Femkantet parket
Pentagonal parket -i geometri : en flisebelægning sammensat af konvekse femkanter . En fliselægning af regulære femkanter i det euklidiske rum er ikke mulig, da den samlede vinkel for en regulær femkant er 108° og deler hverken 180° eller 360°. De kan dog flise det hyperbolske plan og kuglen .
For flyet er problemet med en fuldstændig beskrivelse af alle mulige flisebelægninger med uregelmæssige femkanter (beskrivelser af alle typer af femkanter, for hvilke en sådan fliselægning er mulig) meget komplekst, og forskning i det har været i gang i mere end et århundrede .
Fliselægning af flyet med en konveks flise
Antallet af parketgulve fra en konveks flise
Pentagonale parketgulve genereltDet antages, at der kun er 15 klasser af femkanter, hvoraf uendelige parketgulve kan flisebelægge et plan. Søgningen efter alle sådanne klasser fortsatte indtil 2015, og den 1. maj 2017 fremlagde Mikael Rao et bevis på, at der ikke findes andre sådanne femkanter [1] [2] . Fra december 2017 er computerprogrammet, der blev brugt og specielt skrevet til at bevise teoremet, blevet uafhængigt gengivet og verificeret af Thomas Hales , professor i matematik ved University of Pittsburgh [3] [4] , og resten af artiklen er stadig under peer review .
Kant-til-kant parketEn enklere opgave er at finde alle parketgulve, der udgør en kant-til-kant flisebelægning, det vil sige, når ingen side af nogen flise falder sammen med to sider af to andre på én gang (eller med andre ord, når ingen af hjørnerne på flisebelægningens polygoner ligger midt på en side af en anden polygon).
I alt er der otte typer rib-til-rib femkantede konvekse parketfliser. Det faktum, at der ikke findes andre sådanne typer parketfliser, bortset fra dem, der allerede er fundet, blev bevist af Olga Bagina ved Omsk Algebraic Seminar i 2011 [5] . Beviset blev offentliggjort i 2017 [6] .
Uanset Bagina blev beviset også opnået af Sugimoto i 2012 [7] .
Bemærkelsesværdige parkettyper
Ingen af de femten kendte klasser af tessellable femkanter er fuldstændigt dækket af foreningen af andre. Nogle klasser kan dog overlappe hinanden. Derudover er der i nogle klasser polygoner, for hvilke der ud over standardskemaet for fliselægning af et plan med fliser af denne klasse også er alternative metoder til fliselægning.
I ovenstående klassificering af fliser er femkantens hjørner angivet med A,B,C,D,E, og længderne af dens sider med a, b, c, d, e, hvor |EA|=a, | AB|=b, |BC|= c, |CD|=d, |DE|=e. Mange af disse klasser har frihedsgrader udtrykt ved ligninger for vinkler og sider. Især klasse 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9 og 13 tillader parametre, der gør femkanter ikke-konvekse.
| en | 2 | 3 | fire | 5 | |
|---|---|---|---|---|---|
B+C=180° A+D+E=360° |
c=e B+D=180° |
a = b, d = c + e A = C = D = 120° |
b = c, d = e B = D = 90° |
a = b, d = e A = 60°, D = 120° | |
| 6 | 7 | otte | 9 | ti | |
a = d = e, b = c B + D = 180°, 2B = E |
b = c = d = e B + 2E = 2C + D = 360° |
b = c = d = e 2B + C = D + 2E = 360° |
b = c = d = e 2A + C = D + 2E = 360° |
a = b = c + e A = 90°, B + E = 180°, B + 2C = 360° | |
| elleve | 12 | 13 | fjorten | femten | |
2a + c = d = e A = 90°, 2B + C = 360° C + E = 180° |
2a = d = c + e A = 90°, 2B + C = 360° C + E = 180° |
d = 2a = 2e B = E = 90°, 2A + D = 360° |
2a = 2c = d = e A = 90°, B ≈ 145,34°, C ≈ 69,32°, D ≈ 124,66°, E ≈ 110,68° (2B + C = 360°, C + E = 180°). |
a = c = e, b = 2a A = 150°, B = 60°, C = 135°, D = 105°, E = 90° | |
Periodiske flisesætninger kan karakteriseres ved deres symmetrigruppe , for eksempel p2 (2222) for flisedelinger indeholdende 4 rotationspunkter (der tages højde for parallel translation) af orden 2 (billedet transformerer til sig selv, når det drejes med 360/2=180 °). Dette bruges senere i illustrationerne, hvor de samme farver er vist, mosaikkens fliser vender ind i hinanden med den passende rotation.
