Skalært produkt

Punktprodukt (nogle gange kaldet indre produkt ) - resultatet af en operation på to vektorer , som er en skalar , det vil sige et tal , der ikke afhænger af valget af koordinatsystem . Bruges til at bestemme længden af vektorer og vinklen mellem dem.

Normalt bruges en af følgende notationer for skalarproduktet af vektorer . $\mathbf {a}$ $\mathbf {b}$

(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )

\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ,\ {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}

eller simpelthen

\mathbf {a} \mathbf {b}

\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle

og den anden notation bruges i kvantemekanikken for tilstandsvektorer [1] .

\langle a|b\rangle ;

I det enkleste tilfælde , nemlig i tilfælde af et endeligt-dimensionelt reelt euklidisk rum, bruger de nogle gange den "geometriske" definition af skalarproduktet af vektorer, der ikke er nul , og som produktet af længderne af disse vektorer med cosinus af vinkel mellem dem [2] : $\mathbf {a}$ $\mathbf {b}$

(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos(\theta ).

En ækvivalent definition: skalarproduktet er produktet af længden af projektionen af den første vektor på den anden og længden af den anden vektor (se figur). Hvis mindst en af vektorerne er nul, så anses produktet for at være nul [3] .

Begrebet indre produkt har også et stort antal generaliseringer for forskellige vektorrum , det vil sige for sæt af vektorer med operationerne addition og multiplikation med skalarer . Ovenstående geometriske definition af skalarproduktet forudsætter en foreløbig definition af begreberne for længden af en vektor og vinklen mellem dem. I moderne matematik bruges den omvendte tilgang: skalarproduktet defineres aksiomatisk, og gennem det, længder og vinkler [4] . Især er det indre produkt defineret for komplekse vektorer , multidimensionelle og uendelige dimensionelle rum , i tensoralgebra .

Punktproduktet og dets generaliseringer spiller en ekstremt stor rolle i vektoralgebra , mangfoldighedsteori , mekanik og fysik. For eksempel er arbejdet af en kraft under mekanisk forskydning lig med skalarproduktet af kraftvektoren og forskydningsvektoren [5] .

Definition og egenskaber

Vi vil sige, at et skalarprodukt er defineret i et reelt eller komplekst vektorrum, hvis hvert par af vektorer fra er tildelt et nummer fra det talfelt, over hvilket er givet, der opfylder følgende aksiomer. $L$ $\mathbf {a} ,\mathbf {b}$ $L$ $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$ $L,$

For alle tre elementer i rummet og alle tal er ligheden sand: (lineariteten af det skalære produkt i forhold til det første argument). $\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\mathbf {b}$ $\mathbb {L}$ $\alfa ,\beta$ $(\alpha \mathbf {a} _{1}+\beta \mathbf {a} _{2},\mathbf {b} )=\alpha (\mathbf {a} _{1},\mathbf {b} )+\beta (\mathbf {a} _{2},\mathbf {b} )$
For enhver er lighed sand , hvor bjælken betyder kompleks bøjning . $\mathbf {a} ,\mathbf {b}$ $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )={\overline {(\mathbf {b} ,\mathbf {a} )))$
For enhver , vi har: , og kun for (henholdsvis positiv bestemthed og ikke-degeneration af det skalære produkt). $\mathbf {a}$ $(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )\geqslant 0$ $(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )=0$ $\mathbf {a} =0$

Bemærk, at aksiom 2 antyder, at det er et reelt tal. Derfor giver Axiom 3 mening på trods af de komplekse (i det generelle tilfælde) værdier af det skalære produkt. Hvis aksiom 3 ikke er opfyldt, kaldes produktet ubestemt eller ubestemt . $(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )$

Hvis ikke kun for , så kaldes produktet quasiscalar [6] . $(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )=0$ $\mathbf {a} =0$

