Åbne problemer i talteori

Talteori er en gren af matematikken , der primært beskæftiger sig med studiet af naturlige tal og heltal og deres egenskaber, ofte ved hjælp af beregningsmetoder og andre grene af matematikken. Talteorien indeholder mange problemer, forsøg på at løse, som matematikere har gjort i tiere, og nogle gange endda hundreder af år, men som stadig er åbne. Følgende er nogle af de mest berygtede uløste problemer.

Hypoteser om primtal

Det stærke Goldbach-problem . Hvert lige tal større end 2 kan repræsenteres som summen af to primtal.
Riesels problem : At finde det mindste ulige tal, således at tallet er sammensat for alle naturlige tal . $k<509203$ $k\cdot 2^{n}-1$ $n$
Sierpinskis problem : At finde den mindste ulige naturlige , således at tallet er sammensat af alle naturlige . $k<78557$ $k\cdot 2^{n}+1$ $n$
Sierpinskis simple problem : At finde det mindste ulige primtal naturlige , således at tallet er sammensat af alle naturlige . $k<271129$ $k\cdot 2^{n}+1$ $n$
Sierpinskis dobbelte problem : at finde den mindste ulige naturlige , således at tallet er sammensat af alle naturlige . Et relateret spørgsmål om primalitetstesten: hvis der er en algoritme, der giver dig mulighed for hurtigt (i polynomisk tid) at finde ud af, om et tal er primtal (strengt, det vil sige ikke pseudoprim), så er der en primalitetstestalgoritme dobbelt til det for numre på formen ? Svaret på det sidste spørgsmål ville fortælle os, om de fem store muligvis simple fra opgaven "Fem eller Fejl" er enkle eller sammensatte. $k$ $2^{n}\pm k$ $n$ $k\cdot 2^{n}\pm 1$ $2^{n}\pm k$
Artins formodning om, at der er uendeligt mange primtal modulo , hvor et givet heltal er en primitiv rod .
Legendres hypotese . For ethvert naturligt tal mellem og er der mindst ét primtal. $n$ $n^{2}$ $(n+1)^2$
Oppermanns hypotese . For ethvert naturligt tal mellem og er der mindst et primtal, og mellem og er der mindst et (andet) primtal. $n$ $n^{2}$ $n(n+1)$ $n(n+1)$ $(n+1)^2$
Andricas hypotese . Funktionen (hvor er det -. primtal) tager værdier mindre end 1 for enhver n. ${\displaystyle f(n)={\sqrt {p_{n+1))}-{\sqrt {p_{n))))$ $p_n$ $n$
Brokars hypotese . For ethvert naturligt tal mellem og (hvor er det th primtal) er der mindst fire primtal. $n$ $p_{n}^{2}$ $p_{{n+1}}^{2}$ $p_n$ $n$
Firuzbekhts hypotese . Rækkefølgen er strengt faldende (her er det -. primtal). $(p_{n})^{1/n}$ $p_n$ $n$
Polignacs hypotese . For ethvert lige tal er der uendeligt mange par af naboprimtal, hvor forskellen er lig med . $n$ $n$
Ago-Jugi hypotese : er det sandt, at hvis $\sum _{{i=1}}^{{p-1}}i^{{p-1}}=1^{{p-1}}+2^{{p-1}}+\cdots +(p-1)^{{p-1}}\equiv -1{\pmod p}$ , så er p primtal?
Er det rigtigt, at der for ethvert positivt irrationelt tal og ethvert positivt tal er et uendeligt antal primtal , som uligheden gælder for ? [en] $\theta$ $\epsilon$ $(p, q),$ $\left|\theta -{\frac {p}{q}}\right|<q^{{-2+\epsilon }}$
Konvergerer serien ? [2] Men hvis det konvergerer, så er der helt sikkert mange tvillingeprimtal . Dette følger af sætningen om fordelingen af primtal og Leibniz-kriteriet $\sum _{{k=1}}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {k}{p_{k}}}$ .
Gilbraith-hypotesen . For ethvert naturligt tal starter sekvensen af th-ordens absolutte forskelle for en sekvens af primtal ved 1. 1.-ordens absolutte forskelle er de absolutte størrelser af forskellene mellem tilstødende primtal: 2.-ordens forskelle er de absolutte størrelser af forskelle mellem tilstødende elementer i rækkefølgen af absolutte forskelle af 1. orden: osv. Hypotesen er verificeret for alle n < 3,4×10 11 [3] $n$ $n$ $1,2,2,4,2,\prikker,$ $1,0,2,2,2,\prikker$
Bunyakovskii's formodning Hvis er et irreducerbart polynomium med integralværdi, og d er den største fælles divisor af alle dets værdier, så tager det integralværdierede polynomium uendeligt mange primeværdier. Landaus 4. problem er et særligt tilfælde af denne formodning for . $f(x)$ $f(x)/d$ $f(x)=x^{2}+1$
Dixons formodning Hvis er et endeligt antal aritmetiske progressioner, så er der uendeligt mange naturlige tal n , således at for hver sådan n er alle r- tal prime på samme tid. Desuden er det trivielle tilfælde udelukket fra overvejelse, når der er et sådant primtal p , at for enhver n er mindst ét tal et multiplum af p . ${\displaystyle a_{1}n+b_{1},a_{2}n+b_{2}...,a_{r}n+b_{r))$ ${\displaystyle a_{1}n+b_{1},a_{2}n+b_{2}...,a_{r}n+b_{r))$ ${\displaystyle a_{j}n+b_{j))$
Elliot-Halberstam-formodningen og dens generalisering i teorien om primtal i moduler.
Er alle Fermat-tal sammensatte for n > 4?
Er alle Mersenne-tal med primtal-indeks firkantfri ?
Er der dobbelte Mersenne-tal med indeks n > 60?
Er tallet M M 127 og følgende udtryk i den catalansk-mersenne-sekvens enkle?
Er der andre Wolstenholme-primtal end 16843 og 2124679 ?
Et åbent spørgsmål er uendeligheden af antallet af primtal i hver af følgende sekvenser [4] :

