Warings problem

Warings problem er en talteoretisk erklæring , ifølge hvilken der for hvert heltal er et sådant tal , at ethvert naturligt tal kan repræsenteres som: $n>1$ $k=k(n)$ $N$

x_1^n+x_2^n+\ldots+x_k^n=N\quad

med ikke-negative heltal . $x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_k$

Som en formodning foreslået i 1770 af Edward Waring [1] , bevist af Hilbert i 1909 . Allerede efter beviset blev der gennemført et betydeligt antal undersøgelser omkring problemstillinger, både relateret til bevisførelsen af hovedproblemet, og med forskellige muligheder og generaliseringer, hvor der blev opnået bemærkelsesværdige resultater og udviklet vigtige metoder; i den matematiske emneklassifikation er et separat afsnit af tredje niveau afsat til Warings problemstilling og relaterede undersøgelser [2] .

Hovedresultater

Indtil det 20. århundrede kunne problemet kun løses i særlige tilfælde, for eksempel blev Lagrange-sætningen om summen af fire kvadrater etableret for problemet i sagen . $k=4$ $n=2$

Det første bevis på hypotesens gyldighed blev givet i 1909 af Hilbert [3] , den var meget omfangsrig og var baseret på komplekse analytiske konstruktioner, herunder femdobbelte integraler.

I 1920 blev et nyt bevis for samme sætning givet af Hardy og Littlewood , som udviklede en særlig cirkulær metode til dette [4] . De introducerede to funktioner - og ; er den mindste sådan, at Warings problem kan løses for ; er den mindste , således at Warings problem kan løses for . (Det er klart, at .) Hardy og Littlewood gav en nedre grænse for , som i orden og konstant generelt ikke er blevet forbedret i 2010'erne, og en øvre grænse, som siden er blevet radikalt forbedret. Denne funktion er siden blevet kaldt Hardy-funktionen. De fik også en asymptotisk formel for antallet af løsninger på Warings problem. $g(n)$ $G(n)$ $g(n)$ $k$ $N\geqslant 1$ $G(n)$ $k$ $N\geqslant N_0(n)$ $G(n)\leqslant g(n)$ $G(n)$ $n<G(n)$

Som et resultat af undersøgelsen af Warings problem er der således udviklet kraftfulde analytiske metoder. Imidlertid fandt Linnik i 1942 et bevis for hovedsætningen baseret på elementære metoder [5] .

Funktionen er kendt. For en mere fundamental funktion er der opnået en række øvre og nedre grænser, men dens specifikke værdier er ukendte selv for små . $g(n)$ $G(n)$ $n$

Funktion g ( n )

Johann Euler , søn af Leonhard Euler , foreslog omkring 1772 [6] at:

g(n)=2^n+[(3/2)^n]-2

I 1940'erne beviste Leonard Dixon , Pillai ( eng. Subbayya Sivasankaranarayana Pillai ), Rubugundai ( eng. RK Rubugunday ) og Niven [7] under hensyntagen til resultatet af Mahler ( ger . Kurt Mahler ) [8] , at dette er sandt bortset fra det endelige antal værdier større end 471.600.000 . Der er en formodning om, at denne formel er sand for alle naturlige tal. $n$

Flere første værdier : $g(n)$

1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1079, 2132, 4223, 8384, 16673, 33203, 66190, 132055, … [9]

Det er bemærkelsesværdigt, at for eksempel kun tallene 23 og 239 ikke kan repræsenteres af summen af otte terninger. $n=3$

Funktion G ( n )

I 1924 anvendte Vinogradov sin metode til trigonometriske summer på Warings problem [10] , hvilket ikke blot i høj grad forenklede beviset, men også åbnede vejen for en fundamental forbedring af estimatet for . Efter en række justeringer beviste han i 1959, at: $G(n)$

G(n)<2n\log n+4n\log\log n+2n\log\log\log n+13n

Ved at anvende -adic-formen af Hardy-Littlewood-Ramanujan-Vinogradov cirkulære metode konstrueret af ham til estimater af trigonometriske summer, hvor summering udføres over tal med små primdivisorer, forbedrede Karatsuba dette skøn i 1985 [11] . kl .: $s$ $n\geqslant 400$

G(n)<2n\log n+2n\log\log n+12n

Estimatet blev senere forbedret af Wooley , først i 1992 [12] , derefter i 1995 [13] :

G(n)\leqslant n\log n+n\log \log n+2+O(n\log \log n/\log n)

Vaughan og Wooley skrev en længere anmeldelse om Warings problem [14] , hvor Karatsubas resultat, offentliggjort i 1985, er relateret til Vaughans 1989-publikation [15] .

