Vektor mængde

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 2. december 2020; checks kræver 6 redigeringer .

En vektormængde  er en fysisk størrelse , der er en vektor ( en tensor af rang 1). På den ene side er det i modsætning til skalar (tensorer af rang 0), på den anden side til tensor- mængder (strengt taget, til tensorer af rang 2 eller mere). Det kan også stå i modsætning til visse objekter af en helt anden matematisk karakter.

I de fleste tilfælde bruges udtrykket vektor i fysik til at betegne en vektor i det såkaldte "fysiske rum", det vil sige i det sædvanlige tredimensionelle rum i klassisk fysik eller i firedimensionel [1] rumtid i moderne fysik (i sidstnævnte tilfælde falder begrebet en vektor og en vektormængde sammen med begreber om en 4-vektor og en 4-vektor størrelse).

Brugen af ​​udtrykket "vektormængde" er praktisk talt udtømt af dette. Med hensyn til brugen af ​​udtrykket "vektor", på trods af tilbøjeligheden som standard til det samme anvendelsesområde, går det i et stort antal tilfælde stadig meget langt ud over sådanne grænser. Se nedenfor for mere om dette.

Brug af begreberne vektor og vektormængde i fysik

På trods af at forståelsen af ​​vektoren fra de fysiske og matematiske sider praktisk talt er den samme, opstår terminologisk specificitet på grund af forskellige grader af abstraktion.

Med hensyn til fysik i matematik er begrebet vektor overflødigt: enhver vektor kan have enhver natur, uendeligt abstrakt rum og dimension. Når der kræves detaljer, er det enten nødvendigt at specificere udførligt eller tage hensyn til den eksplicit beskrevne kontekst, hvilket ofte fører til forvirring.

I fysik taler vi dog næsten altid ikke om matematiske objekter (der har visse formelle egenskaber) generelt, men om deres specifikke, specifikke, "fysiske" binding. I betragtning af disse konkrete betragtninger med hensyn til korthed og bekvemmelighed kan man forstå, at terminologisk praksis i fysik adskiller sig markant fra matematisk praksis. Det indgår dog ikke i en klar modsigelse med sidstnævnte. Dette kan opnås på flere simple måder. Først og fremmest er det en konvention, at der er en vis brug af standardbegrebet - i en implicit sammenhæng. Så i fysik, i modsætning til matematik, forstås ordet vektor normalt ikke som "en vektor af ethvert lineært rum generelt", men først og fremmest som en vektor, der er forbundet med "almindeligt fysisk rum" (tredimensionelt rum i klassisk fysik eller firedimensionel rum-tid [2] relativistisk fysik). For vektorer af rum, der ikke er direkte og direkte relateret til "fysisk rum" eller "rum-tid", skal du blot bruge specielle navne (nogle gange inklusive ordet "vektor", men med præcisering). Hvis en vektor af et eller andet rum, der ikke er direkte og direkte relateret til "fysisk rum" eller "rum-tid" (og som er vanskelig umiddelbart at karakterisere på nogen bestemt måde) introduceres i teorien, beskrives den ofte specifikt som en "abstrakt vektor".

Alt ovenstående, endda mere end udtrykket "vektor", gælder for udtrykket "vektormængde". Standarden i dette tilfælde indebærer endnu tydeligere en binding til "almindeligt rum" eller rum-tid, og brugen af ​​abstrakte vektorrum i forhold til elementer er næsten aldrig stødt på (i det mindste er det en meget sjælden undtagelse).

I fysik kaldes vektorer oftest (og vektormængder - næsten altid) vektorer af to lignende klasser:

  1. i klassisk fysik (klassisk mekanik, elektrodynamik i den klassiske tredimensionelle formulering og inden for andre områder af fysikken, hovedsageligt dannet før begyndelsen af ​​det 20. århundrede), kaldes vektorstørrelser eller blot vektorer normalt vektorer af almindeligt tredimensionelt rum - at er, almindelige "geometriske" vektorer eller, at være, kan afvige fra dem med en skalar faktor (herunder en dimensionsfaktor). Selvom der i disse fysikområder faktisk blev brugt forskellige objekter identificeret af moderne matematik som vektorer, fik dette i fysisk terminologi en meget lille respons (for eksempel er Fourier-transformationen i klassisk elektrodynamik og den klassiske teori om kontinuum meget intensivt brugt, men traditionelt betragtes næsten ikke i sammenhængen klassisk med brugen af ​​ordet "vektor" i forhold til funktioner, selvom det ud fra et matematisk synspunkt ville være ret lovligt [3] ). Måske er den eneste bemærkelsesværdige undtagelse fra reglen den ret frie drift af vektorerne af elementerne i fase- eller konfigurationsrummene [4] .
  2. i relativistisk fysik [5] (begyndende med Poincaré, Planck og Minkowski) og i høj grad i moderne teoretisk fysik forstås vektorer og vektorstørrelser primært som vektorer af firedimensionel rumtid [6] og er direkte relateret til den (som adskiller sig ved skalar multiplikator af 4-forskydningsvektorer) er 4-vektorer .
  3. i kvantemekanik, kvantefeltteori osv., er ordet "vektor" også blevet standard brugt til at referere til et sådant objekt som en tilstandsvektor . Denne vektor kan i princippet have enhver dimension, og som regel er den uendelig-dimensionel. Der er dog praktisk talt ingen forvirring, da ordet vektor udelukkende bruges i en stabil kombinationstilstandsvektor , og aldrig separat, undtagen måske i tilfælde, hvor konteksten allerede er så åbenlys, at forvirring simpelthen er umulig (f.eks. når en enkelt ordvektor bruges gentagne gange i forhold til et objekt , som lige før blev navngivet som en tilstandsvektor eller ved at bruge utvetydige specifikke betegnelser - såsom Dirac-parenteser - eller deres tilsvarende termer. Specialord bruges til en række vektorer af specifikke rum (f.eks. som for eksempel spinorer ) eller eksplicitte navne (farverumsvektor, isotopisk spin). Desuden anvendes udtrykket "vektormængde" næsten aldrig på sådanne abstrakte vektorer. Alt dette gjorde det muligt for udtrykket "vektor" at bevare, måske, sin hovedbetydning - betydningen af ​​4-vektoren Det er denne betydningen er indlejret i termerne vektorfelt , vektor partikel ( vektorboson , vektor meson ). Ordet "skalær" har også en konjugeret betydning i sådanne termer .


Eksempler på vektorfysiske størrelser: hastighed , kraft , varmeflux .

Genesis af vektormængder

Hvordan er fysiske "vektormængder" bundet til rummet? Først og fremmest er det slående, at dimensionen af ​​vektorstørrelser (i den sædvanlige betydning af brugen af ​​dette udtryk, som er forklaret ovenfor) falder sammen med dimensionen af ​​det samme "fysiske" (og "geometriske") rum, f.eks. , rummet er tredimensionelt, og de elektriske vektorfelter er tredimensionelle. Intuitivt kan man også bemærke, at enhver fysisk vektorstørrelse, uanset hvor vag den er forbundet med den sædvanlige rumlige udvidelse, alligevel har en ganske bestemt retning i dette almindelige rum.

Det viser sig dog, at meget mere kan opnås ved direkte at "reducere" hele sættet af vektormængder af fysik til de enkleste "geometriske" vektorer, eller rettere sagt, endda til én vektor - vektoren for elementær forskydning, men det ville være mere korrekt at sige - ved at udlede dem alle deraf.

Denne procedure har to forskellige (selv om de i det væsentlige gentager hinanden i detaljer) implementeringer for det tredimensionelle tilfælde af klassisk fysik og for den firedimensionelle rum-tid-formulering, der er fælles for moderne fysik.

Den klassiske tredimensionelle sag

Vi vil gå ud fra det sædvanlige tredimensionelle "geometriske" rum, hvor vi lever og kan bevæge os.

Lad os tage den infinitesimale forskydningsvektor som den initiale og eksemplariske vektor. Det er ret indlysende, at dette er en regulær "geometrisk" vektor (såvel som en endelig forskydningsvektor).

Nu bemærker vi med det samme, at gange en vektor med en skalar altid giver en ny vektor. Det samme kan siges om summen og forskellen af ​​vektorer. I dette kapitel vil vi ikke skelne mellem polære og aksiale vektorer [7] , så vi bemærker, at krydsproduktet af to vektorer også giver en ny vektor.

