Ottekant

ottekant
Regelmæssig ottekant
Type	regulær polygon
ribben	$atten$
Schläfli symbol	${\displaystyle \{18\))$ , $\mathrm {t} \{9\}$
Coxeter-Dynkin diagram
En slags symmetri	Dihedral gruppe , orden 2×18 $(\mathrm {D} _{18})$
Indre hjørne	${\displaystyle 160^{\circ ))$
Ejendomme
konveks , indskrevet , ligesidet , ligekantet , isotoksal
Mediefiler på Wikimedia Commons

En atten -sidet polygon er en polygon med atten sider [1] .

Regelmæssig ottekant

En regulær ottekant har Schläfli-symbolet og kan konstrueres som en semi-regulær afkortet sekskant , , hvor to typer sider veksler. ${\displaystyle \{18\))$ $\mathrm {t} \{9\}$

Konstruktion

Med sider, kan en regulær ottekant ikke konstrueres ved hjælp af et kompas og en ligekant ifølge Gauss-Wanzels sætning [2] . Den kan dog bygges med en nevsis eller en vinkel-trisektion ved hjælp af en tomahawk . $18=2\cdot 3^{2}$

Den følgende omtrentlige konstruktion er meget tæt på konstruktionen af en nonagon, da attenagonen, som allerede nævnt ovenfor, kan konstrueres ved at afkorte nonagonen. Denne konstruktion kan kun udføres ved hjælp af et kompas og en lineal.

Vi reducerer vinklen ved at bruge fire opdelinger på midten og bygger en tredjedel af buen ved hjælp af en omtrentlig opdeling af vinklen mellem og . $AMC(60^{\circ })$ $MON$ ${\displaystyle \mathrm {w} _{3))$ ${\displaystyle \mathrm {w} _{4))$ For at gøre dette tegner vi en lige linje gennem punkterne og , på denne linje sætter vi et segment svarende til , og bygger et punkt på det resulterende segment , så længden er lig med en tredjedel . $O$ $N$ $OP$ $TIL$ $Q$ $ELLER$ $TIL$ Nu tegner vi en cirkel centreret i et punkt og finder skæringspunktet mellem denne cirkel med en bue og får et punkt . $Q$ $NEJ$ $R$ Vi tegner en lige linje gennem et punkt og midten af cirklen . Denne lige linje afskærer fra den oprindelige cirkel en bue, der er omtrent lig med cirklens fulde længde. $R$ $M$ $1/18$ $\angle {AMR}=19.999999994755615...^{\circ }$ Den centrale vinkel på en regulær ottekant er , hvilket betyder, at konstruktionsfejlen er $360^{\circ }/18=20^{\circ }$ ${\displaystyle \angle {AMR}-20^{\circ }=-5.244...^{\circ }\cdot 10^{-9))$ Et eksempel, der illustrerer nøjagtigheden af konstruktionen: Hvis vi tager en cirkel med en radius på km , vil den absolutte fejl af sidelængden være cirka mm . $r=100000$ $-9$ Se også Konstruktion af en nonagon (på tysk) I konstruktionen givet på denne side er vinklen lig med vinklen i den givne konstruktion af ottekanten. ${\displaystyle \angle {JMR))$ $\angle {AMR}$

Symmetri

En regulær ottekant har en dihedral ordensgruppe . Der er typer af undergrupper af dihedral symmetri : , ( , ) og ( , ), samt 6 cykliske symmetrigrupper: ( , ), ( , ) og ( , ). $\mathrm {D} _{18}$ $36$ $5$ $\mathrm {D} _{9}$ $\mathrm {D} _{6}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{3))$ $\mathrm {D} _{2}$ $\mathrm {D} _{1}$ $\mathrm {Z} _{18}$ $\mathrm {Z} _{9}$ $\mathrm {Z} _{6}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{3))$ $\mathrm {Z} _{2}$ $\mathrm {Z} _{1}$

