Afledt (matematik)

Den afledte er et grundlæggende matematisk begreb, der bruges i forskellige variationer (generaliseringer) i mange grene af matematikken. Det er den grundlæggende konstruktion af differentialregning , der tillader mange varianter af generaliseringer, der bruges i kalkulation , differentialtopologi og geometri og algebra .

Fælles for forskellige variationer og generaliseringer er, at kortlægningens afledte karakteriserer graden af ændring i billedet af kortlægningen med en (uendelig) lille ændring i argumentationen. Afhængigt af de matematiske strukturer, der overvejes, er indholdet af dette koncept specificeret.

Omkring 20 generaliseringer af begrebet afledt er kun kendt for tilfældet med topologiske lineære rum. [en]

Afledt af en funktion af en variabel

Grundlæggende definition

Den afledede af en funktion i et punkt er defineret som grænsen for forholdet mellem funktionens stigning og stigningen af argumentet, da stigningen af argumentet har en tendens til nul: $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ $x_{0}$

f'(x_{0})=\lim _({\Delta x\højrepil 0)){\frac {\Delta f}{\Delta x))

, hvor .

\Delta x=x-x_{0},\ \Delta f=f(x)-f(x_{0})

Grafisk er dette hældningen af tangenten i et punkt til kurven, der repræsenterer funktionen . $x_{0}$ $f(x)$

For tilstrækkeligt små ændringer i argumentationen gælder ligheden . I det generelle tilfælde er det denne definitionsform, der tages som grundlag for at generalisere begrebet derivat. $dx$ $df=f'(x_{0})dx$

Ensidige afledte

Ensidige derivater er også defineret, hvor ensidig ( venstrehåndet og højrehåndet ) grænse bruges i stedet for den tilsvarende grænse. Den højre afledte eller afledte til højre er angivet med symbolerne . Den venstre afledte eller afledede til venstre er angivet med symbolerne . En almindelig afledt eksisterer, hvis og kun hvis der er ens ensidige afledte (deres størrelse er lig med afledt). $f^{+}(x_{0}),\ f'_{+}(x_{0}),\ {\mathrm {D}}^{+}\!f(x_{0})$ $f^{-}(x_{0}),\ f'_{-}(x_{0}),\ \mathrm {D} ^{-}\!f(x_{0})$

Afledte af højere orden

Da den afledede af en funktion af en variabel også er en bestemt funktion af en variabel, kan vi betragte den afledede af den afledte - den anden afledede og generelt afledten af en hvilken som helst orden (et naturligt tal). $n$

Afledte funktioner af flere variabler

Partielle afledte

I tilfælde af funktioner af flere variable: først og fremmest bestemmes de såkaldte partielle afledte - afledte med hensyn til en af variablerne, forudsat at værdierne af de andre variable er faste: $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$

${\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial x^{i}}}=\lim _{x^{i}\højrepil x_{0}^{i}}{ \frac {f(x^{1},...,x^{i},...,x^{n})-f(x_{0}^{1},...,x_{0 }^{i},...,x_{0}^{n})}{x^{i}-x_{0}^{i}}}$

Gradient

Den faktiske afledte (under hensyntagen til ændringer i vektoren af variabler som helhed, det vil sige alle variabler) i tilfælde af funktioner af flere variabler er den såkaldte gradient af funktionen - en vektor, hvis komponenter er partielle afledte:

$f'(\mathbf {x} )=\mathbf {grad} f(\mathbf {x} )=\nabla f={\frac {df(\mathbf {x} )}{d\mathbf {x } } }}=\venstre({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}},...,{\ frac {\partial f}{\partial x_{n))}\right)$

I analogi med tilfældet med én variabel gælder følgende lighed for små ændringer i vektoren af variable : $d\mathbf {x} =(dx_{1},dx_{2},...,dx_{n})$ $\mathbf {x}$

$df({\mathbf {x}})=f'({\mathbf {x_{0}}})d{\mathbf {x}}=\sum _{{i=1}}^{n}{\ frac {\partial f}{\partial x^{i))}dx^{i}$

Retningsbestemt afledt

I tilfælde af funktioner af flere variable kan man definere en retningsbestemt afledt , det vil sige at antage, at variablerne ændrer sig i en given retning. Den afledede af en funktion med hensyn til vektorretningen er defineret som følger: $f$ $\mathbf {e}$