Efterfølgende	Navn
$2^{n}-1$	Mersenne numre
$n^{2}+1$	4. Landau problem
$n^{2^{k}}+1$ , $k>0$	generalisering af Landau-problemet [5] .
$n\cdot 2^{n}+1$	Cullen-numre
$n\cdot 2^{n}-1$	Woodall numre
$2^{{2^{n}}}+1$	Fermat tal
$F_{n}$	fibonacci tal
par $(n,\;n+2)$	simple tvillinger
par $(n,\;2n+1)$	Sophie Germain prime
$n!\pm 1$	faktortal
$n\#\pm 1$	urtal
$k\cdot 2^{n}+1$ , er mærkeligt, $k$ $2^{n}>k$	Prot tal

Er der et polynomium , andet end et lineært, blandt hvis værdier der er uendeligt mange primtal? [6] $f(x)$
Hvorfor er primtal arrangeret i kæder langs diagonalerne på Ulam-dugen ? [6]
Er det rigtigt, at kun tre primtal, nemlig 5, 13 og 97, kan repræsenteres i formen for et naturligt tal ? $2^{k}+3^{k}$ $k$

Hypoteser om perfekte tal

Der er ingen ulige perfekte tal . [7]
Antallet af perfekte tal er uendeligt.

Formodninger om venlige tal

Der er ingen coprime- venlige tal .
Ethvert par venskabelige tal har samme paritet.
Der er uendeligt mange venlige numre.

Gaussiske tal

Find antallet af gaussiske tal, hvis norm er mindre end en given naturlig konstant . I en tilsvarende formulering er dette emne kendt som " Gaussisk cirkelproblemet " i tallenes geometri [8] . Se sekvens A000328 i OEIS . $R$
Find linjer i det komplekse plan, der indeholder uendeligt mange Gaussiske primtal. To sådanne linjer er indlysende - disse er koordinatakserne; det er uvist, om der findes andre [9] .
Spørgsmålet kendt som " Gaussgrøften ": er det muligt at gå til det uendelige ved at gå fra et simpelt Gaussisk tal til et andet i hop af en forudbestemt længde? Problemet blev sat i 1962 og er endnu ikke løst [10] .

Diofantiske ligninger

Har hvert talrige sæt en enkelt diofantisk repræsentation ? [elleve]
Kan foreningen af to sæt, som hver har en enkelt diofantisk repræsentation, ikke have en enkelt diofantisk repræsentation?
Har hvert talrige sæt en diophantinsk repræsentation som en ligning på grad 3 i alle variabler (parametre og ukendte)?
Har alle talløse mængder en diofantisk repræsentation som en ligning af grad 3 i ukendte?
Hvad er det mindste antal variabler, som en universel diophantisk ligning kan have ? Hvad er den mindste grad, den kan have med så mange variable? Det mindste kendte resultat er 9 variable. Den mindste kendte potens af ligningen i 9 variable overstiger [12] $10^{{45}}.$
Hvad er det mindste antal variabler, som en universel diofantligning af grad 4 kan have? Den mindste kendte score er 58.
Findes der en universel diofantligning af grad 3? Hvis ja, hvad er det mindste antal variabler, den kan have?
Hvad er det mindste antal operationer (additioner, subtraktioner og multiplikationer), som en universel diophantisk ligning kan have? Det mindste kendte resultat er 100.
Er mængden af løsninger af en diofantisk ligning uendelig ? [elleve] $9(u^{2}+7v^{2})^{2}-7(r^{2}+7s^{2})^{2}=2$
Eksistensen af en kasse med tre heltalskanter og heltalsdiagonaler .
Eksistensen af et sæt af fem positive heltal , produktet af to af dem er et mindre end et nøjagtigt kvadrat.