På billedet til højre kan du se ottekantens symmetriundergrupper . Conway brugte bogstaver til at repræsentere dem, sammen med rækkefølgen af gruppen [3] . Den totale symmetri af en regulær figur vil være , og fraværet af symmetri (det vil sige den trivielle gruppe ) er markeret som . Dihedriske symmetrier er divideret med, om deres akser passerer gennem hjørnerne (ved hjælp af bogstavet , fra "diagonal") eller gennem midtpunkterne på siderne (ved hjælp af bogstavet , fra "vinkelret"). Hvis symmetriakserne passerer gennem både spidserne og midtpunkterne på siderne, bruges bogstavet . Cykliske grupper er markeret med et bogstav (fra "gyration"). $femten$ $\mathrm {r} 36$ $\mathrm {a} 1$ $\mathrm {d}$ $\mathrm {p}$ ${\mathrm {i))$ $\mathrm {g}$

Alle disse undergrupper kan være dihedrale grupper af uregelmæssig ottekant, og kun undergruppen giver ikke frihed i denne henseende, medmindre siderne af polygonen anses for at have en retning, det vil sige som vektorer . $\mathrm {g} 18$

Brug

Regulær trekant , nonagon og attengon kan fuldstændigt omgive et punkt på planet, hvilket er en af 17 kombinationer af regulære polygoner med denne egenskab [4] . Denne kombination kan dog ikke bruges til en arkimedisk fliselægning af et plan - trekant og nonagon har et ulige antal sider, ingen af disse figurer kan omgives af alternerende to andre typer polygoner.

Regelmæssige attener kan fliselægge flyet og efterlade konkave sekskantede huller. En anden flisebelægning bruger ikke-konvekse ottekanter. Ved at skære nogle hjørner, kan den første flisebelægning omdannes til en afkortet sekskantet flisebelægning , og den anden til en afkortet tresekskantet flisebelægning .

Andre ottekantede figurer

Stjerne -goner har symboler . Der er to regulære stjernepolygoner : og . De bruger de samme toppunkter, men forbinder hvert femte eller syvende toppunkt. Der er også sammensatte atten: svarende til (to nonagoner ), svarende til (tre sekskanter ) og svarende til ( to enneagrammer ), svarende til ( ligesidede trekanter), og endelig svarende til (ni tokanter ). $atten$ ${\displaystyle \{18/n\))$ ${18/5}$ ${\displaystyle \{18/7\))$ $\{18/2\}$ $2\{9\}$ $\{18/3\}$ $3\{6\}$ $\{18/4\}$ $\{18/8\}$ $2\{9/2\}$ $2\{9/4\}$ $\{18/6\}$ $6\{3\}$ $6$ $\{18/9\}$ $9\{2\}$

Sammensatte og stjernepolygoner
n	en	2	3	fire	5	6	7	otte	9
Udsigt	Konveks polygon	Sammensatte			stjerne polygon	Sammensatte	stjerne polygon	Sammensatte
Billede	$\{18/1\}$ = ${\displaystyle \{18\))$	$\{18/2\}$ = $2\{9\}$	$\{18/3\}$ = $3\{6\}$	$\{18/4\}$ = $2\{9/2\}$	$\{18/5\}$	$\{18/6\}$ = $6\{3\}$	${\displaystyle \{18/7\))$	$\{18/8\}$ = $2\{9/4\}$	$\{18/9\}$ = $9\{2\}$
Indre hjørne	${\displaystyle 160^{\circ ))$	${\displaystyle 140^{\circ ))$	$120^{\cirkel }$	${\displaystyle 100^{\circ ))$	${\displaystyle 80^{\circ ))$	$60^{\cirkel }$	${\displaystyle 40^{\circ ))$	${\displaystyle 20^{\circ ))$	$0^{\cirkel }$

Dybere trunkeringer af en regulær polygon og et regulært enneagram giver ækvikantede ( vertex-transitive ) mellemliggende ottekanter med ækvidistante spidser og to sidelængder. Andre trunkeringer giver dobbelt dækning: [5] . $\mathrm {t} \{9/8\}=\{18/8\}=2\{9/4\},\;\mathrm {t} \{9/4\}=\{ 18/4\}=2\{9/2\},\;\mathrm {t} \{9/2\}=\{18/2\}=2\{9\}$