$f'_{{\mathbf {e}}}({\mathbf {x}}_{0})=\lim _{{t\rightarrow 0}}{\frac {f({\mathbf {x}} _{0}+t{\mathbf {e}})-f({\mathbf {x}}_{0})}{t}}$

Hvis retningen falder sammen med retningen af en eller anden koordinatakse, så er den afledede langs denne retning i virkeligheden den tilsvarende partielle afledte. Det kan vises, at den retningsbestemte afledte er lig med punktproduktet af gradientvektoren og den normaliserede retningsvektor (det vil sige en retningsvektor af længdeenhed, som kan opnås fra enhver retningsvektor ved at dividere med dens længde): $\mathbf {e}$ $\mathbf {e}$

$f'_{{\mathbf {e}}}({\mathbf {x}}_{0})=(f'({\mathbf {x}}_{0}),{\mathbf {e}} )$

Afledte af højere orden

I analogi med tilfældet med funktioner af en variabel, kan man betragte partielle afledte af en vilkårlig rækkefølge. Desuden kan du i dette tilfælde bruge både den samme variabel flere gange og flere variabler på samme tid:

${\frac {\partial ^{k}f}{\partial x_{1}^{{k_{1}}}\partial x_{2}^{{k_{2}}},...,\partial x_{n}^{{k_{n}}}}}$ , hvor $\sum k_{i}=k$

Analogen af den anden afledede i tilfælde af en funktion af flere variable er matrixen af anden partielle afledte - den hessiske matrix , som er den afledede af en vektor-værdisat funktion (se nedenfor) - gradienten af en skalarfunktion. Elementerne i denne matrix er de anden afledede . ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{i}\partial x^{j))}$

Samlet afledt

I mange tilfælde bliver det nødvendigt at evaluere en funktions afhængighed af en ændring i en given variabel i en situation, hvor andre variabler ændrer sig på en bestemt måde afhængigt af , dvs. en ændring i denne variabel påvirker værdien af funktionen både direkte (som udtrykkes ved en partiel afledt) og indirekte gennem en ændring i andre variable . Den samlede indflydelse er udtrykt i den samlede afledte : $f$ $x^{j}$ $x^{j}$ $f$

${\frac {df}{dx^{j}}}=\sum _{{i=1}}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial x^{i}}{\partial x^{j}}}$

I det generelle tilfælde kan man overveje banen for uafhængige variable i den parametriske form , hvor er en eller anden parameter (i fysik er dette oftest tid). Så kan vi overveje den samlede afledte med hensyn til denne parameter: $x^{i}(t)$ $t$

${\frac {df}{dt}}=\sum _{{i=1}}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}{\frac {dx^{ i}}{dt}}$

I dette tilfælde kan en af variablerne fungere som en parameter . $t$ $x^i$

Lagrange-derivatet tager højde for ændringer som følge af tidsafhængighed og bevægelse gennem rummet langs et vektorfelt.

Et sæt funktioner af flere variabler

Et sæt af funktioner af flere variable kan fortolkes som en vektor-værdisat funktion: . Afledten af en sådan funktion er den såkaldte Jacobi-matrix , hvis rækker er gradienterne af de funktioner , der udgør mængden , det vil sige, at elementet i den -th række og -th kolonne er lig med den partielle afledede af funktionen med hensyn til variablen : $\mathbf {F}$ $f_{i}$ ${\displaystyle \mathbf {F} :\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m))$ $J$ $f_{i}$ $\mathbf {F}$ $jeg$ $j$ $f_{i}$ $x^{j}$

$J_F=\mathbf{F}'(\mathbf{x}_0)=\venstre[\frac {\partial f_i}{\partial x^j}\right]$

I analogi med skalære funktioner, for små ændringer i vektoren af argumenter , er ligheden sand: $d{\mathbf {x}}$

$d{\mathbf {F}}={\mathbf {F}}'({\mathbf {x}}_{0})d{\mathbf {x}}$

Et særligt tilfælde af den afledte af en vektor-vurderet funktion er den afledte af gradienten af en eller anden skalarfunktion , da gradienten faktisk er en vektor af flere partielle afledte funktioner. Denne afledte, som nævnt ovenfor, er i det væsentlige den anden afledede af en skalarfunktion og er en matrix af partielle afledte af anden orden af denne funktion - den hessiske matrix ( ) eller den hessiske (hessiske kaldes sædvanligvis determinanten af den hessiske matrix). $f$ $H_{f}$

