Heesch-tallet for en form er det maksimale antal lag af kopier af samme form, der kan omgive den. Heesch-problemet er problemet med at bestemme et sæt tal, der kan være Heesch-tal. Begge er opkaldt efter det tyske geometer Heinrich Heesch [2] , der fandt en flisebelægning med Heesch nummer 1 (sammenslutningen af en firkant, en regulær trekant og en trekant med vinklerne 30-60-90) [3] og foreslog et mere generelt problem [4] .
For eksempel kan en firkant være omgivet af et uendeligt antal lag af kongruente firkanter i en firkantet parket , mens en cirkel ikke kan omgives uden huller selv af et enkelt lag af lige store cirkler. Heesch-tallet for et kvadrat er uendeligt, mens Heesch-tallet for en cirkel er nul. I mere komplekse eksempler, såsom det i figuren, kan en polygonal flise være omgivet af flere lag, men ikke et uendeligt antal lag. Det maksimale antal lag er flisens Heesch-nummer.
Plane fliser er udskæring af et fly i områder kaldet fliser . En flises nulkrone er defineret som selve flisen, og for k > 0 er den k -te krone det sæt af fliser, der har et fælles punkt med den ( k − 1) krone. Heesch-tallet af S er den maksimale værdi af k , for hvilken der er en flisebelægning og en flise t i den flisebelægning, for hvilken alle fliser fra den nulte til den k'te krone af t er kongruente med S . I nogle artikler kræves det desuden, at foreningen af koronaer fra nul til k - th er et enkelt forbundet område [1] .
Hvis der ikke er nogen øvre grænse for antallet af lag, som en flise kan omgives af, siges dens Heesch-tal at være uendelig. I dette tilfælde kan det ud fra Koenig-lemmaet påvises, at der er en flisebelægning af hele planet med kongruente kopier af flisen [5] .
Overvej polygonen P vist i figuren til højre, dannet af en regulær sekskant ved at tilføje fremspring på to sider og indhak på tre sider. Figuren viser en tessellation bestående af 61 kopier af P , et uendeligt område og fire romber inde i det fjerde lag. De første fire kroner fra den centrale polygon består udelukkende af kopier af P -brikken , så Heesch-tallet er mindst fire. Det er ikke muligt at fordele polygonerne på en måde, så man undgår diamantformede "huller", fordi de 61 kopier af P har for mange fordybninger til, at kammene kan fyldes. Således er Heesch-tallet for flisen P præcis fire. Ifølge den styrkede definition er Heesch-tallet tre for at kronen blot skal forbindes. Dette eksempel blev opdaget af Robert Ammann [1] .
Det vides ikke, om alle positive tal svarer til Heesch-tal. Det første eksempel på en polygon med et Heesch-tal på 2 blev givet af Ann Fontaine [6] , som viste, at et uendeligt antal polyomino- figurer har denne egenskab [1] [7] . Casey Mann byggede en familie af fliser, hver med et Heesch-tal på 5, som er den største kendte til dato. Mann-brikker har et Heesch-tal på 5, selv under de strenge betingelser, at hver krone blot skal forbindes [1] .
For det tilsvarende problem på det hyperbolske plan kan Heesch-tallet være vilkårligt stort [8] .
| geometriske mosaikker | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Periodisk |
| ||||||||
| aperiodisk |
| ||||||||
| Andet |
| ||||||||
| Ved toppunktskonfiguration _ |
| ||||||||