Mange uløste problemer (f.eks. Goldbach-problemet eller Riemann-hypotesen ) kan omformuleres som spørgsmål om løseligheden af diofantiske ligninger af 4. grad af en eller anden speciel form, men en sådan omformulering gør normalt ikke problemet lettere på grund af manglen af en generel metode til løsning af diofantiske ligninger [13] [11] .

Analytisk talteori

Riemanns hypotese (talteoretisk formulering). Er følgende asymptotiske formel for fordelingen af primtal korrekt: $\pi (x)=\int \limits _{2}^{x}\!{\frac {dt}{\ln t))+O\venstre({\sqrt x}\ln x\right)?$
Det er kendt, at antallet af punkter med positive heltalskoordinater i et område afgrænset af en hyperbel og positive halvakser er udtrykt ved den asymptotiske formel $xy=N$ $\Phi (N)=\sum _{{k=1}}^{N}\tau (k)=N\ln N+(2\gamma -1)N+O(N^{\theta }),$

hvor er antallet af divisorer af tallet k , er Euler-Mascheroni-konstanten , og kan vælges lig . Det vides dog ikke, ved hvilken minimumsværdi denne formel forbliver sand ( det vides, at den ikke er mindre end Er det nøjagtigt det samme ? Direkte beregninger fører til denne formodning, da det viser sig at være en næsten normalfordeling med varians 1 for x op til 10 16 .

\tau(k)

\gamma

\theta

{\frac {131}{416}}.

\theta

{\frac {1}{4))

{\frac {1}{4))

\theta

{\displaystyle x^{\theta }/x^{1/4))

Cramers hypotese om huller mellem primtal : . $\max _{i\leq n}(p_{i+1}-p_{i})=O(\ln ^{2}p_{n})$
Afslappet Mertens-formodning : bevis, at Mertens-funktionen evaluerer til . Den afslappede Mertens formodning svarer til Riemann-hypotesen. $M(n)$ $M(n)=O(n^{1/2+\varepsilon })$
Den første Hardy-Littlewood-formodning er formodningen om fordelingstætheden af tupler af primtal af formen , der især angiver, at antallet af sådanne tupler er uendeligt, undtagen i trivielle tilfælde. Denne formodning er en forfining af den simple tvillingeformodning og er også et specialtilfælde af Dixons formodning. $(p,p+a_{2}...,p+a_{k})$
Den anden Hardy-Littlewood formodning er formodningen om den logaritmiske egenskab ved funktionen af antallet af primtal : . Det er bevist, at begge Hardy-Littlewood hypoteser ikke kan være sande på samme tid og højst den ene er sand [17] . $\pi (x+y)\leqslant \pi (x)+\pi (y)$
Singmasters hypotese . Betegn med det antal gange, et naturligt tal større end én forekommer i Pascals trekant . Det viste Singmaster , som blev yderligere forbedret til . Er det stærkeste udsagn sandt ? $N(a)$ $-en$ $N(a)=O(\ln a)$ $N(a)=O(\ln a\cdot \ln \ln \ln a\cdot {\ln }^{{-3}}\ln a)$ $N(a)=O(1)$
Zarembas hypotese . For ethvert naturligt tal q er der et tal p , således at alle ufuldstændige kvotienter i udvidelsen til en fortsat brøk ikke overstiger fem. I 2011 beviste Jean Bourgain og Alex Kontorovich, at for fraktioner med ufuldstændige kvotienter begrænset til 50, er formodningen sand på et sæt af tæthed 1 [18] . ${\frac pq}$

Ramsey teori

Værdier af Ramsey-tal [19] . Kun de første par tal kendes med sikkerhed. For eksempel vides det ikke, ved hvilket minimum N i nogen gruppe af N personer vil der være 5 personer, der kender hinanden i par, eller 5 personer, der ikke kender hinanden i par - dette tal er angivet , det er kun kendt det . $R(r,\;s)$ $R(5,\;5)$ $43\leqslant R(5,\;5)\leqslant 48$