Grænser [14]
4 ≤ G (2) ≤ 4
4 ≤ G (3) ≤ 7
16 ≤ G (4) ≤ 16
6 ≤ G (5) ≤ 17
9 ≤ G (6) ≤ 24
8 ≤ G (7) ≤ 33
32 ≤ G (8) ≤ 42
13 ≤ G (9) ≤ 50
12 ≤ G (10) ≤ 59
12 ≤ G (11) ≤ 67
16 ≤ G (12) ≤ 76
14 ≤ G (13) ≤ 84
15 ≤ G (14) ≤ 92
16 ≤ G (15) ≤ 100
64 ≤ G (16) ≤ 109
18 ≤ G (17) ≤ 117
27 ≤ G (18) ≤ 125
20 ≤ G (19) ≤ 134
25 ≤ G (20) ≤ 142

Faktisk er værdien kun kendt for 2 værdier af argumentet, nemlig og . $G(n)$ $G(2)=4$ $G(4)=16$

Summen af kvadrater: G(2)

Ifølge Lagranges sætning kan ethvert naturligt tal repræsenteres som summen af fire kvadrater af heltal. Det er også nemt at vise, at tal, der giver en rest på 7, når de divideres med 8, ikke kan repræsenteres som en sum af mindre end 4 kvadrater. Således . $G(2)=4$

Summen af terninger: G(3)

Det er let at bevise det . Dette følger af det faktum, at terninger altid er kongruente med 0, 1 eller −1 modulo 9. $G(3)\geqslant 4$

Linnik beviste det i 1943 [5] . Computereksperimenter tyder på, at dette estimat kan forbedres til 4 (dvs. ), på grund af tallene mindre end 1,3⋅10 9 , det sidste tal, der vil kræve seks terninger, er 1 290 740 , og antallet af tal mellem N og 2N, der kræver fem terninger, falder med en stigning i N med en tilstrækkelig høj hastighed [16] . Det største kendte tal, der muligvis ikke er repræsenteret som summen af fire terninger, er 7373170279850 , og der er grund til at tro, at dette er det største sådant tal [17] . Ethvert ikke-negativt tal kan repræsenteres som 9 terninger, og det antages, at de største tal, der kræver minimum 9, 8, 7, 6 og 5 terninger, er henholdsvis 239, 454, 8042, 1,290,740 og 7,373,185,07 [ 1,373,185,07 ] , og deres antal er henholdsvis 2, 17, 138, 4060, 113 936 676 [18] . $G(3)\leqslant 7$ $G(3)=4$

Summen af fjerde potenser: G(4)

Den kendte værdi for er 16. Davenport [19] beviste dette resultat i 1930'erne . $G(4)$

Tal som 31 16 n kræver mindst seksten fjerde potenser.
Tallet 79 kræver 19 fjerde potenser.
Tallet 13.792 kræver 17 fjerde potenser.

Ethvert tal større end 13.792 kan repræsenteres som en sum af ikke mere end seksten fjerde potenser. Dette blev bevist for tal mindre end 10245 i 2000 [20] , og for andre tal i 2005 [21] ved at forbedre Davenports resultat.

Summen af femtedele: G(5)

617 597 724 er det sidste tal mindre end 1,3⋅10 9 , der ville kræve 10 femtedele, og 51 033 617 er det sidste tal mindre end 1,3⋅10 9 , der ville kræve 11. Baseret på computereksperimenter er der grund til at tro, at . $G(5)<G(4)$

Ud over nøjagtige værdier forbliver spørgsmålet om antallet af løsninger på Warings problem for givne parametre og begrænsninger åbent. I værker, der er dedikeret til dette problem, er formuleringer af formen mulige: "Warings problem for 9 terninger med næsten lige vilkår" [22] . $G(n)$

Generaliseringer

Waring-Goldbach problem

Waring-Goldbach-problemet rejser spørgsmålet om repræsentativiteten af et heltal som en sum af potenser af primtal, analogt med Warings problem og Goldbachs problem .

Hua Lo-ken, ved at bruge de forbedrede metoder fra Hardy-Littlewood og Vinogradov, opnåede en øvre grænse for antallet af prime termer [23] . $O(n^2\log n)$

På den officielle hjemmeside for Fakultetet for Mekanik og Matematik ved Moscow State University , fra 2014, står det, at Chubarikov [24] fandt en komplet løsning på Waring-Goldbach-problemet i 2009 , dog i den eneste artikel fra 2009 [ 25] , gives løsningen af problemet, som kun i en vis forstand ligner problemet Waring-Goldbach [26] .