En primitiv celle er den mindste af fliserne, som, når de kopieres og flyttes, danner hele den givne mosaik.
Type 1,2,3,4,5 (Reinhardt, 1918)De første fem typer flisebelægninger blev beskrevet i 1918 af Carl Reinhardt . [8] Alle disse fem fliser var isoedriske , det vil sige, at hver af fliserne kunne oversættes til hinanden ved en simpel rotation og translation uden brug af spejlreflektion.
Grünbaum og Shephard viste, at der er præcis 24 typer af distinkte isoedriske fliser. [9] Alle disse 24 typer tilhørte klasserne beskrevet af Reinhardt, men krævede nogle gange yderligere betingelser. Der er to isoedriske fliser for hvert sæt af type 2, og en for hver af de fire andre. 15 ud af 18 andre typer er specialtilfælde af type 1 flisebelægning.9 ud af 24 typer er kant-til-kant parket. [ti]
Symmetrigrupperne ved siden af billederne nedenfor er givet i orbifold notation .
For fliser af den første type er der mange måder at flisebelægge flyet med dem. Følgende er fem topologisk forskellige eksempler på tesselleringer:
| s2 (2222) | cmm (2*22) | cm (*×) | pmg (22*) | pgg (22x) | s2 (2222) | cmm (2*22) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| p1 (°) | s2 (2222) | s2 (2222) | ||||
| Primitiv celle med 2 fliser | Primitiv celle med 4 fliser | |||||
B + C = 180° A + D + E = 360° |
a = c, d = e A + B = 180°, A + D + E = 360° |
a = c A + B = 180°, C + D + E = 360° |
a = e B + C = 180°, A + D + E = 360° |
d = c + e A = 90°, C + D = 180° 2B + C = 360° B + E = 270° | ||
| Type 2 | |
|---|---|
| pgg (22x) | |
| s2 (2222) | |
| Primitiv celle med 4 fliser | |
c = eB + D = 180° |
c = e, d = b B + D = 180° |
| Type 3 | Type 4 | Type 5 | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| s3 (333) | p31m (3*3) | p4 (442) | p4g (4*2) | s6 (632) | ||
| Primitiv celle med 3 fliser | Primitiv celle med 4 fliser | Primitiv celle med 6 fliser | Primitiv celle med 18 fliser | |||
a = b, d = c + e A = C = D = 120° |
b = c, d = e B = D = 90° |
a = b, d = e A = 60°, D = 120° |
a = b = c, d = e A = 60°, B = 120°, C = 90° D = 120°, E = 150° | |||
Richard Kershner beskrev yderligere tre typer fliser i 1968. Han hævdede, at der ud over de nu fundet otte typer ikke er andre, men han viste sig at tage fejl.
I type 7 og 8 vises chirale fliser først (det vil sige for en fuldstændig beskrivelse af symmetribanerne, for første gang er det nødvendigt at bruge ikke kun rotationer, men også refleksioner). På billedet nedenfor er par af chirale fliser angivet med farvepar (gul, grøn) og (blå, lyseblå).
Alle eksemplerne nedenfor er 2-isohedriske.
| Type 6 | Type 6 (også type 5) |
Type 7 | Type 8 | |
|---|---|---|---|---|
| s2 (2222) | pgg (22x) | pgg (22x) | ||
| s2 (2222) | s2 (2222) | |||
a = d = e, b = c B + D = 180°, 2B = E |
a = d = e, b = c B = 60°, A = C = D = E = 120° |
b = c = d = e B + 2E = 2C + D = 360° |
b = c = d = e 2B + C = D + 2E = 360° | |
Primitiv celle med 4 fliser |
Primitiv celle med 4 fliser |
Primitiv celle med 8 fliser |
Primitiv celle med 8 fliser | |
Efter at have gennemgået Kershners resultater i Martin Gardners "Math Games" kolonne i Scientific American , fandt Richard James en anden type femkant, der nu omtales som type 10.
