Tangentsætning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 26. maj 2021; checks kræver 2 redigeringer .

Tangentsætningen [1] er en sætning , der forbinder tangenterne af to vinkler i en trekant og længderne af siderne modsat disse vinkler.

Tangentsætningen, selvom den ikke er så udbredt kendt som sinus- eller cosinussætningen , er nyttig nok til at blive brugt, når to sider og en vinkel er kendt, eller omvendt, to vinkler og en side.

Historie

Tangentsætningen for sfæriske vinkler blev beskrevet i det 13. århundrede af den persiske matematiker Nasir ad-Din At-Tusi (1201-1274), som også leverede sinussætningen for plane trekanter i sit fembindsværk Treatise on the Complete Quadrangle . [2] [3]

Sætningen kaldes også Regiomontanus-formlen , efter den tyske astronom og matematiker Johann (eller Johann) Müller ( lat. Regiomontanus ), som etablerede denne formel. I. Müller blev kaldt "Königsberger": på tysk König - konge, Berg - bjerg, og på latin "konge" og "bjerg" i genitiv kasus - regis og montis . Derfor "Regiomontanus" - det latiniserede efternavn på I. Müller. [fire]

Ordlyd

På fig. 1, a , b og c er længderne af trekantens tre sider, og α, β og γ er vinklerne modsat disse tre sider (modsatte vinkler). Tangentsætningen siger det

{\frac {ab}{a+b}}={\frac {\mathrm {tg} {\frac {\alpha -\beta }{2))}{\mathrm {tg} {\frac { \alpha +\beta }{2}}}}.

Bevis

Du kan bevise tangentsætningen ved at bruge sinussætningen :

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}).

Lade

d={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}),

hvor

a=d\sin \alpha

b=d\sin\beta .

Derfor følger det

{\frac {ab}{a+b}}={\frac {d\sin \alpha -d\sin \beta }{d\sin \alpha +d\sin \beta }}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}).

Brug af den velkendte trigonometriske identitet

\sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\frac {\alpha \pm \beta }{2))\cos {\frac {\alpha \mp \beta }{2)), \;

vi får:

{\frac {ab}{a+b}}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}={\frac {2\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}}{2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\ cos {\frac {\alpha -\beta }{2))))={\frac {\mathrm {tg} {\frac {\alpha -\beta }{2))}{\mathrm {tg} {\ frac {\alpha +\beta }{2}}}}.\qquad \blacksquare

I stedet for en formel for summen og forskellen mellem to vinklers sinus, kan følgende velkendte identitet bruges i beviset

\mathrm {tg} {\frac {\alpha \pm \beta }{2))={\frac {\sin \alpha \pm \sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta } }

Endnu et bevis ved hjælp af Mollweides formler

Mollweides formler har følgende form:

{\frac {a+b}{c}}={\frac {\operatørnavn {cos} {\frac {AB}{2}}}{\operatørnavn {sin} {\frac {C}{2 }}}};

{\frac {ab}{c}}={\frac {\operatørnavn {sin} {\frac {AB}{2}}}{\operatørnavn {cos} {\frac {C}{2}} }}.

hvor er værdierne af vinklerne ved de tilsvarende spidser i trekanten og er længderne af siderne henholdsvis mellem spidserne og , og , og . $A,\;B,\;C$ $a,\;b,\;c$ $B$ $C$ $C$ $EN$ $EN$ $B$

Ved at dividere højre og venstre del af de sidste to ligheder separat og sidestille de to opnåede resultater med hinanden, har vi

{\frac {a+b}{ab))={\frac {\mathrm {ctg} {\frac {C}{2))}{\mathrm {tg} {\frac {AB}{2 }}}}.

I betragtning af det har vi endelig: $\mathrm {ctg} {\frac {C}{2}}=\mathrm {ctg} {\frac {\pi -AB}{2}}=\mathrm {tg} {\frac {A+B }{2}}$

{\frac {a+b}{ab))={\frac {\mathrm {tg} {\frac {A+B}{2))}{\mathrm {tg} {\frac {AB} {2}}}},

Q.E.D.

Se også

Noter

↑ Eli Maor . Trigonometric Delights // Princeton University Press , 2002.
↑ Marie-Thérèse Debarnot. Trigonometri // Encyclopedia of the history of Arabic science, bind 2 (engelsk) / Rushdī Rāshid, Régis Morelon. - Routledge , 1996. - S. 182. - ISBN 0415124115 . Arkiveret 30. december 2021 på Wayback Machine
↑ Q. Mushtaq, JL Berggren. Trigonometri // History of Civilizations of Central Asia, bind 4, rart 2 (engelsk) / Bosworth CE, Asimov MS. — Motilal Banarsidass Publ. , 2002. - S. 190. - ISBN 8120815963 . Arkiveret 30. december 2021 på Wayback Machine
↑ O. V. Manturov. Forklarende ordbog over matematiske termer

Ordbøger og encyklopædier	Britannica (online)

Trigonometri
Generel	Trigonometri oversigt Historie Brug Funktioner Baglæns Sjældent brugt Generaliseret trigonometri
Vejviser	Identiteter Præcise konstanter borde enhedscirkel
Love og teoremer	Sinus-sætning Pythagoras sætning Cosinus-sætning Tangentsætning Cotangenssætning Løsning af trekanter
Matematisk analyse	Trigonometrisk substitution Integraler ( omvendte funktioner ) Derivater

Trekant
Typer af trekanter	Rektangulær Ligebenet Ligesidet Ligebenet rektangulær
Vidunderlige linjer i en trekant	Median Højde Bisector Midtvinkelret midterste linje Omskrevne og indskrevne cirkler Simsons lige linje Euler linje Simediana Cheviana
Bemærkelsesværdige punkter i trekanten	Ortocenter Centroid Incenter Brocard punkt Vecten punkt Point Gergonne Lemoine punkt Miquel point Nagel point Napoleon peger Torricellis punkter Ni punkt cirkel centrum Spieker Center Encyclopedia of Triangle Centres
Grundlæggende teoremer	trekant ulighed Tegn på lighed mellem trekanter Løsning af trekanter Trekantets udvendige vinkelsætning Trekantsummen af vinkler sætning Pythagoras sætning Cosinus-sætning Sinus-sætning Projektionssætningen Herons formel
Yderligere teoremer	Van Obels sætning Menelaos sætning Reuschle (Terkema) sætning Stewarts teorem Tangentsætning Cotangenssætning Cevas sætning Mollweide formler
Generaliseringer	sfærisk trekant hyperbolsk trekant Simplex