Begrænse cyklus

Grænsecyklussen er en af ​​de mulige muligheder for systemets stationære tilstand i teorien om dynamiske systemer og differentialligninger ; grænsecyklussen for et vektorfelt på faseplanet eller mere generelt på en eller anden todimensional manifold er en lukket (periodisk) bane for dette vektorfelt, i nærheden af ​​hvilken der ikke er andre periodiske baner. Tilsvarende er påstanden om, at enhver bane tæt nok på grænsecyklussen tenderer til den enten i direkte eller omvendt tid.

Poincaré-Bendixson- og Andronov-Pontryagin- sætningerne angiver, at et typisk system med kontinuerlig tid på et plan (fysisk set, hvis tilstand er givet af to reelle parametre, f.eks. spænding og strøm, eller positionen og hastigheden af ​​et punkt på en lige linje linje) kan kun vende mod en ligevægtsposition eller til grænsecyklussen.

Dynamik i nærheden af ​​grænsecyklussen

Som det følger af definitionen, er grænsecyklussen på hver side enten frastødende eller attraktiv. Hvis adfærden er den samme på begge sider, kaldes cyklussen henholdsvis frastødende eller attraktiv . Hvis der på den ene side er tiltrækning, og på den anden side frastødning, taler de om en semi -stabil cyklus.

Opførselen af ​​baner tæt på grænsecyklussen er beskrevet af Poincaré-kortlægningen på segmentet på tværs af cyklussen - for denne kortlægning er det punkt, der svarer til cyklussen, fast. En cyklus er således attraktiv eller frastødende, hvis og kun hvis dette punkt er henholdsvis attraktivt eller frastødende. En cyklus kaldes hyperbolsk , hvis det tilsvarende fikspunkt er hyperbolsk - det vil sige, at det har en afledt forskellig fra . I dette tilfælde, hvis modulo-derivatet er større end 1, er cyklussen ustabil, hvis mindre, er den stabil.

Det er værd at bemærke, at Poincaré-kortet sædvanligvis - især for dynamik på et plan eller på en kugle (generelt kun med undtagelse af tilfældet med dynamik på en ikke-orienterbar manifold) - bevarer orienteringen, så man taler ofte blot om den afledte af Poincaré-kortet uden at specificere at tage dets modul separat.

Hyperbolske grænsecyklusser ødelægges ikke af små forstyrrelser - hvis det oprindelige vektorfelt havde en hyperbolsk grænsecyklus, så vil ethvert felt tæt på det også have en hyperbolsk grænsecyklus tæt på den oprindelige.

Bifurkationer

Sadel node bifurkation

Den enkleste bifurkation forbundet med grænsecyklusser er sadelknudeforgrening : to hyperbolske grænsecyklusser, frastødende og attraktive, nærmer sig hinanden. I bifurkationsøjeblikket smelter de sammen og danner en semi-stabil cyklus, som forsvinder med en yderligere ændring i parameteren.

Fra et kompleksiseringssynspunkt (i tilfælde af et analytisk vektorfelt) kan denne bifurkation betragtes som en afgang fra grænsecyklussen til det komplekse domæne .

Blue sky disaster

Men på Klein-flasken eller når man overvejer komplekse grænsecyklusser, er en mere kompleks bifurkation også mulig - den såkaldte blå himmel-katastrofe . Nemlig, når parameteren tenderer til den kritiske værdi, begynder længden af ​​(én!) grænsecyklus at vokse, tenderende til det uendelige, og derfor fortsætter den ikke til selve bifurkationsmomentet.

Fysisk eksempel: Van der Pol oscillator

Hilberts 16. problem

Den anden del af Hilberts 16. problem vedrører det mulige antal og arrangementet af grænsecyklusser for polynomiske vektorfelter i planet. I modsætning til den første, algebraiske, del, som kræver at beskrive arrangementet af ovaler af en algebraisk kurve af en given grad, selv for kvadratiske vektorfelter, er eksistensen af ​​en ensartet øvre grænse for antallet af grænsecyklusser ukendt.

Se også

Litteratur