Lotka-Volterra model

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 13. marts 2021; checks kræver 3 redigeringer .

Lotka-Volterra- modellen (Lotka-Volterra-modellen [1] ) er en rovdyr-bytte-type interaktionsmodel opkaldt efter dens forfattere ( Lotka , 1925 ; Volterra 1926 ), som foreslog modelligninger uafhængigt af hinanden.

Sådanne ligninger kan bruges til at modellere rovdyr-bytte , parasit -vært- systemer, konkurrence og andre former for interaktion mellem to arter [2] .

I matematisk form har det foreslåede system følgende form:

{\frac {dx}{dt}}=(\alpha -\beta y)x

{\frac {dy}{dt}}=(-\gamma +\delta x)y

hvor er antallet af ofre, er antallet af rovdyr, er tid og er koefficienter, der afspejler interaktioner mellem arter. $x$ $y$ $t$ $\alfa ,\beta ,\gamma ,\delta$

Løsning af et ligningssystem

Udtalelse af problemet

Et lukket område overvejes, hvor to arter lever - planteædere ("ofre") og rovdyr. Det antages, at dyr ikke immigrerer eller emigrerer , og at der er rigeligt med føde til planteædere. Så har ligningen for at ændre antallet af ofre (eksklusive rovdyr) formen:

{\frac {dx}{dt}}=\alpha x

hvor er fødselsraten for ofrene, er størrelsen af befolkningen af ofre, er vækstraten for befolkningen af ofre. $\alfa$ $x$ ${\tfrac {dx}{dt))$

Mens rovdyr ikke jager, dør de ud, derfor har ligningen for antallet af rovdyr (uden at tage hensyn til antallet af byttedyr) formen:

{\frac {dy}{dt}}=-\gamma y

hvor er koefficienten for tab af rovdyr, er størrelsen af bestanden af rovdyr, er stigningshastigheden i bestanden af rovdyr. $\gamma$ $y$ ${\tfrac {dy}{dt))$

Når rovdyr og bytte mødes (hvis hyppigheden er direkte proportional med værdien ), dræbes byttet med en koefficient , mens velnærede rovdyr er i stand til at formere sig med en koefficient . Med dette i tankerne er modellens ligningssystem som følger: $xy$ $\beta$ $\delta$

{\begin{cases}{\dfrac {dx}{dt}}=\alpha x-\beta xy=(\alpha -\beta y)x\\{\dfrac {dy}{dt}}= -\gamma y+\delta xy=(\delta x-\gamma )y\end{cases}}

Løsning af problemet

Find den stationære position af systemet

For en stationær position er ændringen i befolkningsstørrelse nul. Følgelig: ${\bar {x}}>0,{\bar {y}}>0$

\alpha {\bar {x}}-\beta {\bar {x}}{\bar {y}}=0

-\gamma {\bar {y}}+\delta {\bar {x}}{\bar {y}}=0

hvoraf det følger, at det stationære punkt i systemet, omkring hvilket svingninger opstår, bestemmes som følger:

{\bar {x}}={\frac {\gamma }{\delta }}

{\bar {y}}={\frac {\alpha }{\beta }}

. Angivelse af afvigelse i systemet

Når vi introducerer oscillationer og ind i systemet , kan deres kvadrater, terninger og efterfølgende potenser ( ) på grund af deres lille størrelse ignoreres. Således er populationer og med små afvigelser beskrevet med følgende udtryk: ${\tilde {x}}\ll {\bar {x}}$ ${\tilde {y}}\ll {\bar {y}}$ ${\tilde {x}}^{n}$ $x$ $y$