Præcisionen af at repræsentere et heltal som en sum af potenser

En generalisering af Warings problem kan betragtes som spørgsmålet om nøjagtigheden af at repræsentere et heltal som summen af potenser af heltal, som ikke er blevet løst selv for en grad lig med . $2$

Alle naturlige tal, med undtagelse af tal på formen , kan repræsenteres som . Spørgsmålet opstår naturligvis: hvor tæt kan man komme på et givet tal ved summen af to kvadrater af heltal? Da højre side af denne lighed også har rækkefølgen af kvadratroden af , kan et kvadrat nærme sig en afstand af størrelsesordenen . Derfor kan summen af to kvadrater nærmes til en afstand af størrelsesordenen . Kan du komme tættere på? Siden Eulers tid har dette problem stået "uden bevægelse", selvom der er en hypotese om, at $4^m(8n+7),\;m,\;n=0,\;1,\;2,\;\ldots,$ $x^2+y^2+z^2$ $N$ $(n+1)^2-n^2=2n+1$ $n^{2}$ $N$ $N^{1/2}$ $N$ $N^{1/4}$

\min_{x,\;y\in Z}|Nx^2-y^2|\leqslant N^\varepsilon,

hvor er nogen ,. Det er ikke muligt at erstatte i det foregående argument med med et vilkårligt lille fast , og denne ved første øjekast er en simpel opgave ikke kommet videre siden midten af 1700-tallet [27] . $\varepsilon>0,\;\varepsilon$ $N\geqslant N_1(\varepsilon)$ $1/4$ $1/4-c$ $c>0$

En multidimensionel analog af Warings problem

I sine videre studier af Waring-problemet opnåede Karatsuba [28] [29] en todimensionel generalisering af dette problem. Følgende ligningssystem overvejes:

x_1^{ni}y_1^i+\ldots+x_k^{ni}y_k^i=N_i,\quad i=0,\;1,\;\ldots,\;n

hvor gives positive heltal, der har samme vækstrækkefølge, , og er ukendte, men også positive heltal. Ifølge den todimensionelle generalisering er dette system løseligt, hvis , og hvis , så eksisterer der sådan , at systemet ikke har nogen løsninger. $N_{i}$ $N_0\til+\infty$ $x_{\varkappa},\;y_{\varkappa}$ $k>cn^2\log n$ $k<c_1n^2$ $N_{i}$

Relaterede opgaver

I teorien om diophantiske ligninger, tæt på Warings problem, er problemerne med at repræsentere et naturligt tal som en sum af værdier af et polynomium i en variabel og et homogent polynomium i flere variable. Det er kendt, at ethvert naturligt tal kan repræsenteres af summen af tre trekantede tal , og alle tilstrækkeligt store ulige heltal kan repræsenteres af Ramanujans tresigtede kvadratiske form . Ifølge Lagranges fire-kvadrat- sætning og Legendres tre-kvadrat-sætning kræver begge en sum på mindst fire kvadrater. $T_{n}={n+1 \choose 2}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+10z^{2))$

Mere særlige problemer kan også kaldes Warings problem i videnskabelige artikler [30] .