Fra disse aksiomer opnås følgende egenskaber:

kommutativitet for reelle vektorer : $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=(\mathbf {b} ,\mathbf {a} );$
fordelingsevne med hensyn til addition :og $(\mathbf {a} +\mathbf {b} ,\mathbf {c} )=(\mathbf {a} ,\mathbf {c} )+(\mathbf {b} ,\mathbf {c} )$ $(\mathbf {c} ,\mathbf {a} +\mathbf {b} )=(\mathbf {c} ,\mathbf {a} )+(\mathbf {c} ,\mathbf {b} ) ;$
involutionel linearitet med hensyn til det andet argument :(i tilfælde af et rigtigt, blot linearitet med hensyn til det andet argument). $(\mathbf {a} ,(\alpha _{1}\mathbf {b} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {b} _{2}))={\overline {\ alpha _{1))}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} _{1})+{\overline {\alpha _{2))}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} _ {2});$ $L$
$(\alpha \mathbf {a} ,\beta \mathbf {b} )=\alpha {\overline {\beta ))(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$ (hvilket er det samme som i virkeligheden ). $\alpha \beta (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$ $L$

Der er også egenskaber, der ikke er relateret til disse aksiomer:

ikke -associativitet med hensyn til multiplikation med en vektor [7] ':; $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\mathbf {c} \neq \mathbf {a} (\mathbf {b} ,\mathbf {c} )$
ortogonalitet : to ikke-nul vektorer a og b er ortogonale hvis og kun hvis ( a , b ) = 0 (definitioner nedenfor ).

Kommentar. I kvantefysikken defineres skalarproduktet (af bølgefunktioner, der er komplekst værdifulde) normalt som lineært i henholdsvis det andet argument (og ikke i det første), i det første argument vil det være involutionært lineært. Der er normalt ingen forvirring, da den traditionelle notation for prikproduktet i kvantefysik også er anderledes: , dvs. argumenter er adskilt af et rør i stedet for et komma, og parenteserne er altid vinkelparenteser. $\langle \phi |\psi \rangle$

Definition og egenskaber i det euklidiske rum

Reelle vektorer

I det dimensionelle reelle euklidiske rum er vektorer defineret af deres koordinater - sæt af reelle tal på en ortonormal basis . Du kan definere skalarproduktet af vektorer som følger [4] : $n$ $n$ $\mathbf {a} =(a_{1},a_{2}\dots a_{n}),\mathbf {b} =(b_{1},b_{2}\dots b_{n})$

\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+\dots +a_ {n}b_{n}.

Verifikation viser, at alle tre aksiomer er opfyldt.

For eksempel vil det skalære produkt af vektorer og blive beregnet som følger: $(1,3,-5)$ $(4,-2,-1)$

{\begin{aligned}\ (1,3,-5)\cdot (4,-2,-1)&=1\cdot 4+3\cdot (-2)+(-5)\cdot (-1)\\&=4-6+5\\&=3.\end{aligned}}

Det kan bevises [8] , at denne formel svarer til definitionen i form af projektioner eller i form af cosinus: $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos(\theta ).$

Komplekse vektorer

For komplekse vektorer definerer vi tilsvarende [9] : $\mathbf {a} =(a_{1},a_{2}\dots a_{n}),\mathbf {b} =(b_{1},b_{2}\dots b_{n})$

\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =\sum _{k=1}^{n}a_{k}{\overline {b_{k))}=a_{1} {\overline {b_{1}}}+a_{2}{\overline {b_{2}}}+\cdots +a_{n}{\overline {b_{n}}}.