Afledninger af kortlægninger af vilkårlige lineære rum

Foreløbig generalisering

En skalarfunktion af flere variable blev formelt betragtet ovenfor som en funktion af en vektor, hvis komponenter er uafhængige variable. I det generelle tilfælde bør man overveje skalære (numeriske) funktioner på vilkårlige vektorrum af en eller anden dimension. Så kan en sådan kortlægning i hvert fast grundlag betragtes som en funktion af flere variable. Således kan alle de ovennævnte begreber fortolkes som koordinerede definitioner af derivater for en fast basis af et vilkårligt rum (udrustet med en topologisk struktur, der er tilstrækkelig til disse formål). $f:X\højrepil R$ $x$

Tilsvarende blev værdierne af et sæt funktioner også formelt betragtet som komponenter i en vektor, og dette sæt funktioner blev behandlet (formelt) som en kortlægning fra en vektor til en anden. I det generelle tilfælde bør man overveje en kortlægning mellem vilkårlige vektorrum og af forskellige dimensioner og natur (udrustet med den nødvendige topologiske struktur). Hvis vi fikserer baser i begge rum, så er denne kortlægning analog med sættet af funktioner af flere variabler betragtet ovenfor. Således fortolkes alle de tilsvarende definitioner i det generelle tilfælde som koordinatdefinitionen af afledte under faste baser af de tilsvarende rum. $F:X\højrepil Y$ $x$ $Y$

Denne fortolkning betyder samtidig, at på trods af at den koordinerede repræsentation af derivater afhænger af grundlaget (de ændres, når de går fra et grundlag til et andet), bør begreberne af derivater i sig selv ikke afhænge af valget af baser. Derfor kræves der generelt mere generelle definitioner af derivater, som ikke er direkte relateret til valget af grundlag og deres koordinerede repræsentation. Desuden er disse definitioner generaliseret til tilfældet med rum med uendelig dimension, som f.eks. bruges i funktionsanalyse og variationsregning.

Gateau-afledt

Den ret generelle forestilling om en afledt betragtes i funktionel analyse , hvor begrebet en retningsbestemt afledt generaliseres til vilkårlige lokalt konvekse topologiske vektorrum . Den tilsvarende afledte kaldes normalt Gateaux-derivatet eller den svage afledte. Definitionen af den afledede Gateaux er i det væsentlige den samme som den retningsbestemte afledte for tilfældet med en funktion af flere variable:

$f'_{{e}}({x}_{0})=\lim _{{t\rightarrow 0}}{\frac {f({x}_{0}+t{e})-f ({x}_{0})}{t}}$

Fréchet afledt

I tilfælde af Banach-mellemrum defineres Fréchet-afledningen eller den stærke afledte . Fréchet-afledningen af en mapping er sådan en lineær operator, for hvilken følgende lighed gælder: $F:X\højrepil Y$ $F'$

$\lim _{{||h||_{X}\højrepil 0}}{\frac {||F(x+h)-F(x)-F'(x)h||_{Y}} {||h||_{X}}}=0$ ,

Det betyder, at for tilstrækkeligt små (ifølge rummets norm ) ændringer i argumentet, konvergerer ændringen (ifølge normen for rummet Y) til , hvilket formelt kan skrives som en lighed: $x$ $dx$ $x$ $dF$ $F'(x)dx$

d F ( x ) = F " ( x ) d x {\displaystyle dF(x)=F'(x)dx} $dF(x)=F'(x)dx$

Hvis denne afledte eksisterer, så falder den sammen med Gateaux-derivatet. For finit-dimensionelle rum i koordinatrepræsentationen er den jakobiske matrix, og hvis , så er gradienten af skalarfunktionen. $F'(x)$ $Y=R$

Variationsafledt

I variationskalkylen , hvor integralfunktionaler betragtes på det funktionsrum, hvori skalarproduktet introduceres (i form af et integral af et funktionspar), er begrebet variationsafledt , også kaldet funktionel afledt , introduceret . Den variationelle afledte af en funktional er en funktion (generelt set en generaliseret funktion ), for hvilken, med en lille variation af funktionen , følgende lighed gælder: $F(f)$ $\delta F/\delta f$ $\delta f$ $f$

