Andritsas hypotese

Andricas hypotese er en hypotese vedrørende intervallerne mellem primtal , ifølge hvilken uligheden:

{\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}<1

gælder for alle , hvor er det -te primtal . Hvis betyder det -th interval , så kan Andricas formodning omskrives som: $n$ $p_n$ $n$ ${\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n))$ $n$

g_{n}<2{\sqrt {p_{n))}+1

Formuleret af den rumænske matematiker Dorin Andrica i 1986 [1] .

Empirisk bekræftelse

I begyndelsen af 2000'erne, ved hjælp af data om de største intervaller af primtal, blev hypotesen testet op til [2] . Ved at bruge en tabel med maksimale intervaller og en ulighed for intervaller kan du forlænge bekræftelsesværdien op til . $1{,}3002\times 10^{16}$ $4\ gange 10^{18}$

Der er en grafisk illustration af hypotesen: for en diskret funktion (Andritz-funktionen) observeres den største værdi ved punktet med værdien , og der er ingen større værdier blandt de første 10 5 primtal. Da Andritz-funktionen falder asymptotisk som , er formodningen sand med stor sandsynlighed, men forbliver ubevist. $A_{n}={\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}$ $n=4$ $A_{4}\approx 0{,}670873\dots$ $n$

Generaliseringer

Som en generalisering af Andrica-formodningen betragtes følgende lighed:

p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}=1,

hvor er det -te primtal, og kan være et hvilket som helst positivt (reelt) tal. $p_{n}$ $n$ $x$

Den størst mulige løsning for findes for , hvornår . Der er en hypotese om, at den mindste værdi er [3] , som er ved . $x$ $n=1$ $x_{\max }=1$ $x$ $x_{\min }\approx 0{,}567148\dots$ $n=30$

Denne formodning er formuleret som en ulighed , der generaliserer Andricas formodning:

p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}<1

for .

{\displaystyle x<x_{\min ))

Se også

Noter

↑ Andrica, 1986 , s. 44–48.
↑ Wells, 2005 , s. 13.
↑ OEIS -sekvens A038458 _

Litteratur

Richard K Guy . Uløste problemer i talteori. — 3. - Springer-Verlag , 2004. - ISBN 978-0-387-20860-2 .
Andrica D. Bemærkning om en formodning i primtalsteori // Studia Univ. Babes–Bolyai Math.. - 1986. - V. 31 , nr. 4 . — S. 44–48 . — ISSN 0252-1938 .
Primtal: De mest mystiske figurer i matematik. - John Wiley & Sons, Inc., 2005. - ISBN 0-471-46234-9 .

Links

Andricas formodning hos PlanetMath
Generaliseret Andrica-formodning Arkiveret 27. december 2019 på Wayback Machine hos PlanetMath
Weisstein, Eric W. Andrica's Conjecture (engelsk) på Wolfram MathWorld -webstedet .

Hypoteser om primtal
Hypoteser	Hardy - Littlewood Siden - Jugi Andritsy Artina Bateman-Horns hypotese Brocard Bunyakovsky kinesisk hypotese Kramer Dixon Elliot-Halberstam Firuzbekht Gilbraith Grimm Landau problemer Goldbach Legendre Tvillingtal Legendre konstant Lemoine Mersenne Opperman Polignac Poyi Redmond - Sunya Hypotese H Waringa