Eksempel (for ): $n=2$ $(1+i,2)\cdot (2+i,i)=(1+i)\cdot ({\overline {2+i)))+2\cdot {\overline {i))= (1+i)\cdot (2-i)+2\cdot (-i)=3-i.$

Egenskaber

Ud over prikproduktets generelle egenskaber gælder følgende for multidimensionelle euklidiske vektorer:

i modsætning til almindelig skalar multiplikation, hvor hvis ab = ac og a ≠ 0, så er b lig med c , er dette ikke sandt for vektor skalar multiplikation: hvis a b = a c , det vil sige a (b − c) = 0 , så i den generelle tilfælde a og b − c er kun ortogonale; men vektoren 'b − c ' er generelt ikke lig med 0 , dvs. b ≠ c ;
produktregel : for differentiable vektorfunktioner a ( t ) og b ( t ) forholdet ( a ( t ), b ( t ))′ = a ′( t ) ⋅ b ( t ) + a ( t ) ⋅ b ′ ( t ) [10] ;
estimering af vinklen mellem vektorer: i formlen bestemmes tegnet kun af vinklens cosinus (vektornormer er altid positive). Derfor er prikproduktet større end 0, hvis vinklen mellem vektorerne er spids, og mindre end 0, hvis vinklen mellem vektorerne er stump; $(\mathbf {\mathbf {a} } ,\mathbf {b} )=|\mathbf {a} |\cdot |\mathbf {b} |\cdot \cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$
projektionen af en vektor i retningen defineret af enhedsvektoren : $\mathbf {a}$ $\mathbf {e}$ $a_{e}=(\mathbf {a} ,\mathbf {e} )=|\mathbf {a} ||\mathbf {e} |\cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {e} )}=|\mathbf {a} |\cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {e} )}$ , fordi $|\mathbf {e} |=1;$
arealet af et parallelogram spændt ud af to vektorer og er lig med $\mathbf {a}$ $\mathbf {b}$ ${\sqrt {(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )(\mathbf {b} ,\mathbf {b} )-(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )^{2 }}}.$

Cosinussætning i reelt rum

Cosinussætningen udledes let ved hjælp af prikproduktet. Lad trekantens sider være vektorerne a , b og c , hvoraf de to første danner vinklen θ , som vist på billedet til højre. Følg derefter egenskaberne og definitionen af det skalære produkt i form af cosinus:

${\begin{aligned}\mathbf {\color {orange}c} \cdot \mathbf {\color {orange}c} &=(\mathbf {\color {rød}a} -\mathbf {\color {blå}b} )\cdot (\mathbf {\color {rød}a} -\mathbf {\color {blå}b} )\\&=\mathbf {\color {rød}a} \cdot \mathbf { \color {rød}a} -\mathbf {\color {rød}a} \cdot \mathbf {\color {blå}b} -\mathbf {\color {blå}b} \cdot \mathbf {\color {rød } }a} +\mathbf {\color {blå}b} \cdot \mathbf {\color {blå}b} \\&=|\mathbf {\color {rød}a} |^{2}-\mathbf { \color {rød}a} \cdot \mathbf {\color {blå}b} -\mathbf {\color {rød}a} \cdot \mathbf {\color {blå}b} +|\mathbf {\color { blå}b} |^{2}\\&=|\mathbf {\color {rød}a} |^{2}-2\mathbf {\color {rød}a} \cdot \mathbf {\color { blå }b} +|\mathbf {\color {blå}b} |^{2}\\&=|\mathbf {\color {rød}a} |^{2}+|\mathbf {\color {blå } b} |^{2}-2|\mathbf {\color {rød}a} |{\cdot }|\mathbf {\color {blå}b} |\cos \mathbf {\color {lilla}\theta } .\\\end{aligned}}$

Relaterede definitioner

I den moderne aksiomatiske tilgang, allerede på basis af konceptet om skalarproduktet af vektorer, introduceres følgende afledte begreber [11] :

Længden af en vektor, som normalt forstås som dens euklidiske norm :

|\mathbf {a} |={\sqrt {(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )))

(Udtrykket "længde" anvendes normalt på endelig-dimensionelle vektorer, men i tilfælde af at beregne længden af en krum bane, bruges det ofte i tilfælde af uendelig-dimensionelle rum).

