Løgn algebra

Lie-algebra er et objekt af generel algebra , som er et vektorrum med en antikommutativ bilineær operation defineret på den (kaldet Lie-parentes eller kommutator), der opfylder Jacobi-identiteten . Generelt er en Lie-algebra en ikke -associativ algebra. Den er opkaldt efter den norske matematiker Sophus Lie ( 1842-1899 ).

Lie-algebraen optræder naturligt i undersøgelsen af Lie-gruppernes infinitesimale egenskaber . I fysik optræder Lie-grupper som symmetrigrupper af fysiske systemer, og deres Lie-algebraer (tangentielle vektorer tæt på enhed) kan betragtes som bevægelser af infinitesimal symmetri. Løgngrupper og algebraer er meget udbredt i kvantefysik.

Definition

En Lie-algebra (ellers en Lie-algebra) er et vektorrum over et felt udstyret med en bilineær kortlægning $\mathfrak{L}$ $K$

{\mathfrak {L}}^{2}\to {\mathfrak {L}},\ \ (x,y)\mapsto [x,y],

opfylder følgende to aksiomer :

$[x,x]=0$ ;
$[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0$ ( Jacobi identitet ).

Med andre ord får Lie-algebraen en antikommutativ operation, der tilfredsstiller Jacobi-identiteten . Denne operation kaldes kommutator eller Lie-parentes .

Noter

Identiteten indebærer operatørens antikommutativitet, . Faktisk følger identiteten af operatørens bilinearitet . $[x,x]=0$ $[x,y]=-[y,x]$ $[x,y]+[y,x]=[x+y,x+y]-[x,x]-[y,y]$
Hvis feltets karakteristika er , så er det omvendte også sandt: Identiteten følger af antikommutativitet . ${\mathrm {char}}(K)\neq 2$ $[x,y]+[y,x]=0$ $[x,x]=0$
Begreberne subalgebra , ideal , kvotientalgebra og homomorfi er defineret på sædvanlig vis.
Nogle gange i definitionen af en Lie-algebra erstattes et vektorrum af et modul (over en kommutativ ring med en enhed).

Eksempler

3-dimensionelt vektorrum

Det sædvanlige tredimensionelle vektorrum er en Lie-algebra med hensyn til tværproduktoperationen .

Lineære Lie algebraer

Udtrykket matrix Lie algebraer bruges også .

Hvis er et endeligt dimensionelt vektorrum over ( ), så er mængden af dets lineære transformationer også et vektorrum over . Det har dimension og kan repræsenteres som et rum af matricer . I dette vektorrum gives en naturlig multiplikationsoperation (sammensætning af transformationer). Lad os definere driften af Lie-parentesen med formlen . Mellemrummet med Lie-parentesen indført på denne måde opfylder alle aksiomer i Lie-algebraen. $V$ $K$ ${\mathrm {dim}}\;V=n$ ${\mathrm {End}}\;V$ $K$ ${\mathrm {dim}}({\mathrm {End}}\;V)=n^{2}$ $n\ gange n$ $[x,y]=xy-yx$ ${\mathrm {End}}\;V$

For at skelne den resulterende Lie-algebra fra den oprindelige associative algebra af lineære transformationer, er den betegnet . Denne Lie-algebra kaldes den komplette lineære Lie-algebra . I tilfælde af et uendeligt dimensionelt rum V, bruges notationen også . Enhver subalgebra i kaldes en lineær Lie-algebra ${\mathfrak {gl}}\;(V)$ ${\mathfrak {gl}}\;(V)$ ${\mathfrak {gl}}\;(V)$

Associative algebraer og Lie algebraer

Lade være en vilkårlig associativ algebra over med multiplikation: → . Det har den naturlige struktur som en Lie-algebra over , hvis vi definerer Lie-parentesen gennem associativ multiplikation med formlen: , dette udtryk kaldes kommutator . ${\mathfrak {A}}$ $K$ $(x,y)$ $xy$ $K$ $[x,y]=xy-yx$

Den omvendte operation, ifølge Lie-algebraen, er en associativ algebra konstrueret, kaldet den universelle omsluttende algebra . Den originale Lie-algebra er indlejret i den konstruerede associative algebra.

Løgnalgebra af vektorfelter

Hvis M er en glat manifold , danner rummet af alle differentiable vektorfelter defineret på den en uendelig-dimensionel Lie-algebra. Operationen, der transformerer vektorfelter til en Lie-algebra, kan beskrives på flere ækvivalente måder.