δ F = F ( f + δ f ) − F ( f ) = ( δ F / δ f , δ f ) = ∫ δ F ( f ( x ) ) δ f δ f ( x ) d x {\displaystyle \delta F=F(f+\delta f)-F(f)=(\delta F/\delta f,\delta f)=\int {\frac {\delta F(f(x))} {\delta f}}\delta f(x)dx} $\delta F=F(f+\delta f)-F(f)=(\delta F/\delta f,\delta f)=\int {\frac {\delta F(f(x))} {\delta f}}\delta f(x)dx$

Det kan påvises, at variationsderivatet i det væsentlige er Fréchet-derivatet.

Afledt med hensyn til mål

I målteori generaliserer Radon-Nikodim-derivatet det Jacobian , der bruges til at variere variabler, til mål. Det udtrykker en foranstaltning i form af en anden foranstaltning (under visse betingelser). $\mu$ $\nu$

Den afledte tillader også generaliseringer til distributionsrummet ved at bruge integration af dele i det passende velarrangerede underrum.

Differentielle operatorer i finit-dimensionelle rum

1. Divergens (divergens) af vektorværdisatte funktioner ( vektorfelter ) på et endeligt-dimensionelt rum , giver et mål for, hvor stærk "kilden" eller "sink" er på dette tidspunkt. Det kan bruges til at beregne flow ved hjælp af divergenssætningen . I koordinatrepræsentation (i kartesiske koordinater) er divergensen $F:X\højrepil X$ $x$

$\operatørnavn {div}{\mathbf {F}}=\sum _{{i=1}}^{n}{\frac {\partial F_{{x^{i}}}}{\partial x^{ jeg}}}$

2. Rotoren af vektorfelter i tredimensionelt rum måler "rotationen" af vektorfeltet på dette punkt. I koordinatrepræsentation (i kartesiske koordinater) er: $\mathbb {R} ^{3}$ $\operatorname {rot} \mathbf {F} =\operatørnavn {rot} \;(F_{x}\mathbf {e} _{x}+F_{y}\,\mathbf {e} _{y }+F_{z}\mathbf {e} _{z})=\venstre({\frac {\partial F_{z)){\partial y))-{\frac {\partial F_{y)){ \partial z}}\right)\mathbf {e} _{x}+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}} {\partial x}}\right)\mathbf {e} _{y}+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x} }{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{z}.$

( F er et vektorfelt med kartesiske komponenter og er orts af kartesiske koordinater) $(F_{x},F_{y},F_{z})$ $\mathbf e_x, \mathbf e_y, \mathbf e_z$

3. Laplacian er divergensen (divergensen) af gradienten af en skalarfunktion (skalarfeltet) på et finitdimensionelt rum. Ofte betegnet som eller som . I koordinatrepræsentation (i kartesiske koordinater) er: $\Delta$ $\nabla ^{2}$

$\operatørnavn {div}\operatørnavn {grad}f=\Delta f=\nabla ^{2}f=\sum _{{i=1}}^{n}{\frac {\partial ^{2}f} {\partial x_{i}^{2))}$

4. D'Alembertian - defineret på samme måde som Laplacian, men ved hjælp af Minkowski-rummetrikken i stedet for den euklidiske rummetrik . Betragtet i fysik for firedimensionel rumtid. I koordinatrepræsentation (i kartesiske koordinater) er:

\square f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2))}+ {\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{ \partial t^{2}}}.

Derivater i differentiel topologi, geometri og tensoranalyse

Tangent vektor og tangent mapping

I differentiel topologi , for glatte skalarfunktioner på en glat manifold (i det følgende - kun en manifold og kun en funktion), introduceres konceptet med en tangentvektor i et punkt . Disse funktioner danner en algebra under punktvise operationer af addition og multiplikation og multiplikation med et tal. En tangentvektor er defineret som en lineær funktionel på algebraen af sådanne funktioner, der opfylder Leibniz-reglen . For manifolder, der er delmængder af , vil denne tangentvektor være analog med den rettede afledte ved det ovenfor definerede punkt. $f:M\rightarrow R$ $M$ $p\in M$ $\mathbb {R} ^{n}$

En lineær operator på algebraen af funktioner, der opfylder Leibniz-reglen, er faktisk en afledning på algebraen af disse funktioner og bestemmer faktisk den afledede af skalarfunktioner. Sådanne lineære operatorer på algebraen af skalarfunktioner danner et vektorfelt på manifolden. Dette vektorfelt kan også defineres som en mapping, der tildeler hvert punkt i manifolden en tangentvektor til det punkt.