$r,\;s$	en	2	3	fire	5	6	7	otte	9	ti
en	en	en	en	en	en	en	en	en	en	en
2	en	2	3	fire	5	6	7	otte	9	ti
3	en	3	6	9	fjorten	atten	23	28	36	[40, 42]
fire	en	fire	9	atten	25	[36, 41]	[49, 61]	[59, 84]	[73, 115]	[92, 149]
5	en	5	fjorten	25	[43, 48]	[58, 87]	[80, 143]	[101, 216]	[133, 316]	[149, 442]
6	en	6	atten	[36, 41]	[58, 87]	[102, 165]	[115, 298]	[134, 495]	[183, 780]	[204, 1171]
7	en	7	23	[49, 61]	[80, 143]	[115, 298]	[205, 540]	[217, 1031]	[252, 1713]	[292, 2826]
otte	en	otte	28	[56, 84]	[101, 216]	[127, 495]	[217, 1031]	[282, 1870]	[329, 3583]	[343, 6090]
9	en	9	36	[73, 115]	[133, 316]	[183, 780]	[252, 1713]	[329, 3583]	[565, 6588]	[580, 12677]
ti	en	ti	[40, 42]	[92, 149]	[149, 442]	[179, 1171]	[289, 2826]	[343, 6090]	[581, 12677]	[798, 23556]

Betydninger af van der Waerden-tal . I øjeblikket er værdierne af kun 6 første tal [20] kendt , 178 og 1132.35,9,3,1: , hvor udtrykket for den øvre grænse bruger tetration ) [ 21] . $\{1, 2, \dots, N\}$ $3704\leqslant N\leqslant {}^{8}2$

Andre spørgsmål

Lade være et positivt tal sådan, at og er heltal. Kan det ikke være et heltal? $x$ $2^{x}$ $3^{x}$ $x$
Eksistensen af lidt overflødige tal .
Eksistensen af en cyklus med tre ledsagernumre .
Er der parvis forskellige naturlige tal, sådan at ? [22] $a,\;b,\;c,\;d$ $a^{5}+b^{5}=c^{5}+d^{5}$
Er der to forskellige Pythagoras tripler , der har det samme produkt? [23]
Beals hypotese . Hvis hvor er naturlige tal og , så har de en fælles primdivisor . $A^x+B^y=C^z,$ $A,\;B,\;C,\;x,\;y,\;z$ $x,\;y,\;z>2$ $A,\;B,\;C$
Erdős hypotese . Hvis summen af gensidige for et eller andet sæt naturlige tal divergerer, så kan man i dette sæt finde en vilkårlig lang aritmetisk progression .
Hvor stor kan summen af de reciproke elementer være i en sekvens af naturlige tal, hvor intet element er lig med summen af flere andre forskellige elementer? (Erdos) [24]
Collatz formodning (3n+1 hypotese).
Jonglørhypotesen . Enhver jonglørsekvens når 1 [25] . Jonglørsekvensen er beskrevet med den rekursive formel: $a_{{k+1}}={\begin{cases}\left\lfloor a_{k}^{{1/2}}\right\rfloor,&{\text{if}}\ a_{k}\ {\tekst{er lige));\\\\\venstre\lgulv a_{k}^{{3/2))\højre\rgulv,&{\tekst{if))\ a_{k}\ {\ tekst{er ulige}}.\end{cases}}$
Brokars problem . Har ligningen løsninger i naturlige tal, undtagen (4, 5), (5, 11) og (7, 71)? [26] $n!+1=m^{2}$
Tomaszewskis hypotese . Kun tallene 1, 6 og 120 er både trekantede og faktorielle [27] . I en alternativ formulering reduceres det til at løse ligningen i naturlige tal. $8\cdot n!+1=m^{2}$
Er mængden af løsninger af ligningen endelig? I øjeblikket kendes kun 5 løsninger [28] . [29] [30] $2^{n}\equiv 3{\pmod n}?$
Er det rigtigt, at kvadratet af ethvert rationelt tal kan repræsenteres som summen af de fjerde potenser af fire rationale tal?
Warings problem og dets generaliseringer:
- Er der et endeligt sæt af naturlige tal, der ikke kan repræsenteres som summen af 6 terninger af ikke-negative heltal? [31] Et lignende spørgsmål opstår for summen af 5 og 4 terninger, såvel som for mange antal led med potenser højere end 4.
- Hvordan præcist kan et naturligt tal repræsenteres som summen af kvadraterne af to heltal?
Opgave 196 . Er der nogle naturlige tal, der som et resultat af gentagelse af "vend og tilføj"-operationen aldrig vil blive til et palindrom ?
Er det muligt at repræsentere et hvilket som helst heltal som den (algebraiske) sum af fire terninger? [32]
- intet bevis for denne påstand kendes;
- der er intet kendt eksempel på et tal, der ikke kan repræsenteres på denne måde.
Tre af Pollocks fire formodninger om krøllede tal .

