Diofantisk ligning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 20. februar 2022; checks kræver 3 redigeringer .

En diofantligning (også en ligning i heltal ) er en ligning af formen

P(x_{1},\dots,x_{m})=0,

hvor er en heltalsfunktion , for eksempel et polynomium med heltalskoefficienter, og variablerne tager heltalsværdier. Den "Diophantinske" ligning er opkaldt efter den antikke græske matematiker Diophantus . $P$ $x_{i}$

Også, når man overvejer spørgsmålet om løselighed, er variabler ofte opdelt i parametre (hvis værdierne antages at være faste) og ukendte. Altså ligningen

P(a_{1},\dots,a_{n},x_{1},\dots,x_{m})=0,

med parametre og ukendte anses for at kunne løses for de givne værdier af sættet af parametre, hvis der findes et sæt tal, for hvilke denne lighed bliver sand. $a_{1},\dots ,a_{n}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m))$ $(a_{1},\dots,a_{n})$ $(x_{1},\dots,x_{m})$

Diophantiske ligninger kaldes således ligninger med heltalskoefficienter, for hvilke det er nødvendigt at finde heltal (eller naturlige) løsninger. I dette tilfælde skal antallet af ubekendte i ligningen være mindst to [1] . Ligningerne fik deres navn til ære for den fremragende gamle matematiker Diophantus af Alexandria , som menes at være den første til systematisk at studere ubestemte ligninger og beskrive metoder til at løse dem [2] . Alle overlevende optegnelser er samlet i bogen "Aritmetik" [3] . Efter Diophantus blev en lignende undersøgelse af ubestemte ligninger udført af hinduistiske matematikere, startende omkring det femte århundrede [4] . I Europa var praktisk talt alle større algebraister på deres tid engageret i at løse ubestemte ligninger: Leonardo Fibonacci (ca. 1170-1250), Francois Viet (1540-1603), Simon Stevin (ca. 1549-1620) [5] .

Problemet med at løse ligninger i heltal betragtes til slutningen for ligninger med én ukendt, såvel som for ligninger af første og anden grad med to ukendte.

Eksempler

$x^{n}+y^{n}=z^{n}$ :
- Løsningerne til denne ligning er Pythagoras tripler . $n=2$
- Ifølge Fermats sidste sætning har denne ligning ingen heltalsløsninger, der ikke er nul . $n>2$
$\sum \limits _{{k=1}}^{{n-1}}a_{k}^{n}=a_{n}^{n}$ - Eulers hypotese siger, at for ethvert naturligt tal n > 2 er denne ligning uløselig i naturlige tal , det vil sige, at ingen n . potens af et naturligt tal kan repræsenteres som en sum af n -1 n . potens af andre naturlige tal. Hypotesen er en generalisering af Fermats sidste sætning, men blev tilbagevist for n = 4 og n = 5, hvorefter Lander-Parkin-Selfridge-formodningen blev fremsat . $a_{1},a_{2},\dots,a_{n}$
$x^{2}-ny^{2}=1$ , hvor parameteren n ikke er et nøjagtigt kvadrat - Pells ligning .
$x^{z}-y^{t}=1$ , hvor , er den catalanske ligning , som har en unik løsning . $z,t>1$ $3^{2}-2^{3}=1$
$\sum _{{i=0}}^{n}a_{i}x^{i}y^{{ni}}=c$ for og er Thue-ligningen . $n\geq 3$ $c\neq 0$

Lineære diofantiske ligninger

Generelt billede af den lineære diophantinske ligning :

a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\ldots +a_{k}x_{k}=d.

Især en lineær diofantisk ligning med to ukendte har formen:

ax+by=c.\qquad (1)

Hvis (det vil sige den største fælles divisor ikke deler ), så er ligning (1) ikke opløselig i heltal. Faktisk, hvis , så er tallet til venstre i (1) deleligt med , men tallet til højre er det ikke. Det omvendte er også sandt: Hvis ligningen holder , så er den løselig i heltal. $(a,b)\nmidt c$ $(a,\;b)$ $c$ $(a,\;b)\neq 1$ $(a,\;b)$ $økse+by=c$ $(a,b)\midt c$

Lad være en bestemt løsning af ligningen . Så findes alle dets løsninger ved formlerne: $(x_{0},\;y_{0})$ $økse+by=c$

{\begin{cases}x=x_{0}-n{\frac {b}{(a,\;b)}}\\y=y_{0}+n{\frac {a}{ (a,\;b)}}\end{cases}}\quad n\in \mathbb {Z} .

En særlig løsning kan konstrueres som følger. Hvis og er deleligt med , så efter at have divideret alle koefficienterne med ligningen tager formen , hvor . For den sidste ligning opnås en bestemt løsning fra Bezout-relationen for : $(x_{0},\;y_{0})$ $(a,b)\neq 1$ $c$ $(a,b)$ $(a,b)$ $a_{1}x+b_{1}y=c_{1}$ $(a_{1},b_{1})=1$ $a_{1},b_{1}$

ua_{1}+vb_{1}=1,

hvorfra man kan sætte $(x_{0},\;y_{0})=(c_{1}\cdot u,\;c_{1}\cdot v).$

Der er en eksplicit formel for en række løsninger af en lineær ligning [6] :

{\begin{cases}x_{t}=ca^{\varphi (b)-1}+bt,\\y_{t}=c{\frac {1-a^{\varphi (b) }}{b}}-at,\end{cases}}

hvor er Euler-funktionen og t er en vilkårlig heltalsparameter. $\varphi (\cdot)$

Algebraiske diofantiske ligninger

Når man overvejer spørgsmålet om opløseligheden af algebraiske diophantiske ligninger, kan man bruge det faktum, at ethvert system af sådanne ligninger kan omdannes til én diofantligning med højst 4 grader i ikke-negative heltal, der kan løses, hvis og kun hvis det oprindelige system er løselig (i dette tilfælde kan mængden af variable og mængdeløsningerne i denne nye ligning vise sig at være helt forskellige).