Vinklen mellem to ikke-nul vektorer af det euklidiske rum (især det euklidiske plan) er et tal, hvis cosinus er lig med forholdet mellem skalarproduktet af disse vektorer og produktet af deres længder (normer): $\varphi$

\cos \varphi ={\frac {(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}{|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |}}\ (0\leqslant \varphi \leqslant \pi ).

Disse definitioner giver os mulighed for at beholde formlen: og i det generelle tilfælde. Rigtigheden af formlen for cosinus er garanteret af Cauchy-Bunyakovsky uligheden [12] : $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos(\varphi )$

For alle elementer i et vektorrum med et skalært produkt gælder følgende ulighed: $\mathbf {a} ,\mathbf {b}$

\vert (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\vert ^{2}\leqslant (\mathbf {a} ,\mathbf {a} )(\mathbf {b} ,\mathbf {b } )

Hvis rummet er pseudo-euklidisk , er begrebet en vinkel kun defineret for vektorer, der ikke indeholder isotrope linjer inde i den sektor, der dannes af vektorerne. I dette tilfælde introduceres selve vinklen som et tal, hvis hyperbolske cosinus er lig med forholdet mellem modulet af skalarproduktet af disse vektorer og produktet af deres længder (normer):

|(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )|=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\operatørnavn {ch} \varphi .

Ortogonale (vinkelrette) er vektorer, hvis skalarprodukt er lig med nul. Denne definition gælder for ethvert rum med et positivt bestemt indre produkt. For eksempel er ortogonale polynomier faktisk ortogonale (i denne definitions betydning) i forhold til hinanden i et eller andet Hilbert-rum.
Et rum (virkeligt eller komplekst) med et positivt-bestemt indre produkt kaldes et præ-Hilbert-rum .
- I dette tilfælde kaldes et endeligt-dimensionelt reelt rum med et positivt bestemt skalarprodukt også euklidisk , og et komplekst kaldes hermitisk eller enhedsrum .
Tilfældet, hvor det skalære produkt ikke er tegnbestemt, fører til den såkaldte. mellemrum med ubestemt metrisk . Det skalære produkt i sådanne rum genererer ikke længere en norm (og det introduceres normalt yderligere). Et endeligt-dimensionelt reelt rum med en ubestemt metrik kaldes pseudo-euklidisk (det vigtigste specialtilfælde af et sådant rum er Minkowski-rummet ). Blandt uendeligt-dimensionelle rum med en ubestemt metrisk, spiller Pontryagin -rum og Kerin-rum en vigtig rolle .

Historie

Skalarproduktet blev introduceret af W. Hamilton i 1846 [13] samtidigt med vektorproduktet i forbindelse med kvaternioner - henholdsvis som skalar- og vektordel af produktet af to kvaternioner, hvis skalardel er lig nul [14 ] .

Variationer og generaliseringer

I rummet af målbare reelle eller komplekse funktioner, der er kvadratiske integrerbare på et eller andet domæne Ω, kan man introducere et positivt bestemt skalarprodukt:

(\mathbf {f} ,\mathbf {g} )=\int \limits _{\Omega }f(x){\overline {g(x)))d\Omega

Ved brug af ikke-ortonormale baser udtrykkes det skalære produkt i form af vektorkomponenter med deltagelse af den metriske tensor [15] : $g_{ij}$

{\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=g_{ij}a^{i}b^{j))

Samtidig er selve metrikken (mere præcist dens repræsentation på et givet grundlag) forbundet på denne måde med de skalære produkter af basisvektorer : $f_{i}\$

g_{ij}=(\mathbf {f} _{i},\mathbf {f} _{j})

Lignende konstruktioner af skalarproduktet kan også introduceres på uendelig-dimensionelle rum, for eksempel på funktionsrum:

(\mathbf {f} ,\mathbf {g} )=\int \limits _{(\Omega _{1}\times \Omega _{2})}K(x_{1},x_{2 })f(x_{1})g(x_{2})d(\Omega _{1}\ gange \Omega _{2})

(\mathbf {f} ,\mathbf {g} )=\int \limits _{\Omega }K(x)f(x)g(x)d\Omega

hvor K er en positiv-definit, i det første tilfælde symmetrisk med hensyn til permutation af argumenter (for kompleks x - Hermitian) funktion (hvis du skal have det sædvanlige symmetriske positivt-definite skalarprodukt).