Se også

Åbne matematiske problemer - problemer fra andre grene af matematikken

Noter

↑ Matematiske udviklinger som følge af Hilbert-problemer , s. 39
↑ Weisstein, Eric W. Prime Sums på Wolfram MathWorld- webstedet .
↑ Weisstein, Eric W. Gilbraiths formodning hos Wolfram MathWorld .
↑ Weisstein, Eric W. Integer Sequence Primes på Wolfram MathWorld- webstedet .
↑ Stuart, 2015 , s. 68.
↑ 1 2 Matiyasevich, Yu. V. Formler for primtal // Kvant. - 1975. - T. 1. - Nr. 5. - S. 8.
↑ Stuart, 2015 , s. 404.
↑ Conway JH, Sloane NJA Kuglepakninger, gitter og grupper. — Springer-Verlag. — S. 106.
↑ Ribenboim, Paulo. The New Book of Prime Number Records, Ch.III.4.D Ch. 6.II, kap. 6.IV. — 3. udg. - New York: Springer, 1996. - ISBN 0-387-94457-5 .
↑ Guy Richard K. Uløste problemer i talteori. — 3. udg. - New York: Springer, 2004. - S. 55-57. - ISBN 978-0-387-20860-2 .
↑ 1 2 3 Yu. V. Matiyasevich . Opgave 2.10 // Hilberts tiende opgave . - M. : Nauka, 1993. - 223 s. — (Matematisk logik og matematikkens grundlag; hæfte nr. 26). — ISBN 502014326X .
↑ Jones JP Undecidable diophantine equations // Bull . amer. Matematik. soc. : journal. - 1980. - Bd. 3 . - S. 859-862 . - doi : 10.1090/S0273-0979-1980-14832-6 .
↑ Yuri Matiyasevich, Hilberts tiende problem: Hvad blev gjort, og hvad skal gøres
↑ A. A. Bukhshtab. Talteori . - M . : Uddannelse, 1966.
↑ I. M. Vinogradov. Analytisk talteori // Matematisk encyklopædi. - Sovjetisk encyklopædi . - M. , 1977-1985. (Russisk)
↑ Weisstein, Eric W. Dirichlet Divisor Problem (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
↑ 447-tuple beregninger . Hentet 12. august 2008. Arkiveret fra originalen 28. december 2012. (ubestemt)
↑ J. Bourgain, A. Kontorovich. Om Zarembas formodning .
↑ Stanisław Radziszowski. Small Ramsey Numbers (engelsk) // The Electronic Journal of Combinatorics. - 2017. - 3. marts. — ISSN 1077-8926 . (revision 15)
↑ OEIS -sekvens A005346 _
↑ Weisstein , Eric W. Van der Waerden nummer på Wolfram MathWorld .
↑ Uløst opgave 18: Er der forskellige positive heltal, a, b, c og, d, sådan at a^5+b^5=c^5+d^5? Ugens uløste problem . MathPro Press.
↑ Weisstein, Eric W. Pythagorean triple på Wolfram MathWorld- webstedet .
↑ Weisstein, Eric W. A -Sequence på Wolfram MathWorld -webstedet .
↑ Sekvenser A007320 , A094716 i OEIS
↑ Weisstein, Eric W. Brokards problem hos Wolfram MathWorld .
↑ Sekvenser A000142 , A000217 i OEIS
↑ Weisstein, Eric W. Nummer 2 på Wolfram MathWorld- webstedet .
↑ 2^n mod n - OeisWiki
↑ https://web.archive.org/web/20120104074313/http://www.immortaltheory.com/NumberTheory/2nmodn.htm
↑ Weisstein, Eric W. Cubic Number på Wolfram MathWorld- webstedet .
↑ Dmitry Maksimov. Om summen af kvadrater og terninger // Videnskab og liv . - 2020. - Nr. 9 . - S. 85 . (Russisk)

Litteratur

Ian Stewart . De største matematiske problemer. — M. : Alpina faglitteratur, 2015. — 460 s. - ISBN 978-5-91671-318-3 .
Shanks, Daniel . Løste og uløste problemer i talteori. - 5. udgave - New York: AMS Chelsea, 2002. - ISBN 978-0-8218-2824-3 .