Zarembas hypotese

Zarembas formodning er et udsagn af talteori om repræsentationen af irreducerbare brøker i form af fortsatte brøker : der er en absolut konstant med følgende egenskab: for enhver eksisterer der sådan, at for ekspansion [1] : $\lambda$ $q\geqslant 2$ $a<q$ $(a,q)=1$

{\displaystyle {\frac {a}{q}}=[a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}]={\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac { 1}{a_{2}+{\frac {1}{\dots +{\frac {1}{a_{s))))))))))))

følgende uligheder gælder:

a_{i}\leqslant \Lambda ,\ i=1,\dots ,s

Den stærkeste formulering involverer værdien for en vilkårlig og værdien for tilstrækkelig stor . [2] . $\Lambda =5$ $q$ $\Lambda =3$ $q$

Hypotesen blev fremsat af Stanisław Zaremba Jr. ( Pol. Stanisław Krystyn Zaremba ) i 1972. Det vigtigste gennembrud i hendes forskning kommer fra 2014-opgaven af Burgain og Kontorovich ( tysk: Alex Kontorovich ), hvori den svage version af formodningen bevises for næsten alle tal. Efterfølgende er deres resultater forbedret mange gange.

Motivation

Historisk set opstod formodningen i forbindelse med søgen efter en optimal metode til numerisk integration i Monte Carlo-metodens ånd . Gennem begrænsningen på ufuldstændige kvotienter estimerede Zaremba gitterets karakteristika , som beskriver minimumsafstanden af dets punkter fra centrum af koordinaterne [3] . En række sovjetiske matematikere tænkte også over denne formodning i forbindelse med numerisk integration, men den blev ikke anført nogen steder i trykt form [4] .

Selve problemformuleringen er forbundet med diofantiske tilnærmelser . For at tilnærme et vilkårligt reelt tal med en brøk , er det kanoniske mål for kvalitet det tal , for hvilket (jo større , jo bedre tilnærmelse). Det er kendt, at rationaler bedst tilnærmes ved deres konvergenter , for hvilke estimatet er kendt . Da , i nærværelse af et ubetinget skøn, kan det tidligere skøn ikke være bedre end . Det er også nemt at opnå et lignende (op til et konstant) estimat nedefra, så Zarembas formodning er præcis udsagnet om eksistensen af irreducerbare dårligt tilnærmelige brøker med en hvilken som helst nævner. [5] $\alfa$ ${\frac {p}{q))$ $c$ ${\displaystyle {\Bigg \vert }{\alpha -{\frac {p}{q))}{\Bigg \vert }={\frac {1}{cq^{2))))$ $c$ $\alfa$ ${\frac {p_{n}}{q_{n}}}$ ${\Bigg \vert }{\alpha -{\frac {p_{n}}{q_{n}}}}{\Bigg \vert }\leqslant {\frac {1}{q_{n}q_ {n+1}}}$ ${\displaystyle q_{n+1}<(a_{n}+1)q_{n))$ $a_{n}\leqslant \Lambda$ ${\Bigg \vert }{\alpha -{\frac {p_{n}}{q_{n}}}}{\Bigg \vert }\leqslant {\frac {1}{(\Lambda +1 )q_{n}^{2}}}$

Generaliseringer

"Alfabeter" af ufuldstændige kvotienter

Et mere generelt spørgsmål overvejes ofte [6] : hvordan afhænger egenskaber (sæt af nævnere , for hvilke der er irreducerbare brøker med betingelsen for alle ) af alfabetet (et endeligt sæt af naturlige tal)? Især, for hvilken indeholder sættet næsten alle eller alle tilstrækkeligt store ? ${\mathcal {D}}_{\mathcal {A}}$ $q$ ${\frac {a}{q}}=[a_{1},\dots ,a_{s}]$ $a_{i}\in {\mathcal {A}}$ $i=1,\dots ,s$ ${\mathcal {A}}$ ${\mathcal {D}}_{\mathcal {A}}$ $q$

Hensleys formodning

Hensley overvejede i 1996 sammenhængen mellem restriktioner på ufuldstændige kvotienter med Hausdorff-dimensionen af de tilsvarende fraktioner og fremsatte en hypotese, som senere blev tilbagevist [7] :