Diophantine sæt

Et diofantisk sæt er et sæt bestående af ordnede sæt af n heltal, for hvilket der er en algebraisk diofantisk ligning:

P(a_{1},\dots,a_{n},x_{1},\dots,x_{m})=0,

som kan løses, hvis og kun hvis mængden af tal hører til dette sæt. Den diofantiske ligning, der overvejes, kaldes den diofantiske repræsentation af dette sæt. Et vigtigt resultat opnået af Yu. V. Matiyasevich er, at hvert talrige sæt har en diofantisk repræsentation [7] . $(a_{1},\dots,a_{n})$

Generel uafgørelighed

Hilberts tiende problem , formuleret i 1900 , er at finde en algoritme til løsning af vilkårlige algebraiske diophantiske ligninger. I 1970 beviste Yu. V. Matiyasevich den algoritmiske uløselighed af dette problem. [otte]

Eksponentielle diophantiske ligninger

Hvis en eller flere variabler i en diofantligning indgår i udtrykket for eksponenten for at hæve til en potens , kaldes en sådan diofantligning eksponentiel .

Eksempler:

Der er ingen generel teori til løsning af sådanne ligninger; særlige tilfælde, såsom den catalanske hypotese , er blevet undersøgt. De fleste af disse ligninger formår dog stadig at blive løst ved hjælp af specielle metoder, såsom Sturmer-sætningen eller endda trial and error .

Se også

Noter

↑ . Abakumova SI, Guseva AN Diofantiske ligninger Fundamental og anvendt forskning i den moderne verden. - 2014. - V. 1, nr. 6. - S. 133-137.
↑ Bashmakova I. G. Diophantine og Diophantine ligninger - Moskva: Nauka, 1972. - 68 s.
↑ Zhmurova, I. Yu. Diofantiske ligninger: fra antikken til nutiden. Ung videnskabsmand. - 2014. - Nr. 9. -S. 1-5
↑ Kozhaev, Yu. P. Græsk matematiker Diophantus og diophantiske ligninger. Materialer fra den IV all-russiske videnskabelige og praktiske konference "Kultur og samfund: historie og modernitet" - Stavropol: AGRUS. - 2015. - S. 150-154.
↑ Melnikov R. A. Kort gennemgang af udviklingsstadierne for diofantiske ligninger. Proceedings fra den internationale videnskabelige-praktiske konference "Matematik: grundlæggende og anvendt forskning og uddannelse" - Ryazan: Forlag af det russiske statsuniversitet. S. A. Yesenina, 2016. - S. 429-435.
↑ Vorobyov N. N. Tegn på delelighed . - M. : Nauka, 1988. - S. 60. - 96 s. - ( Populære foredrag om matematik ).
↑ Diophantine sæt - artikel fra Encyclopedia of Mathematics . Yu. V. Matiyasevich
↑ Matiyasevich Yu. V. Hilberts tiende problem . — M .: Nauka, 1993.

Links

Bashmakova, Isabella G. Diofantiske og diofantiske ligninger. M.: Nauka, 1972. Tysk oversættelse: Diophant und diophantische Gleichungen . Birkhauser, Basel/Stuttgart, 1974. Engelsk oversættelse: Diophantus and Diophantine Equations . Oversat af Abe Shenitzer med redaktionel assistance fra Hardy Grant og opdateret af Joseph Silverman. The Dolciani Mathematical Expositions, 20. Mathematical Association of America, Washington, DC. 1997.
Bashmakova, Isabella G., Slavutin E.I. En historie om diophantisk analyse fra Diophantus til Fermat . Moskva: Nauka, 1984.
Bashmakova, Izabella G. "Diophante et Fermat," Revue d'Histoire des Sciences 19 (1966), pp. 289-306
Bashmakova, Izabella G. "Arithmetic of Algebraic Curves from Diophantus to Poincaré," Historia Mathematica 8 (1981), 393-416.
Gelfond AO Løsning af ligninger i heltal . - M . : Nauka, 1978. - ( Populære forelæsninger om matematik ).
Mikhailov, I. On Diophantine Analysis , Kvant . - 1980. - Nr. 6 . - S. 16-17.35 .
Rashed, Roshdi, Houzel, Christian. Les Arithmétiques de Diophante: Lecture historique et mathématique , Berlin, New York: Walter de Gruyter, 2013.
Rashed, Roshdi, Histoire de l'analyse diophantienne classique: D'Abū Kāmil à Fermat , Berlin, New York: Walter de Gruyter.
Serpinsky VN Om løsningen af ligninger i heltal . - M. : Fizmatlit, 1961. - 88 s.
Stepanov S. A. Diofantiske ligninger // Tr. MIAN USSR. - 1984. - T. 168 . — s. 31–45 .
Weisstein, Eric W. Diophantine Equation (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .