Fraktionel integro-afledning

Fraktionel integro-afledning
Hovedtema	Fraktalregning [d]
Formel, der beskriver en lov eller sætning	$\mathbb {D} ^{q}f$

Fraktionel integro-differentiering i matematisk analyse er en kombineret differentierings- / integrationsoperator , hvis rækkefølge kan være et vilkårligt reelt eller komplekst tal. Anvendes i brøkregning . Operatoren selv tjener til at angive operationen med at tage en afledt/integral af en brøkorden .

Operatøren betegnes normalt som følger: $\mathbb {D} _{t}^{q}.$

Definitioner

De tre mest brugte formler er:

Den enkleste og mest brugte formulering. Denne formel er en generalisering til en vilkårlig rækkefølge af Cauchy itererede integrationsformel .

${}_{a}\mathbb {D} _{t}^{q}\,f(t)$	$={\frac {d^{q}\,f(t)}{d(ta)^{q))}=$
	$={\frac {1}{\Gamma (nq)}}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\int \limits _{a}^{t}(t -\tau )^{nq-1}f(\tau )\,d\tau ,$

hvor .

n=\lceil q\rceil

${}_{a}\mathbb {D} _{t}^{q}\,f(t)$	$={\frac {d^{q}\,f(t)}{d(ta)^{q))}=$
	$=\lim _{N\to \infty }\left[{\frac {ta}{N}}\right]^{-q}\sum _{j=0}^{N-1}( -1)^{j}{q \choose j}f\left(tj\left[{\frac {ta}{N}}\right]\right).$

Formelt ligner det Riemann-Liouville-integro-afledningen, men strækker sig til periodiske funktioner med nul-integral over perioden.

F(\omega )={\mathcal {F}}\{f(t)\}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt.

I Fourier-rummet svarer differentiering til produktet:

{\mathcal {F}}\left[\mathbb {D} f(t)\right]={\mathcal {F}}\left[{\frac {df(t)}{dt}}\ højre]=i\omega {\mathcal {F}}[f(t)].

Derfor,

\mathbb {D} f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{(i\omega ){\mathcal {F}}[f(t)]\right\ },

som bunder i

\mathbb {D} ^{q}\,f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{(i\omega )^{q}{\mathcal {F} [f(t)]\right\}.

Under Laplace-transformationen , betegnet her , er differentiering erstattet af multiplikation $\mathcal{L}$

{\mathcal {L}}\left[{\frac {df(t)}{dt}}\right]=s{\mathcal {L}}[f(t)].

Generalisering for en vilkårlig rækkefølge af differentiering og løsning af ligningen for , får vi $\mathbb {D} ^{q}f(t)$

\mathbb {D} ^{q}\,f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{s^{q}{\mathcal {L}}[f( t)]\right\}.

\mathbb {D} _{t}^{q}\,(f(t)+g(t))=\mathbb {D} _{t}^{q}\,f(t)+ \mathbb {D} _{t}^{q}\,g(t);

\mathbb {D} _{t}^{q}\,(af(t))=a\,\mathbb {D} _{t}^{q}\,f(t).

\mathbb {D} _{t}^{0}\,t=t.

\mathbb {D} _{t}^{q}\;(f(t)g(t))=\sum _{j=0}^{\infty }{q \choose j}\mathbb {D} _{t}^{j}\,f(t)\,\mathbb {D} _{t}^{qj}g(t).

\mathbb {D} _{t}^{a}\mathbb {D} _{t}^{b}\,f(t)=\mathbb {D} _{t}^{a+b }f(t).

generelt ikke tilfreds [1] .

↑ se egenskab 2.4 (s. 75) i Kilbas AA, Srivastava HM, Trujillo JJ Theory and Applications of Fractional Differential Equations. - Elsevier, 2006.

Samko SG , Kilbas AA , Marichev OI Fraktionelle integraler og derivater og nogle af deres anvendelser . - Mn. : Videnskab og teknologi, 1987. - 688 s.
Pskhu AV- ligninger i partielle afledte af fraktioneret orden. - M. : Nauka, 2005. - 199 s.
Nakhushev A. M. Brøkregning og dens anvendelse. - M. : FIZMATLIT, 2003. - 272 s. — ISBN 5-9221-0440-3 .
Uchaikin VV Metode til fraktionelle derivater. - Ulyanovsk: Artishok, 2008. - 512 s. - 400 eksemplarer. - ISBN 978-5-904198-01-5 .

Tarasov VE Modeller af teoretisk fysik med fraktioneret integro-differentiering. - M. , Izhevsk: RHD, 2011. - 568 s.
Kilbas AA, Srivastava HM, Trujillo JJ Teori og anvendelser af fraktionelle differentialligninger. — Amsterdam: Elsevier, 2006.
Samko SG, Kilbas AA, Marichev OI Fractional Integrals and Derivatives Theory and Applications. — New York: Gordon and Breach, 1993.
Miller K., Ross B. En introduktion til brøkregning og brøkdifferentialligninger. — New York: Wiley, 1993.
Mainardi F. Brøkregning og bølger i lineær viskoelasticitet: en introduktion til matematiske modeller. - Imperial College Press, 2010. - 368 s.
Podlubny I. Fraktionelle differentialligninger. - San Diego: Academic Press, 1999.
Ross B. En kort historie og redegørelse for den grundlæggende teori om brøkregning // Lect. Noter Math. - 1975. - Bd. 457. - S. 1-36.
Tarasov VE Brøkdynamik: Anvendelser af brøkregning til partiklers, felters og mediers dynamik . - Springer, 2010. - 450 s.
Uchaikin VV fraktionelle derivater for fysikere og ingeniører . - Springer, Higher Education Press, 2012. - 385 s.