Sættet indeholder alle tilstrækkeligt store tal, hvis og kun hvis ( er mængden af brøker fra intervallet , hvis partielle kvotienter ligger i alfabetet , er Hausdorff-dimensionen. ${\mathcal {D}}_{\mathcal {A}}$ $\dim _{H}({\mathfrak {C}}_{\mathcal {A}})>{\frac {1}{2}}$ ${\mathfrak {C}}_{\mathcal {A}}$ $(0;1)$ ${\mathcal {A}}$ $\dim _{H}$

Modeksemplet [8] er konstrueret til alfabetet : det er kendt at , men samtidig . ${\mathcal {A}}=\{2,4,6,8,10\}$ $\dim _{H}({\mathfrak {C}}_{\mathcal {A}})\ca. 0{,}517$ $4k+3\ikke \in {\mathcal {D}}_{\mathcal {A}}$

Bourgain og Kontorovich foreslog en svagere form for denne formodning, der involverede nævnere med yderligere begrænsninger. Samtidig beviste de sin tæthedsversion for en stærkere begrænsning end [9] . $d$ ${\frac {1}{2))$

Beregning af Hausdorff-dimensionen

Spørgsmålet om beregning af Hausdorff-dimensionen for formens alfabeter blev overvejet i teorien om diofantiske tilnærmelser længe før Zarembas formodning og stammer tilsyneladende fra arbejdet i 1928 [10] . I artiklen, hvor formodningen blev foreslået, beskrev Hensley en generel algoritme med polynomisk køretid baseret på følgende resultat [11] : for et givet alfabet kan en værdi beregnes med præcision i nogle få operationer. ${\mathcal {A}}=\{1,\dots ,N\}$ ${\mathcal {A}}$ $\dim _{H}({\mathfrak {C}}_{\mathcal {A}})$ $2^{{-N}}$ $O(N^{7})$

Der er en formodning om, at værdisættet af sådanne dimensioner er tæt overalt. Det er kendt fra computerberegninger, at afstanden mellem dets naboelementer i det mindste ikke er mindre [12] . $\{\dim _{H}({\mathfrak {C}}_{\mathcal {A}}):|{\mathcal {A}}|\leqslant \infty \}$ ${\frac {1}{50}}$

For alfabeter af successive tal opnåede Hensley estimatet:

\dim _{H}({\mathfrak {C}}_{\{1,\dots,N\}})=1-{\frac {6}{\pi ^{2}N}} -{\frac {72\log N}{\pi ^{4}N^{2}}}+O\venstre({\frac {1}{N^{2}}}\right)

Det er især fastslået, at:

\lim \limits _{N\to \infty }{\dim _{H}({\mathfrak {C}}_{\{1,\dots ,N\}})}=1

Denne kendsgerning blev i det væsentlige brugt i beviset for det centrale resultat af Bourgain og Kontorovich [13] .

Kampagner

Svage nøjagtige resultater

Niederreiter beviste formodningen for to potenser og tre potenser som og for fem potenser som [14] . $\Lambda =3$ $\Lambda =4$

Rukavishnikova, der udviklede et simpelt resultat af Korobov, viste eksistensen for enhver fraktion med betingelsen , hvor er Euler-funktionen [15] . $q$ ${\frac {a}{q}}=[a_{1},\dots ,a_{s}]$ $a_{i}<\varphi (q)\log q,\ i=1,\dots ,s$ $\varphi (q)$

Densitetsresultater

Den stærkeste og mest generelle er resultatet af Bourgain og Kontorovich:

|{\mathcal {D}}_{\{1,\dots ,50\}}\cap [1;N]|=Nej(N)

det vil sige, at Zarembas formodning med en parameter er sand for næsten alle tal. Deres resultat vedrørte ikke kun dette alfabet, men også enhver anden med betingelsen [16] . Efterfølgende blev deres resultat forbedret for og den resterende periode , hvor er en konstant [17] . $\Lambda =50$ $\dim({\mathfrak {C}}_{\mathcal {A}})>0{,}98397$ $\Lambda =5$ ${\displaystyle N^{-c))$ $c>0$

For svagere begrænsninger giver den samme metode mulighed for at vise, at sættet har en positiv tæthed. Især fra yderligere forbedringer vides det, at dette er sandt, når , herunder for [18] . ${\mathcal {D}}_{\mathcal {A}}$ $\dim({\mathfrak {C}}_{\mathcal {A}})>0,25({\sqrt {17}}-1)\ca. 0,7807...$ ${\mathcal {A}}=\{1,2,3,4\}$