Vertex-transitive trunkeringer af nonagon og enneagrammer
Næsten korrekt	isogonale	Kvasi -korrekt Dobbelt belægning
$\mathrm {t} {9}={18}$		$\mathrm {t} {9/8}={18/8}$ $=2{9/4}$
$\mathrm {t} {9/5}={18/5}$		$\mathrm {t} {9/4}={18/4}$ $=2{9/2}$
$\mathrm {t} {9/7}={18/7}$		$\mathrm {t} {9/2}={18/2}$ $=2{9}$

Petrie polygoner

En regulær ottekant er en Petri-polygon for et antal polytoper , som vist i skæve-ortogonale projektioner på Coxeter-planet :

Attensidede Petri-polygoner
A 17	B9 _		D10 _		E 7
17-simplex	9-orthohedron	Enneract	7 11	171 [ da	3 21	231 [ da	> 1 32

Noter

↑ Adams, 1907 , s. 528.
↑ Conway, 2010 , s. 31.
↑ Conway, Burgiel, Goodman-Strauss, 2008 , s. 275-278.
↑ Dallas, 1855 , s. 134.
↑ Grünbaum, 1994 , s. 35-48.

Litteratur

Henry Adams. Cassell's Engineer's Handbook: Bestående af fakta og formler, principper og praksis, i alle brancher af ingeniørvidenskab. - D. McKay, 1907. - S. 528.
John B. Conway. Matematiske forbindelser: Et hjørnestenskursus. - American Mathematical Society, 2010. - S. 31. - ISBN 9780821849798 .
L. Christine Kinsey, Teresa E. Moore. Symmetri, form og overflader: En introduktion til matematik gennem geometri. - Springer, 2002. - S. 86. - ISBN 9781930190092 .
John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss. Kapitel 20, Generaliserede Schaefli-symboler, Typer af symmetri af en polygon // Tingenes symmetrier. - Wellesley, MA: A.K. Peters, Ltd., 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
Branko Grünbaum . The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History / Richard K. Guy, Robert E. Woodrow. - The Mathematical Association of America, 1994. - (MAA Spectrum). — ISBN 0-88385-516-X .
Elmslie William Dallas. Elementerne i planens praktiske geometri osv. - John W. Parker & Søn, 1855.

Oktagon

Links

Weisstein, Eric W. Octadecagon (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .

Polygoner

Efter antal sider

Monogon
Bigon
Trekant
Firkantet
Pentagon
Sekskant
Heptagon
Oktagon
femkant
Decagon
Hendecagon
Dodecagon
Tretten
tetradekagon
Pentagon
Sekskant
Sytten
ottekant
Nittenagon
Dodecagon
Enogtyve-sidet
22-vinkel
Twentytrigon
Tyve-firkantet
tyve femkant
Oktagon tyve
Tridecagon
Thirty-Biagon
Fyrre kvadratisk
Forty bicagon
pinseven
pinseven
Hexagon
Sixty-quad
Heptagon
Octagon
Nonagon
[ da
Millagon
Ten-thousand-gon
Hundrede tusindedel
Milliogon
uendelighed

Korrekt

konveks	Trekant Firkant Pentagon Sekskant Heptagon Oktagon femkant tetradekagon Sytten 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
stjerneklar	Pentagram Hexagram Heptagram Octagram ( Star of Lakshmi ) Enneagram Dekagram Endecagram Dodekagram

trekanter

Firkanter

se også

Schläfli symbol
Polygoner	{en} {2} {3} {fire} {5} {6} {7} {otte} {9} {ti} {elleve} {12} {fjorten} {femten} {17} {atten} {tyve} {tredive} {51} {257} {65537} {4294967295} {∞}
stjerne polygoner	{5/2} {6/2} {7/2} {7/3} {8/2} {8/3} {9/2} {9/3} {9/4}
Flade parketgulve _	{3,6} {4,4} {6,3}
Almindelige polyedere og kugleformede parketgulve	{2, n } {3,3} {4,3} {3,4} {5,3} {3,5} { n ,2}
Kepler-Poinsot polyedre	{5/2.5} {5,5/2} {5/2,3} {3,5/2}
honningkager	{4,3,4}
Firedimensionelle polyedre	{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}