Fliseudskiftninger

Fliseudskiftninger er en metode til at konstruere mosaikker . Vigtigst er det, at nogle flisesubstitutioner danner aperiodiske fliser, det vil sige tesseller, hvis prototiler ikke danner nogen paralleloversættelsesfliser . Den mest berømte af disse er Penrose flisebelægningerne . Substitutionsfliser er særlige tilfælde af de endelige inddelingsregler, når fliserne ikke kræves at være geometrisk lige.

Introduktion

En flisesubstitution er beskrevet af et sæt prototiler , en udvidelseskortlægning og en divisionsregel, der specificerer, hvordan de udvidede prototiler skal opdeles for at danne kopier af nogle prototiler . En iterativ udskiftning af fliser producerer en flisebelægning i planet, kaldet en substitutionsfliser . Nogle permutationsfliser er periodiske , det vil sige, at de har translationssymmetri . Blandt de ikke-periodiske permutationsfliser er nogle aperiodiske , hvilket betyder, at deres prototiler ikke kan placeres som en periodisk flisebelægning. ${\displaystyle T_{1},T_{2},\dots ,T_{m))$ $Q$ ${\displaystyle QT_{i))$ $T_{j}$

Et simpelt eksempel på at skabe en periodisk flisebelægning med én flise, nemlig en firkant:

Ved at gentage denne substitution vil større og større områder af flyet blive dækket af det firkantede gitter. Et mere komplekst eksempel på to proto-fliser er vist nedenfor.

Man kan intuitivt forstå, hvordan denne procedure frembringer en substitutionsbelægning af hele planet . Den matematiske definition er givet nedenfor. Substitutionsfliser er ganske nyttige som en måde at definere aperiodiske fliser på, som er emnerne for studier inden for mange områder af matematik , herunder automatteori , kombinatorik , kombinatorisk geometri , dynamiske systemer , gruppeteori , harmonisk analyse og talteori , for ikke at nævne. de områder, hvor disse flisebelægninger opstod, krystallografi og kemi . Især Penrose flisebelægning er et eksempel på en aperiodisk permutation flisebelægning.

Historie

I 1973 og 1974 opdagede Roger Penrose en familie af aperiodiske fliser, nu kaldet Penrose flisebelægninger . Den første opdagelse blev givet i form af "kombinationsregler", hvorefter arbejdet med fliser forløb på samme måde som med stykker af et mosaikbillede . Beviset for, at kopier af disse prototiler kan sammenføjes for at danne en plan flisebelægning , men at denne flisebelægning ikke kan danne en periodisk flisebelægning, bruger en konstruktion, der kan opfattes som en prototilerstatning. I 1977 opdagede Robert Ammann flere sæt aperiodiske prototiler, dvs. prototiler, for hvilke matchningsreglerne fører til ikke-periodiske fliser. Især genopdagede han det første Penrose-eksempel. Dette arbejde påvirkede videnskabsmænd, der arbejder inden for krystallografi , hvilket til sidst førte til opdagelsen af kvasikrystaller . Omvendt har interessen for kvasikrystaller ført til opdagelsen af nogle velordnede aperiodiske tesseller. Mange af dem kan let beskrives som en substitutionsflisebelægning.

Matematisk definition

Overvej regioner , der er godt betinget af , i den forstand, at regionen er en ikke-tom kompakt undergruppe, der er lukningen af dens indre . ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{d))$

Lad os tage et sæt områder som prototiler. Placeringen af prototilen er parret , hvor er en isometri af . Billedet kaldes et hostingområde. Et flisebelægnings-T er et sæt af prototilplaceringsområder, hvor de indre områder af prototilerne ikke har nogen fælles dele. Vi siger, at en flisebelægning T er en flisebelægning på W , hvis W er foreningen af iscenesættelsesarealer fra T . $\mathbf {P} =\{T_{1},T_{2},\dots ,T_{m}\}$ $T_{i}$ $(T_{i},\varphi )$ $\varphi$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{d))$ $\varphi (T_{i})$

Substitutionen af fliser i litteraturen er ofte ikke veldefineret. Den nøjagtige definition er som følger [1] .

En flisesubstitution for prototiler P er et par , hvor er en lineær mapping , hvis egenværdier alle er større end enhed i absolut værdi, og substitutionsreglerne er knyttet til en flise . Tile substitution genererer en mapping fra en hvilken som helst flise T af område W til en flise af område $(Q,\sigma )$ ${\displaystyle Q:{\mathbb {R} }^{d}\to {\mathbb {R} }^{d))$ $\sigma$ $T_{i}$ ${\displaystyle QT_{i))$ $\sigma$ $\sigma (\mathbf {T} )$ $Q_{\sigma }(\mathbf {W} )$

\sigma (\mathbf {T} )=\bigcup _{(T_{i},\varphi )\in \mathbf {T} }\{(T_{j},Q\circ \varphi \circ Q ^{-1}\circ \rho ):(T_{j},\rho )\in \sigma (T_{i})\}.