Grænser med Hausdorff-dimension

Hensley viste, at hvis , så . Senere forbedrede Bourgain og Kontorovich denne ulighed til i stedet for . [19] Stærkere estimater blev senere opnået for individuelle værdiområder . Især er det kendt, at og at ved , har eksponenten tendens til enhed [20] . $\dim _{H}({\mathfrak {C}}_{\mathcal {A}})=\delta$ $|{\mathcal {D}}_{\mathcal {A}}\cap [1;N]|\gg N^{\delta }$ $\delta +{\frac {(2\delta -1)(1-\delta )}{5-\delta }}-o(1)$ $\delta$ $\delta$ $|{\mathcal {D}}_{\{1,2,3,5\}}\cap [1;N]|\gg N^{0.99}$ $\delta \to {\frac {{\sqrt {40}}-4}{3}}\ca. 0,7748...$

Det samlede antal brøker over et eller andet alfabet med nævnere, der ikke overstiger , op til en konstant, er [21] . $N$ $N^{2\delta }$

Modulær version

Hensley fandt ud af, at nævnerne af brøker, der opfylder Zaremba-hypotesen, er ensartet fordelt (under hensyntagen til multipliciteten) modulo . [22] Dette indebærer især eksistensen af sådanne brøker med nævnere lig med nul (og enhver anden værdi) modulo en eller anden.

En konsekvens af resultatet af Hensley (1994): for enhver eksisterer der en funktion, således at for enhver : eksisterer der en irreducerbar brøk , hvis ufuldstændige kvotienter er afgrænset af . $\Lambda \geq 2$ $q=q_{\Lambda }(n)\equiv 0{\pmod {n))$ $n$ ${\frac {a}{q))$ $\lambda$

I dette tilfælde ville denne påstand svare til Zarembas formodning. Senere, for primtal , blev estimater af væksthastigheden i ekstreme tilfælde opnået: $q_{\Lambda }(n)=n$ $n$ $q_{\Lambda }(n)$

for nogle konstante er det sandt, at [23] ; $c$ $q_{2}(n)=O(n^{c})$

for enhver findes der en tilstrækkelig stor sådan, at [24] . $\varepsilon >0$ $\lambda$ $q_{\Lambda }(n)=O(n^{1+\varepsilon })$

Forskningsmetoder

Moderne metoder, der går tilbage til papiret af Bourgain og Kontorovich, overvejer Zaremba-formodningen på sproget med 2x2- matricer og studerer de tilsvarende egenskaber af matrixgrupper . På grund af forholdet mellem konvergenter kan udvidelsen skrives som et produkt af matricer: ${\frac {a}{q}}=[a_{1},\dots ,a_{s}]$

{\begin{pmatrix}*&a\\*&q\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&a_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\ 1&a_{2}\end{pmatrix}}\dots {\begin{pmatrix}0&1\\1&a_{s}\end{pmatrix}}\

hvor asteriskerne i den første matrix lukker tallene, hvis værdi ikke er afgørende.

Guidet af dette studerer vi gruppen genereret af matricer af formen:

{\begin{pmatrix}0&1\\1&a\end{pmatrix)){\begin{pmatrix}0&1\\1&a'\end{pmatrix)),\ a,a'\in {\mathcal {A} }

for tilstedeværelsen af matricer i den med en eller anden værdi i nederste højre position. For at analysere fordelingen af sådanne værdier bruges trigonometriske summer , nemlig specielle analoger af Fourier-koefficienterne [25] .

Brugen af sådanne værktøjer, samt arbejdet faktisk med produktsæt (hvor sættets elementer er matricer) giver problemet en aritmetisk-kombinatorisk karakter.