Eksemplerne præsenteret her er 3-isohedriske.
| type 10 | |
|---|---|
| s2 (2222) | cmm (2*22) |
a=b=c+e A=90, B+E=180°, B+2C=360° |
a=b=2c=2e A=B=E=90°, C=D=135° |
Primitiv celle med 6 fliser | |
Amatørmatematiker Marjorie Rice fandt yderligere fire typer fliser egnet til fliselægning i 1976 og 1977.
Alle fire typer parket er 2-isohedriske. På billedet nedenfor er par af chirale fliser angivet med farvepar (gul, grøn) og (blå, lyseblå).
Af de fire typer giver kun type 9 en kant-til-kant flisebelægning.
Primitive celler indeholder 8 fliser overalt.
| Type 9 | Type 11 | Type 12 | Type 13 |
|---|---|---|---|
| pgg (22x) | |||
| s2 (2222) | |||
b=c=d=e 2A+C=D+2E=360° |
2a+c=d=e A=90°, 2B+C=360° C+E=180° |
2a=d=c+e A=90°, 2B+C=360° C+E=180° |
d=2a=2e B=E=90°, 2A+D=360° |
Primitiv celle med 8 fliser |
Primitiv celle med 8 fliser |
Primitiv celle med 8 fliser |
Primitiv celle med 8 fliser |
Den fjortende mosaik blev fundet af Rolf Stein i 1985. Flisebelægningen han fandt er 3-isohedral og er ikke af kant-til-kant-typen.
Desuden består dens flisebelægning af strengt faste fliser - der er ingen variation gennem ligninger for vinkler, som i de tidligere typer er der ingen frihedsgrader her. Her er nogle muligheder for denne faste flise:
Ud fra disse værdier kan du nemt udlede resten.
En primitiv celle af en sådan flisebelægning indeholder seks fliser.
| type 14 | |||
|---|---|---|---|
| pgg (22x) | |||
2a=2c=d=e A=90°, B≈145,34°, C≈69,32°, D≈124,66°, E≈110,68° (2B+C=360°, C+E=180°). |
Primitiv celle med 6 fliser | ||
Forskere fra University of Washington i Bothell, matematikerne Casey Mann, Jennifer Macleod og David von Duray fandt i 2015 ved hjælp af computerberegninger den femtende type parket. Deres arbejde blev offentliggjort i oktober 2015. [elleve]
Denne flisebelægning er ikke en kant-til-kant flisebelægning. Det er 3-isohedral (dette sikres af to symmetrier - rotation med 180° omkring midten af krydset af lysegule fliser i en elementær celle og spejlreflektion omkring midten af krydset af lysegule fliser fra to forskellige elementære celler) . Der er chirale fliser i mosaikken - på billedet er de angivet med par af farver (gul, lysegul), (blå, cyan), (rød, pink). Den primitive celle indeholder 12 fliser.
Ligesom type 14 parket kan denne parket bygges af en enkelt flise, der er ingen frihedsgrader til at ændre sidernes vinkler og længder.
| Type 15 | ||
|---|---|---|
( Større billede ) |
a=c=e, b=2a, d= √ 2 + √ 3 a A=150°, B=60°, C=135° D=105°, E=90° |
Primitiv celle med 12 fliser |
Ikke-periodiske parketgulve
Der findes også ikke-periodiske parketgulve af femkantede fliser. De har radial symmetri, det vil sige, at de falder sammen med sig selv efter at have vendt sig gennem en vis vinkel i forhold til midten.
Nedenfor vil vi tale om en flisebelægning med radial ordenssymmetri, hvis den falder sammen med sig selv efter en rotation igennem omkring det centrale punkt.
I 2016 viste Bernard Claasen, at der for enhver eksisterer en ikke-periodisk femkantet flisebelægning med orden radial symmetri [12] [13] . Hans konstruktionsmetode var at fylde flyet med par af femkanter, forbundet på den ene side på en sådan måde, at de danner en sekskant. Hvis en af vinklerne på femkanten er ens , og længderne af siderne er valgt på den rigtige måde, så kan man, med udgangspunkt i sådanne femkanter, der er trivielt forbundet omkring ét punkt, forudsigeligt udfylde lagene, der omgiver dem én efter én.