Brug af Lie-afledt af Y -feltet i retning af X -feltet :

[X,Y]\equiv L_{X}Y

Hvis der er givet et lokalt koordinatsystem på manifolden , så er kommutatoren af vektorfelter i koordinatrepræsentationen lig med $(t_{1},...,t_{n})$

[X,Y]^{i}=X^{j}\partial _{j}Y^{i}-Y^{j}\partial _{j}X^{i},

hvor som sædvanlig summering over et gentaget indeks j er underforstået og

\partial _{j}Y^{i}(t_{1},...,t_{n})={\frac {\partial }{\partial t_{{j))))Y^{i} (t_{1},...,t_{n})

\partial _{j}X^{i}(t_{1},...,t_{n})={\frac {\partial }{\partial t_{{j))))X^{i} (t_{1},...,t_{n})

— partielle afledninger af funktioner langs retninger t j .

Y^{i}(t_{1},...,t_{n}),X^{i}(t_{1},...,t_{n})

Ved at vælge en vilkårlig Riemann-metrik på manifolden kan man vise det

[X,Y]=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X

, hvor er vektorfelter og er den kovariante afledte med hensyn til retningen af vektorfeltet X. Ækvivalens med definitionerne ovenfor viser, at resultatet faktisk er uafhængigt af valget af metrik.

X,Y

\nabla _{X}

Vektorfelter en-til-en svarer til afledninger af algebraen af funktioner på en manifold, kommutatoren af afledninger er igen en afledning (se næste afsnit) og definerer derfor et vektorfelt.

Jacobi-identiteten for vektorfeltalgebraen kan omskrives som Leibniz-reglen for Lie-derivatet:

[X,[Y,Z]]=[[X,Y],Z]+[Y,[X,Z]]\Longleftrightpil L_{X}[Y,Z]=[L_{X}Y,Z] +[Y,L_{X}Z]

Bemærkning: Diffeomorfigruppen i en manifold bør uformelt betragtes som en "Lie-gruppe" for Lie-algebraen af vektorfelter på en manifold. Selvom overensstemmelsen mellem grupper og Lie-algebraer i det uendelig-dimensionelle tilfælde ikke er formel, kan mange egenskaber ikke desto mindre let generaliseres (selvom nogle holder op med at være sande).

Sættet af alle afledninger af K-algebraer og Lie-algebraer

En afledning i algebra er en lineær kortlægning, der opfylder Leibniz-reglen for at udlede et produkt. Mængden af alle afledningerer et vektorunderrum i. Kommutatoren af to afledninger er igen en afledning, det samme er en subalgebra i. ${\mathfrak {A}}$ $\delta :{\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {A}}$ $\delta (ab)=a\delta (b)+\delta (a)b$ $\operatørnavn {Der}\;{\mathfrak {A}}$ $\operatørnavn {End}\;{\mathfrak {A}}$ $\operatørnavn {Der}\;{\mathfrak {A}}$ ${\mathfrak {gl(A)))$

Sammen med afledninger af vilkårlige algebraer kan man overveje et særligt tilfælde af afledning af en Lie-algebra . I Lie-algebraer opstår nogle afledninger på en naturlig måde. Associerede endomorfismer er afledninger af en Lie-algebra af formen . Sådanne afledninger kaldes interne , resten kaldes eksterne . Kortlægningen kaldes den adjoint repræsentation af Lie-algebraen . $L$ $L$ $\operatørnavn {ad}\;x\kolon y\til [x,y];x,y\i L$ $L\til \operatørnavn {Der}\;L;\;x\mapsto \operatørnavn {ad}\;x$

Interne afledninger dannes til en subalgebra , der er isomorf i forhold til algebraens faktoralgebra med hensyn til dens centrum . $\operatørnavn {Der}(L)$ $\operatørnavn {ad}\;L$ $L/Z(L)$ $L$ $Z(L):=\{x\i L\midt [x,y]=0;\foralt y\i L\}$

Se også

Litteratur

Serre J.-P. Lie Algebras og Lie Groups Arkiveksemplar af 20. februar 2007 på Wayback Machine
Fysik og matematik biblioteksressourcer Arkiveret 14. juli 2007 på Wayback Machine på EqWorld -webstedet - "The World of Mathematical Equations" Arkiveret 3. oktober 2008 på Wayback Machine .
Seminar "Sophus Lie". Teorien om Lie algebraer. Topologi af Lie grupper. — M .: IL, 1962 (djvu) .
Nomizu K. Lie-grupper og differentialgeometri. — M .: IL, 1960 (djvu)
Bourbaki N. Lie-grupper og algebraer. Kapitel I-III. M.: Mir, 1976. 496 s.
Bourbaki N. Lie-grupper og algebraer. Kapitel IX. M.: Mir, 1986. 174 s.
Humphries J. Introduktion til teorien om Lie-algebraer og deres repræsentationer - M. : MTsNMO, 2003.

Ordbøger og encyklopædier

I bibliografiske kataloger
BNE : XX535297 BNF : 119444791 GND : 4130355-6 J9U : 987007529233905171 LCCN : sh85076782 NDL : 00567367 NKC : ph234835 SUDOC : 027392600