Den nye vektor giver også differentieringen af ​​en vektor i forhold til en skalar (da en sådan derivat er grænsen for forholdet mellem forskellen mellem vektorer og en skalar). Dette kan siges yderligere om derivaterne af alle højere ordener. Det samme gælder for integration over skalarer (tid, volumen).

Nu bemærker vi, at startende fra radiusvektoren r eller fra den elementære forskydning d r , forstår vi let, at vektorerne er (da tiden er en skalar) sådanne kinematiske størrelser som

Fra hastighed og acceleration, ganget med en skalar (masse), fremkommer

Da vi nu også er interesserede i pseudovektorer, bemærker vi det

Ved at fortsætte denne procedure finder vi ud af, at alle vektormængder, vi kender, nu ikke kun intuitivt, men også formelt, er bundet til det oprindelige rum. De er nemlig alle i en vis forstand dets elementer, da de i det væsentlige udtrykkes som lineære kombinationer af andre vektorer (med skalære faktorer, muligvis dimensionelle, men skalære, og derfor formelt set ret lovlige).

Den moderne firedimensionelle sag

Den samme procedure kan udføres med udgangspunkt i en firedimensionel forskydning. Det viser sig, at alle 4-vektor-størrelser "kommer" fra 4-forskydning, og er derfor i en vis forstand de samme vektorer af rum-tid som selve 4-forskydningen.

Typer af vektorer i relation til fysik

Noter

  1. ↑ I mange moderne teorier er dimensionen af ​​den fundamentale rumtid større end 4; i princippet ændrer dette sig dog en hel del, desuden har ingen af ​​disse teorier endnu nået status som generelt accepteret og tilstrækkeligt bekræftet.
  2. ↑ I mange moderne teorier, for eksempel i strengteori , er rum-tid ikke 4-dimensionel, men har flere dimensioner, dog er det oftest en ret direkte og simpel generalisering af dens 4-dimensionelle prototype, og muligheden for Forvirring er praktisk taget udelukket af konteksten af ​​disse teorier selv (for ikke at nævne det faktum, at dimensionen så ofte er angivet eksplicit, og bortset fra dimensionen antages der ikke forskelle fra det sædvanlige rum-tid).
  3. ↑ For at undgå modsætninger mellem fysisk og matematisk terminologi er der sådan en måde: i stedet for udtrykket "vektor af sådan og sådan et rum", kan du bruge en synonym - "element af sådan og sådan et rum". Matematisk er det fuldstændig ækvivalent, men skaber ikke forvirring, når det bruges sammen med terminologiske traditioner, der er typiske for fysik.
  4. ↑ det er svært at sige, hvad der i højere grad tjente dette: det faktum, at disse rum (især de konfigurationsmæssige) synes at være en for direkte generalisering af det almindelige fysiske rum, i særlige tilfælde, blot med det sidste sammenfaldende, eller at teoretisk mekanik, hvor disse begreber opstod, betragtes ikke som en gren af ​​fysik, men af ​​matematik.
  5. ↑ Relativistisk fysik refererer her primært til den standard 4-dimensionelle formulering af relativistisk mekanik, elektrodynamik og andre teorier. I princippet bruges denne formulering til både kvanteteorier og ikke-kvanteteorier.
  6. ↑ Den mest åbenlyse vej ud af denne ramme som standard (det vil sige uden særlige terminologiske afklarende markører) er de teorier, der allerede er nævnt, baseret på antagelsen om en større end 4 dimension af den grundlæggende fysiske rumtid, startende fra Kaluza-teorien , til strengteori osv. d.
  7. ↑ Om nødvendigt er en sådan opdeling let at lave, men vi er nu interesseret i den første konstruktion af det mest komplette sæt af vektorfysiske størrelser og ikke deres klassificering, og vi vil fokusere på dette.
  8. ↑ For vinkelhastighed er det dog nemmest at anvende det omvendte ræsonnement: da vektorproduktet af vinkelhastighed og radiusvektoren er hastighed, så er vinkelhastigheden en vektor (mere præcist en pseudovektor).