Mængden af alle tangentvektorer til et givet punkt i manifolden danner et tangentrum til et givet punkt . $T_{p}M$

For jævne afbildninger af manifolder af vilkårlige dimensioner er en differential i et punkt en lineær operator , som for enhver tangentvektor består i at differentiere en funktion for en vilkårlig numerisk funktion f på en manifold N . $F\colon M\to N$ $p\in M$ $d_{p}F:T_{p}M\rightarrow T_{F(p)}N$ $X\in T_{p}M$ $g(p)=f(F(p))$

I koordinatrepræsentation er differentialet en jakobiansk matrix . Baser i tangentrum er defineret som partielle afledninger af numeriske funktioner af koordinatrepræsentationen af punktet p. $\left\{{\frac {\partial F_{i}}{\partial x_{j}}}\right\}$

Foreningen af alle tangentrum (betragtet som usammenhængende mængder) for alle punkter i manifolden kaldes manifoldens tangentbundt (det har dimension 2n, da et tangentbundt i det væsentlige er et sæt af par - et punkt og en tangentvektor til det). Mere præcist er et tangentbundt en afbildning af rummet TM til en manifold M. En tangentmapping ( eng. pushforward ) er en generalisering af det jakobiske koncept og virker på tangentbundterne af manifolder :. Tangentvisningsargumenterne er et punkt og en vektor . For et fast punkt er afbildningen ovenstående differentiale ved et punkt - en lineær afbildning fra tangentrum til tangentrum . $TM$ $dF\colon \,TM\to TN$ $p\in M$ $\xi \inTM$ $p\in M$ $dF(x,\cdot )\colon \,T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N$ $T_{p}$ $T_{F(p)}N$

Et vektorfelt på en manifold er en afbildning af manifolden M på TM, det vil sige en, der tildeler hvert punkt i manifolden en tangentvektor til dette punkt. Vektorfeltet kan betragtes som et udsnit af et tangentbundt - en afbildning af M ind i TM. Vektorfelter kan også betragtes som en afledning af en algebra af funktioner, der kortlægger hver funktion af algebraen til en anden funktion af den samme algebra. Dette er en lineær kortlægning, der opfylder Leibniz-reglen.

For Riemannmanifolds er gradienten af en skalarfunktion f defineret som en tangentrumsvektor , således at for enhver tangentvektor X er funktionens differentiale lig med skalarproduktet . I koordinatrepræsentationen er dette foldningen af rummetrikken med de partielle afledte af funktionen: $\nabla f$ $T_{x}M$ $(d_{x}f)X=Xf=(\nabla f,X)$ $\nabla f=g^{ij}\partial _{i}f$

Løgn afledt

Lie-derivatet er ændringshastigheden af et tensorfelt (især et skalar- eller vektorfelt) i retning af et givet vektorfelt. I tilfælde af et skalarfelt falder Lie-afledningen sammen med den retningsbestemte afledte . For vektorfelter er Lie-afledten lig med den såkaldte Lie-parentes . Dette er et eksempel på anvendelsen af Lie-parentesen (vektorfelter danner en Lie-algebra på diffeomorfigruppen i en manifold). Dette er 0. ordens afledte i algebra.

Eksterne og interne afledte

På den ydre algebra af differentialformer over en glat manifold er den ydre afledede en unik lineær afbildning, der opfylder ordinalversionen af Leibniz' lov og er nul, når den kvadreres. Dette er 1. ordens afledte på den ydre algebra.

Den interne afledte er "-1" afledet af rækkefølgen på den eksterne algebra af former. Sammen danner den ydre afledte, Lie-afledte og den indre afledte en Lie-superalgebra .