Noter

↑ Ifølge den generelle teori om fortsatte brøker er en sådan udvidelse unik.
↑ Borosh, Niederreiter, 1983 , s. 69
↑ Niederreiter, 1978 , s. 988-989, se også beskrivelsen af begrebet ”gode gitterpunkter” på s. 986
↑ Kan, Frolenkov, 2014 , s. 88
↑ Korobov, 1963 , s. 25, Lemma 5
↑ Bourgain, Kontorovich, 2014 , afsnit 1
↑ Hensley, 1996 , s. 16, hypotese 3
↑ Bourgain, Kontorovich, 2014 , se formodning 1.3 og kommentaren efter den
↑ Bourgain, Kontorovich, 2014 , formodning 1.7, sætning 1.8
↑ Se andet afsnit i Good, 1941
↑ Hensley, 1996 , s. 44, sætning 3
↑ Jenkinson, 2004 , se afsnit 4 for en oversigt over beregningsresultater, og afsnit 5 for et resultat om tæthedsfordelingen af værdier $\dim _{H}({\mathfrak {C}}_{\mathcal {A}})$
↑ Bourgain, Kontorovich, 2014 , note 1.11
↑ Niederreiter, 1986 .
↑ Moshchevitin, 2012 , s. 23, afsnit 5.1
↑ Bourgain, Kontorovich, 2014 , note 1.20
↑ Magee, Oh, Winter, 2019 , s. 92.
↑ Kahn, 2017 .
↑ Bourgain, Kontorovich, 2014 , bemærkning 1.15, sætning 1.23
↑ Kahn, 2020 , se ibid for en oversigt over resultater for andre værdier $\delta$
↑ Bourgain, Kontorovich, 2014 , note 1.13
↑ Hensley, 1994 , s. 54, følge 3.
↑ Moshchevitin, Shkredov, 2019 , sætning 2
↑ Shkredov, 2020 , sætning 5
↑ Bourgain, Kontorovich, 2014 , s. 142-144

Litteratur

I. J. Godt. Den brøkdimensionelle teori om fortsatte brøker // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. - 1941. - Bd. 37 , udg. 3 . — S. 199–228 .
N.M. Korobov. Talteoretiske metoder i tilnærmet analyse. - M. : Fizmatgiz, 1963. - 224 s.
H. Niederreiter. Quasi-Monte Carlo-metoder og pseudo-tilfældige tal (engelsk) // Bull. amer. Matematik. Soc.. - 1978. - Vol. 84 , udg. 6 . — S. 957–1041 .
I. Borosh & H. Niederreiter. Optimale multiplikatorer til generering af pseudo-tilfældige tal ved den lineære kongruentielle metode // BIT Numerisk matematik. - 1983. - Bd. 23 . — S. 65–74 .
H. Niederreiter. Dyadiske brøker med små partielle kvotienter // Monatshefte für Mathematik. - 1986. - Bd. 101 . — S. 309–315 .
D. Hensley. Fordelingsmoden for brøker med afgrænsede partielle kvotienter $n$ // Pacific Journal of Mathematics. - 1994. - Bd. 166 , udg. 1 . — S. 43–54 .
D. Hensley. En polynomisk tidsalgoritme for Hausdorff-dimensionen af fortsatte brøkkantorsæt // Journal of Number Theory. - 1996. - Bd. 58 , udg. 1 . — S. 9–45 .
O Jenkinson. Om tætheden af Hausdorff-dimensioner af afgrænset type fortsatte fraktionssæt: den texanske formodning // Stokastik og dynamik. - 2004. - Bd. 4 , iss. 1 . — S. 63–76 .
NG Moshchevitin. Om nogle åbne problemer i diofantisk tilnærmelse . - 2012. - arXiv : 1202.4539v5 .
J. Bourgain, A. Kontorovich. Om Zarembas formodning // Annals of Mathematics. - 2014. - Bd. 180 . - S. 137-196 . - arXiv : 1107.3776v2 .
I. D. Kan, D. A. Frolenkov. Styrkelse af Burgain-Kontorovich-sætningen // Izvestiya RAN. - 2014. - T. 78 , no. 2 . — s. 87–144 . (Russisk)
I. D. Kan. Styrkelse af Bourgain-Kontorovich-sætningen. V // Proceedings of the Steklov Matematisk Institut. - 2017. - T. 296 . — s. 133–139 . (Russisk)
M. Magee, H. Åh, D. Winter. Ensartet kongruenstælling for Schottky-semigrupper i $SL_{2}({\mathbb {Z} })$ // Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal) . - 2019. - Bd. 2019 , udg. 753 . — S. 89–135 . - arXiv : 1601.03705 .
NG Moshchevitin, ID Shkredov. På en modulær form af Zarembas formodning . - 2019. - arXiv : 1911.07487 .
I. D. Kan. Styrkelse af en Bourgain-Kontorovich-sætning // Far Eastern Mathematical Journal. - 2020. - Vol. 20 , nr. 2 . — S. 164–190 . (Russisk)
ID Shkredov. Vækst i Chevalley-grupper i forhold til parabolske undergrupper og nogle applikationer . - 2020. - arXiv : 2003.12785 .