Gateaux afledt

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 1. april 2022; verifikation kræver 1 redigering .

Gateaux-derivatet udvider begrebet en derivativ til lokalt konvekse topologiske vektorrum . Navnene er givet til ære for den franske matematiker René Eugène Gâteaux ( fr. René Eugène Gâteaux ).

Definition

Lad og bliv normeret rum over en mark og vær en kortlægning, der handler fra til $x$ $Y$ $\mathbb {R} ,$ $F$ $x$ $Y.$

Hvis der er en grænse for nogle og nogle (konvergens forstås ud fra rumnormen ) $x\i X$ $h\in X$ $Y$

$dF(x,\;h)=\venstre.{d \over dt}F(x+t\cdot h)\right\vert _{t=0}=\lim _{t\to 0} {F(x+t\cdot h)-F(x)\over t},$

så kaldes det Gateaux-differentialerne (eller svage differentialer ) af kortlægningen ved punktet (increment ). $F$ $x$ $h$

Kortlægningen kaldes også den første variation af kortlægningen ved et punkt (tilvækst ). $dF(x,\;h)$ $F$ $x$ $h$

Gateaux-differentialet har homogenitetsegenskaben : hvis er defineret , så vil enhver blive defineret $dF(x,\;h)$ $k\in \mathbb {R}$ $dF(x,\;k\cdot h)=k\cdot dF(x,\;h).$

En svag differential behøver ikke være lineær i $h.$

Hvis lineariteten holder, dvs.

$dF(x,\;h)=F\;'(x)\ h,$

hvor er en afgrænset lineær operator, så kaldes den den svage afledede (eller Gateaux-afledte ) af afbildningen i punktet $F\;'(x)$ $F\;'(x)$ $F$ $x.$

Se også

Litteratur

Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Elementer i funktionsteori og funktionsanalyse. — M.: FIZMATLIT, 2006. — 572 s. — ISBN 5-9221-0266-4 .
Alekseev V.M., Tikhomirov V.M., Fomin S.V. Optimal kontrol — Enhver udgave.