Femkantet flisebelægning med radial symmetri af orden 5 |
Femkantet flisebelægning med radial symmetri af orden 6 |
Femkantet flisebelægning med radial symmetri af orden 7 |
Et eksempel på en Claasen flisebelægning til |
Parketter dobbelt til homogene parketter
Der findes tre typer parketgulve dobbelt til homogene parketgulve . Alle disse parketter er af typen rib-til-rib. Symmetrierne i dobbeltparketterne falder sammen med symmetrierne i de tilsvarende homogene parketgulve. Da homogene parketgulve er isogonale , er deres dobbelte parketter isoedriske.
| cmm (2*22) | p4g (4*2) | s6 (632) |
|---|---|---|
| Prismatisk femkantet parketType 1 forekomst [8] | Cairo femkantet mosaikType 4 -forekomst [8] [14] | Blomster femkantet mosaikForekomst af type 1, 2 og 5 |
120°, 120°, 120°, 90°, 90° V3.3.3.4.4 |
120°, 120°, 90°, 120°, 90° V3.3.4.3.4 |
120°, 120°, 120°, 120°, 60° V3.3.3.3.6 |
Fliselægning af et fly med flere fliser
Parketter dobbelt til k -homogene
Andre k -homogene parketter, hvis toppunkter alle har fem udgående kanter, har også dobbelt femkantede parketgulve, men bestående af flere forskellige fliser. Der er dog ingen andre fliser, bortset fra de tre, der forekommer i almindelige parketgulve, dobbelte til homogene, i dem.
Parketterne dual til den k -homogene parket er k -isohedriske.
For eksempel nedenfor er femkantede parketgulve dobbelt til 2,3,4 og 5-homogene samt separat (under hver) de fliser, der udgør dem.
| 2-isohedral | 3-isohedral | |||
|---|---|---|---|---|
| p4g (4*2) | pgg (22x) | s2 (2222) | p6 (*632) | |
| 4-isohedral | 5-isohedral | |||
| pgg (22x) | s2 (2222) | p6m (*632) | ||
| 5-isohedral | ||||
| pgg (22x) | s2 (2222) | |||
Femkantede-sekskantede fliser
Femkanterne er i interessante forhold til sekskanterne. Nogle typer sekskanter kan opdeles i femkanter - især en enkelt sekskant kan opdeles i:
- 2 fliser type 1
- 3 type 3 fliser
- 4 type 4 fliser
- 9 type 3 fliser
På grund af denne mangfoldighed af muligheder kan flyet flisebelægges til femkanter på et uendeligt antal måder, genereret ud fra en underopdeling af sekskanterne i en almindelig flisebelægning.
Fliselægning af flyet med en femkantet flise (type 1) gennem dannelsen af en regulær mosaik af sekskanter (som hver er opdelt i 2 femkanter) |
Fliselægning af flyet med en femkantet flise (type 3) gennem dannelsen af en regulær mosaik af sekskanter (som hver er opdelt i 3 femkanter) |
Fliselægning af flyet med en femkantet flise (type 4) gennem dannelsen af en regulær mosaik af sekskanter (som hver er opdelt i 4 femkanter) |
Belægning af flyet med en femkantet flise (type 3) ved at danne en regulær mosaik af sekskanter i to forskellige størrelser (som hver er opdelt i enten 3 eller 9 fliser) |
Flisebelægning med ikke-konvekse femkanter
Flisebelægninger af planet med ikke-konvekse polygoner findes også. Et sådant eksempel er Sphinx -flisebelægningen, en ikke-periodisk flisebelægning ved at øge størrelsen af en opdelingsflise . For figuren "Sphinx" er der også en periodisk fliselægning gennem samlingen af deres par til parallelogrammer og en triviel fliselægning af planet ved sådanne parallelogrammer.
I 2003 viste Gerver, hvordan en regulær trekant kan opdeles i tre ikke-konvekse polygoner. Ved at bruge det samme skema kan man opdele enhver regulær -gon i ikke- konvekse femkanter på et uendeligt antal måder. Især er denne metode velegnet til 3, 4 og 6-goner, gennem underopdelingen af regulære tesseller, hvoraf man således kan generere en anden uendelig klasse af flisebelægninger af planet i ikke-konvekse polygoner.