Bemærk, at prototiler kan udledes af flisesubstitution. Der er således ingen grund til at inkludere dem i flisesubstitutioner [2] . $(Q,\sigma )$

Enhver fliselægning , hvoraf enhver endelig del er kongruent med en delmængde af nogle , kaldes en substitutionsfliser (til flisesubstitution ). ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{d))$ $\sigma ^{k}(T_{i})$ $(Q,\sigma )$

Se også

Mosaik "Pinwheel"

Noter

↑ Frettlöh, 2005 , s. 619-639.
↑ Vince, 2000 , s. 329-370.

Læsning for yderligere læsning

N. Pytheas Fogg. Substitutioner i dynamik, aritmetik og kombinatorik / Redaktører Berthé, Valérie; Ferenczi, Sebastien; Mauduit, Christian; Siegel, A.. - Berlin: Springer-Verlag , 2002. - T. 1794. - (Lecture Notes in Mathematics). — ISBN 3-540-44141-7 .
D. Frettlöh. Dualitet af modelsæt genereret af substitutioner // Rumænsk J. of Pure and Applied Math. - 2005. - Udgave. 50 .
Vince A. Vejledninger i matematiske kvasikrystaller / M. Baake, R. V. Moody. - Providence: AMS, 2000. - Vol. 13. - (CRM Monograph series).

Links

Dirk Frettlöhs og Edmund Harriss Encyclopedia of Substitution Tilings

geometriske mosaikker

Periodisk

Pythagoras
Rhombic
Schwartz trekant
Rektangulær
- Dominobrikker
Femkantet
Homogen mosaik
Honeycombs
- Farvelægning
- Konveks
- Delt mosaik
Flad krystallografisk gruppe
Wythoff konstruktion

aperiodisk

Ammann-Binker
Aperiodisk sæt mosaikfliser
- Liste
En fliseudfordring
- Sokolara - Taylor
Gilbert
Penrose
pinwheel
Kuppelformet
Opdelings- og selvklæbende sæt
- Sphinx
Truche

Andet

Non- isohedral og isohedral
Arkitektonisk og reflekterende
Circle Limit III
Computer grafik
honningkager
Kant transitiv
Pakke
Opgaver
- Van
- heesh
- kvadrating
Mosaikfliser
- Conways kriterium
- Girih
Regelmæssig opdeling af flyet
Almindelig gitter
Udskiftninger
Voronoi diagram
Foderberg

Ved toppunktskonfiguration
_

Kugleformet	2n _ 3 3 n V3 3.n _ 42.n _ _ V4 2.n _
Korrekt	2∞ _ 3 6 4 4 6 3
semi -korrekt	3 2 .4.3.4 V3 2.4.3.4 _ 3 3 .4 2 3 3 .∞ 3 4 .6 V3 4.6 _ 3.4.6.4 (3.6) 2 3.12 2 4 2 .∞ 4.6.12 4,8 2
Hyperbolsk _	3 2 .4.3.5 3 2 .4.3.6 3 2 .4.3.7 3 2 .4.3.8 3 2 .4.3.∞ 3 2 .5.3.5 3 2 .5.3.6 3 2 .6.3.6 3 2 .6.3.8 3 2 .7.3.7 3 2 .8.3.8 3 3 .4.3.4 3 2 .∞.3.∞ 3 4 .7 3 4 .8 3 4 .∞ 3 5 .4 3 7 3 8 3∞ _ (3.4) 3 (3.4) 4 3.4.6 2.4 _ 3.4.7.4 3.4.8.4 3.4.∞.4 3.6.4.6 (3.7) 2 (3.8) 2 3.14 2 3,16 2 (3.∞) 2 3.∞ 2 4 2 .5.4 4 2 .6.4 4 2 .7.4 4 2 .8.4 4 2 .∞.4 4 5 4 6 4 7 4 8 4∞ _ (4.5) 2 (4.6) 2 4.6.12 4.6.14 V4.6.14 4.6.16 V4.6.16 4.6.∞ (4.7) 2 (4.8) 2 4.8.10 V4.8.10 4.8.12 4.8.14 4.8.16 4.8.∞ 4.10 2 4.10.12 4.12 2 4.12.16 4,14 2 4,16 2 4.∞ 2 (4.∞) 2 5 4 5 5 5 6 5∞ _ 5.4.6.4 (5.6) 2 5,8 2 5.10 2 5.12 2 (5.∞) 2 6 4 6 5 6 6 6 8 6.4.8.4 (6.8) 2 6,8 2 6.10 2 6.12 2 6,16 2 7 3 74 _ 7 7 7,6 2 7,8 2 7.14 2 8 3 8 4 8 6 8 8 8 12 8,6 2 8.16 2 ∞ 3 ∞ 4 ∞ 5 ∞∞ _ ∞.6 2 ∞.8 2