litteratur

• Walter Steurer, Sofia Deloudi. Krystallografi af kvasikrystaller: begreber, metoder og strukturer. - Springer, 2009. - T. 126. - S. 91–92. - (Springer Series in Materials Science). - ISBN 978-3-642-01898-5 . - doi : 10.1007/978-3-642-01899-2 .
• David Wells. Penguin-ordbogen for nysgerrig og interessant geometri . - New York: Penguin Books, 1991. - s  . 260-261 . — ISBN 0-14-011813-6 .
• Horst Martini, Endre Makai, Valeriu Soltan. Ensidige flisebelægninger af planet med firkanter i tre størrelser // Beiträge zur Algebra und Geometrie. - 1998. - T. 39 , no. 2 . — S. 481–495 . .
• Branko Grünbaum, GC Shephard. Flisebelægning og mønstre. - W.H. Freeman, 1987. - S. 171.
• Francesc Aguilo, Miquel Angel Fiol, Maria Lluïsa Fiol. Periodiske fliser som dissektionsmetode  // American Mathematical Monthly. - 2000. - T. 107 , no. 4 . — S. 341–352 . - doi : 10.2307/2589179 .
• Greg N. Frederickson. Dissektioner: Plane & Fancy . - Cambridge University Press, 1997. - S.  30-31 .
• Chuanming Zong. Hvad ved man om enhedsterninger // Bulletin of the American Mathematical Society. - 2005. - T. 42 , no. 2 . — S. 181–211 . - doi : 10.1090/S0273-0979-05-01050-5 .
• Attila Bolcskei. Fyld plads med terninger af to størrelser // Publicationes Mathematicae Debrecen. - 2001. - T. 59 , udg. 3-4 . — S. 317–326 .
• RJM Dawson. Om at fylde rummet med forskellige heltalskuber // Journal of Combinatorial Theory. Serie A. - 1984. - T. 36 , no. 2 . — S. 221–229 . - doi : 10.1016/0097-3165(84)90007-4 .
• Chuanming Zong. Hvad ved man om enhedsterninger // Bulletin of the American Mathematical Society. - 2005. - T. 42 , no. 2 . — S. 181–211 . - doi : 10.1090/S0273-0979-05-01050-5 .
• Roger B. Nelsen. Malerier, flisebelægninger og prøvetryk // Math Horizons. - 2003. - Udgave. november . — S. 5–8 .
  • Genoptrykt i Deanna Haunsperger, Stephen Kennedy. The Edge of the Universe: Fejring af ti år med matematikhorisonter. - Mathematical Association of America, 2007. - S. 295-298. - ISBN 978-0-88385-555-3 .
  • Se også Claudi Alsina, Roger B. Nelsen. Charmerende beviser: en rejse ind i elegant matematik. - Mathematical Association of America, 2010. - V. 42. - S. 168-169. — (Dolciani matematiske udlægninger). - ISBN 978-0-88385-348-1 .
• Aidan Burns. 78.13 Fraktalfliser  // Matematisk Tidende. - 1994. - T. 78 , no. 482 . — S. 193–196 . — .
• John Rigby. 79.51 Fliselægning af flyet med lignende polygoner af to størrelser  // Matematisk Gazette. - 1995. - T. 79 , no. 486 . — S. 560–561 . — .
• Danzer L., Grünbaum B., Shephard GC Uløste problemer: Kan alle fliser af en flisebelægning have fem-folds symmetri? // The American Mathematical Monthly. - 1982. - T. 89 , no. 8 . - doi : 10.2307/2320829 .
• Aguilo F., Fiol MA, Fiol ML Periodiske fliser som dissektionsmetode // American Mathematical Monthly. - 2000. - T. 107 , no. 4 . - doi : 10.2307/2589179 .