Noter
- ↑ Konyaev, Andrey . Fransk matematiker løste problemet med fliselægning af flyet , N+1 (12. juli 2017). Arkiveret fra originalen den 5. januar 2018. Hentet 4. januar 2018.
- ↑ Fortryk af Raos værk . Hentet 12. marts 2018. Arkiveret fra originalen 2. august 2017.
- ↑ Hales programkode
- ↑ Udgivelse af Hales' arbejde Arkiveret 6. august 2017 på Wayback Machine på Quanta Magazines hjemmeside
- ↑ Omsk algebraisk seminar . Hentet 12. marts 2018. Arkiveret fra originalen 12. marts 2018.
- ↑ O. G. Bagina. Om egenskaber af mosaik femkanter med et par lige tilstødende sider // Institut for Matematik im. S. L. Soboleva Sibiriske elektroniske matematiske nyheder. - Elektronisk magasin, 2017. - 8. december ( bind 14 ). - S. 1380-1412 . doi : 10.17377 / semi.2017.14.119 .
- ↑ Sugimoto, Teruhisa (2012), Convex pentagons for edge-to-edge fliselægning, I. , Forma T. 27 (1): 93–103 , < http://www.scipress.org/journals/forma/abstract/ 2701/27010093.html > Arkiveret 20. maj 2020 på Wayback Machine
- ↑ 1 2 3 Reinhardt, Karl (1918), Über die Zerlegung der Ebene in Polygone , Dissertation Frankfurt am Main, Borna-Leipzig, Druck von Robert Noske,, s. 77–81 , < http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN316479497&DMDID=DMDLOG_0013&LOGID=LOG_0013&PHYSID=PHYS_0083 > (bemærk: der er mindst én fejl i værket summen af vinklerne γ +δ i de første to typer fliser på side 77 skal være π, ikke 2π)
- ↑ Grünbaum, Shephard, 1978 .
- ↑ Schattschneider, 1978 .
- ↑ Mann, Casey; McLoud-Mann, Jennifer & David Von Derau (2015), Konvekse femkanter, der tillader $i$-blok transitive fliser, arΧiv : 1510.01186 [math.MG].
- ↑ Klaassen, Bernard. Rotationssymmetriske fliser med konvekse femkanter og sekskanter // Elemente der Mathematik : journal. - 2016. - Bd. 71 , nr. 4 . - S. 137-144 . — ISSN 0013-6018 . - doi : 10.4171/em/310 .
- ↑ Klaassen, Bernhard (2016), Rotationssymmetriske fliser med konvekse femkanter og sekskanter, arΧiv : 1509.06297 [math.MG].
- ↑ Cairo femkantet flisebelægning genereret af en femkantet type 4 - forespørgsel Arkiveret 28. december 2017 på Wayback Machine og af en femkantet type 2 - fliseforespørgsel Arkiveret 29. december 2017 ved Wayback Machine på wolframalpha.com Arkiveret 24. februar 2011 på Wayback Machine (caution: Wayback Machine ) wolfram definitionen af pentagon type 2 flisebelægning svarer ikke til type 2 defineret af Reinhardt i 1918)
Links
- Branko Grünbaum, Geoffrey C. Shephard. Isoedriske flisebelægninger af planet ved polygoner // Commentarii Mathematici Helvetici. - 1978. - T. 53 . - S. \u003d 542-571 . — ISSN 0010-2571 . - doi : 10.5169/seals-40786 . (utilgængeligt link)
- Schattschneider, Doris (1978), Tiling the plane with congruent pentagons , Mathematics Magazine vol. 51 (1): 29–44, ISSN 0025-570X , DOI 10.2307/2689644
- Gerver, ML (2003), Theorems on tessellations by polygons , Sbornik: Mathematics vol. 194 (6): 879–895 , doi 10.1070/sm2003v194n06abeh000743
- Pentagon flisebelægning
- Matematikere har fundet en ny type femkantet parket
- Matematisk parket
| geometriske mosaikker | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Periodisk |
| ||||||||
| aperiodisk |
| ||||||||
| Andet |
| ||||||||
| Ved toppunktskonfiguration _ |
| ||||||||