Schwartz anden afledte sætning

Schwartz anden afledede sætning etablerer tilstrækkelige betingelser for funktionens linearitet . Anvendes i teorien om trigonometriske serier.

Ordlyd

Hvis en funktion er kontinuerlig i et eller andet interval og for alle værdier i dette interval, så er der en lineær funktion. $F(x)$ $(a,b)$ $\lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) + F(xh) - 2F(x)}{h^{2}} = 0$ $x$ $F(x)$

Bevis

Udtrykket til venstre i sætningens tilstand kaldes den generaliserede andenafledede af funktionen . Hvis den har en almindelig anden afledte, så er den generaliserede anden afledede lig med den, og der er intet at bevise. Lad os overveje en funktion . Det er klart , og For at bevise sætningen viser vi, at for alle værdier af . Lad os antage, at det kræver positive værdier. Lad på et tidspunkt . Lad os introducere en funktion , hvor er et lille positivt tal sådan, at . Funktionen har en positiv øvre grænse og når den på grund af sin kontinuitet på et tidspunkt . Åbenbart . Men selv for , den højre side har tendens til at . Der er opnået en modsigelse. Antagelsen, der tager negative værdier, fører til en lignende modsigelse . Derfor er for alle værdier af og en lineær funktion. $F(x)$ $F(x)$ $\phi(x)=F(x)-F(a)-\frac{xa}{ba}(F(b)-F(a))$ $\phi(a)=0$ $\phi(b)=0$ $\phi(x)=0$ $x$ $\phi(x)$ $\phi(c) > 0$ $c$ $\psi(x) = \phi(x) - \frac{1}{2}\epsilon(xa)(bx)$ $\epsilon$ $\psi(x) > 0$ $\psi(x)$ $x = \xi$ $\psi(\xi + h) + \psi(\xi - h) - 2 \psi(\xi) \leqslant 0$ $\frac{\psi(\xi + h) + \psi(\xi - h) - 2 \psi(\xi)}{h^2} = \frac{F(\xi + h) + F(\xi) - h) - 2 F(\xi)}{h^2} + \epsilon$ $h\højrepil 0$ $\epsilon$ $\phi(x)$ $\phi(x) = 0$ $x$ $F(x)$

Litteratur

E. Titchmarsh Theory of Functions, Moskva, Nauka, 1980.