Noter

↑ Waring E. Meditationes algebraicae. - Cambridge, 1770.
↑ 11P05 Warings problem og varianter // Matematisk emneklassifikation, 2010 Arkiveret 6. juni 2014 på Wayback Machine
↑ Hilbert D. Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n -ter Potenzen (Waringsches Problem) // Mathematische Annalen, 67 , pages 281-300 (1909)
↑ Hardy GH, Littlewood JE // Nachr. Acad. Wiss. Gettingen Math.-Fys. Kl., 1920. s. 33-54. IV: Matematik. Z., 1922, nr. 12, s. 161-188.
↑ 1 2 Linnik Yu. V. En elementær løsning af Waring-problemet ved Shnirelman-metoden // Math. Sb., 1943, bind 12, nr. 54, s. 218-230.
↑ L. Euler Opera postuma (1), 203-204 (1862)
↑ Niven, Ivan M. Et uløst tilfælde af Waring-problemet // American Journal of Mathematics : journal. - The Johns Hopkins University Press, 1944. - Vol. 66 , nr. 1 . - S. 137-143 . - doi : 10.2307/2371901 . — .
↑ Mahler, K. Om brøkdelene af potenserne af et rationelt tal II // Mathematika : journal. - 1957. - Bd. 4 . - S. 122-124 .
↑ OEIS -sekvens A002804 _
↑ Vinogradov I. M. Om spørgsmålet om den øvre grænse for G ( n ) // Izv. USSR's Videnskabsakademi. Ser. mat., 1959, bind 23, nr. 5, s. 637-642.
↑ Karatsuba, A. A. Om funktionen G ( n ) i Waring-problemet // Izvestiya RAN. Matematisk serie. . - 1985. - Nr. 49: 5 . - S. 935-947 . (Russisk)
↑ Wooley TD Store forbedringer i Warings problem // Ann. af matematik. 135 (1992), 131-164.
↑ Wooley TD Nye estimater for glatte Weyl-summer // J. London Math. soc. (2) 51 (1995), 1-13.
↑ 1 2 Vaughan RC, Wooley TD Warings problem: A Survey Number Theory for the Millennium (ubestemt) . — A. K. Peters, 2002. - T. III. - S. 301-340. — ISBN 978-1-56881-152-9 .
↑ Vaughan RC En ny iterativ metode i Warings problem // Acta Math. 162 (1989), 1-71.
↑ Nathanson (1996 , s. 71)
↑ Deshouillers, Jean-Marc; Hennecart, Francois; Landreau, Bernard; I. Gusti Putu Purnaba, Tillæg af. 7373170279850 // Beregningsmatematik _ : journal. - 2000. - Vol. 69 , nr. 229 . - S. 421-439 . - doi : 10.1090/S0025-5718-99-01116-3 .
↑ 1 2 Władysław Narkiewicz. Rationel talteori i det 20. århundrede: Fra PNT til FLT . — Springer Science & Business Media, 2011-09-02. — 659 s. — ISBN 9780857295323 .
↑ Davenport H. // Ann. af math., 1939, nr. 40, s. 731-747
↑ Deshouillers, Jean-Marc; Hennecart, Francois; Landreau, Bernard. Warings problem for seksten biquadrates - numeriske resultater (neopr.) // Journal de théorie des nombres de Bordeaux. - 2000. - T. 12 . - S. 411-422 . doi : 10.5802 / jtnb.287 .
↑ JM Deshouillers og K Kawada og TD Wooley. Om summer af seksten biquadrates (Mémoires de la Société Mathématique de France 100 ) // Société Mathématique de France. - 2005.
↑ Mirzoabdugafurov K. I. Waring-problemet for 9 terninger med næsten lige vilkår Arkiveret 6. juni 2014 på Wayback Machine . – Afhandling … kandidat for fysiske og matematiske videnskaber.
↑ Hua Lo Keng Additiv teori om primtal // Translations of Mathematical Monographs, 13 , American Mathematical Society, Providence, RI, 1965, xiii+190 pp.
↑ Fungerende dekan ved fakultetet for mekanik og matematik ved Moscow State University, leder af afdelingen for matematiske og computeranalysemetoder, professor Vladimir Nikolaevich Chubarikov . Dato for adgang: 31. oktober 2014. Arkiveret fra originalen 1. november 2014. (ubestemt)
↑ Chubarikov V.N. Om Waring-Goldbach-problemet // Videnskabsakademiets rapporter. - 2009. T. 427, nr. 1, s. 24-27
↑ Anmeldelse: Zbl 1220.11128
↑ Moderne. sandsynlighed Mat., 2008, udgave 11, s.22
↑ Arkhipov G. I., Karatsuba A. A. Multidimensional analog af Waring-problemet (ubestemt) // Dokl. USSR's Videnskabsakademi. - 1987. - nr. 295:3 . - S. 521-523 .
↑ Karatsuba AA Warings problem i flere dimensioner (ubestemt) // Mathem. Forschungs, Oberwolfach, Tagungsbericht. - 1988. - Nr. 42 . - S. 5-6 .
↑ Om Warings problem for en ternær kvadratisk form og en vilkårlig lige grad

Litteratur

Matematisk encyklopædisk ordbog . - M . : "Ugler. encyklopædi" , 1988. - S. 847 .
Elementære metoder i analytisk talteori. - M. : Fizmatgiz, 1962. - S. 272.
Nathanson, Melvyn B. Additiv talteori: De klassiske baser . - Springer-Verlag , 1996. - Vol. 164. - ( Kandidattekster i matematik ). — ISBN 0-387-94656-X .
A. Bufetov, A. Ya. Kanel . En ny elementær løsning på Warings problem. - Foundation. og appl. Mat., 3:4 (1997), 1239-1252
B. I. Segal, trigonometriske summer og nogle af deres anvendelser til talteori - indeholder en komplet udlægning af Hardy-Littlewood-metoden på russisk

Ordbøger og encyklopædier	Fantastisk catalansk Britannica (online)