Kovariant afledt

I differentialgeometri (og den resulterende tensoranalyse ) tages der ved hjælp af en kovariant afledt derivater i retning af vektorfelter langs kurver eller generelt i et krumlinjet koordinatsystem. Dette udvider den retningsbestemte afledede af skalarfunktioner til sektioner af vektorbundter eller principalbundter . I Riemannsk geometri giver eksistensen af en metrik mulighed for at foretage et kanonisk valg af en torsionsfri kovariant afledt kendt som Levi-Civita-forbindelsen .

For skalarfunktioner er den kovariante afledte den samme som den afledede med hensyn til retningen af vektorfeltet. Den kovariante afledte af et vektorfelt med hensyn til et vektorfelt kan formelt defineres som en afbildning, der er F-lineær i (dvs. i sum og multiplikation med en skalarfunktion), additivitet i og standard Leibniz-reglen for produktet af et skalarfelt og et vektorfelt . I det generelle tilfælde af tensorfelter er Leibniz-reglen påkrævet for deres tensorprodukt. $f$ $D_{v}f$ $v$ $u$ $v$ $v$ $u$ $f$ $u$

I tilfælde af et vektorfelt kan den kovariante afledede i koordinatrepræsentation skrives som:

D_{j}u^{i}=\partial _{j}u^{i}+\Gamma _{{kj}}^{i}u^{k}

hvor er den almindelige partielle afledning i forhold til koordinaten , og er Christoffel-symbolerne . $\partial _{j}u^{i}$ $x^{j}$ $\Gamma _{{kj}}^{i}$

I tilfælde af kartesiske koordinater er Christoffel-symbolerne nul, så den kovariante afledte er lig med den almindelige afledte.

Den ydre kovariante afledte udvider den ydre afledte til vektorværdierede former.

Afledt i andre grene af matematikken

Derivater i kompleks analyse

I kompleks analyse (analyse af funktioner af komplekse variable) er de centrale undersøgelsesobjekter holomorfe funktioner , som er komplekst værdifulde funktioner på planet af komplekse tal og opfylder den tilsvarende udvidede definition af differentiabilitet.

Schwartz-afledningen beskriver, hvordan en kompleks funktion approksimeres ved en lineær-brøkdel afbildning , på samme måde som, hvordan den almindelige afledte beskriver, hvordan en funktion tilnærmes ved en lineær afbildning.

Afledte i algebra og algebraisk geometri

En afledning i generel algebra er en lineær afbildning på en ring eller algebra , der opfylder Leibniz' lov ( produktreglen ). De studeres i en ren algebraisk indstilling i Galois differentialteori , men dukker også op på mange andre områder, hvor de ofte bruges med mindre strenge algebraiske definitioner af derivater.

I algebraisk Kahler-geometri tillader differentialet, at definitionen af den ydre afledte udvides til vilkårlige algebraiske varianter i stedet for blot glatte varianter .

Andre generaliseringer

Det er ganske muligt at kombinere to eller flere forskellige begreber om forlængelse eller abstraktion af en simpel afledt. For eksempel studerer Finsler-geometri rum, der lokalt ligner Banach-rum . På denne måde er det muligt at skabe en afledt med nogle træk af den funktionelle afledte og den kovariante afledte .

Inden for kvantegrupper er -derivatet -deformationen af den sædvanlige afledte af en funktion. $q$

Brøkafledte

Ud over de th afledte af ethvert naturligt tal , ved hjælp af forskellige metoder, er det muligt at indføre afledte i brøkpotenser, og dermed opnå de såkaldte brøkafledede . Derivater af negative ordrer vil svare til integration, hvilket er derfra udtrykket differintegral kommer . Studiet af forskellige mulige definitioner og notation af derivater af ikke-naturlige ordener er kendt som brøkregning . $n$ $n$

Kræver definition

Dini derivat
Matrixregning
Pinkerle derivat
Parametrisk afledt
Semi-differentierbarhed

Se også

Noter

↑ Frölicher, 1970 , s. 131.

Litteratur

Frölicher, A., Bucher W. Differentialregning i vektorrum uden norm. — M .: Mir, 1970.

Differentialregning

Hoved

private udsigter

Differentialoperatorer
( i forskellige koordinater )

Første ordre	Nabla operatør Gradient Divergens Rotor Helmholtzian
anden orden	Elliptisk operatør Laplace operatør Laplace vektor operatør D'Alembert operatør Laplace-Beltrami operatør
højere ordrer	Hypoelliptisk operatør

relaterede emner