Den enkleste generalisering af et endelig-dimensionelt skalarprodukt i tensoralgebra er foldning over gentagne indekser.

Se også

Noter

↑ Hall B.C. Kvanteteori for matematikere . - NY: Springer Science & Business Media , 2013. - xvi + 553 s. - (Kandidattekster i matematik. Bd. 267). — ISBN 978-1-4614-7115-8 . Arkiveret 31. januar 2016 på Wayback Machine - S. 85.
↑ Dette refererer til den mindste vinkel mellem vektorer, der ikke overstiger $\pi.$
↑ Vector Algebra // Mathematical Encyclopedia (i 5 bind). - M .: Soviet Encyclopedia , 1977. - T. 1. - S. 634.
↑ 1 2 Gelfand, 1971 , s. 30-31.
↑ Targ S. M. Kraftværk // Physical Encyclopedia / Kap. udg. A. M. Prokhorov . - M . : Great Russian Encyclopedia , 1994. - T. 4. - S. 193-194. - 704 s. - ISBN 5-85270-087-8 .
↑ Kudryavtsev L. D. Matematisk analyse. II bind. - M., Higher School , 1970. - s. 316.
↑ Weisstein, Eric W. Dot Produkt arkiveret 29. april 2021 på Wayback Machine . Fra MathWorld - En Wolfram-webressource.
↑ Calculus II - Punktprodukt . tutorial.math.lamar.edu . Hentet 9. maj 2021. Arkiveret fra originalen 9. maj 2021. (ubestemt)
↑ Gelfand, 1971 , s. 86.
↑ Stewart, James (2016), Calculus (8 udg.), Cengage , afsnit 13.2.
↑ Gelfand, 1971 , s. 34.
↑ §9.5. Lineære rum med indre produkt: Euklidisk og enhedsmæssigt
↑ Crowe MJ A History of Vector Analysis - The Evolution of the Idea of a Vectorial System . - Courier Dover Publications, 1994. - S. 32. - 270 s. — ISBN 0486679101 . Arkiveret 6. marts 2019 på Wayback Machine
↑ Hamilton WR Om Quaternions; eller om et nyt system af fantasier i algebra // Philosophical Magazine. 3. serie. - London, 1846. - T. 29 . - S. 30 .
↑ Gelfand, 1971 , s. 240.

Litteratur

Gelfand I. M. Forelæsninger over lineær algebra. - 4. udg. — M .: Nauka, 1971. — 272 s.

Links

Emelin A. Skalært produkt af vektorer . Hentet: 14. november 2019. (ubestemt)

Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk Fantastisk norsk Stor russer

Vektorer og matricer

Vektorer

Basale koncepter	Vektor i geometri Basis Ortogonalt grundlag Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Lineær afhængighed Søjleplads
Slags vektorer	Enhedsvektor Aksial vektor isotrop vektor Normal Kolinearitet Nul vektor Radius vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalært produkt vektor produkt blandet produkt Pseudoskalært produkt Dobbelt kryds produkt
Rumtyper	vektor rum affint rum Euklidisk rum Pseudo-euklidisk rum Normeret rum Minkowski plads

matricer

Basale koncepter	Matrix multiplikation Transponeret matrix Hermitisk konjugeret matrix Symmetrisk matrix omvendt matrix Egenværdi Karakteristisk polynomium af en matrix
Særlige matricer	Identitetsmatrix Nul matrix Diagonal matrix lambda matrix
Matrix nedbrydninger	LU nedbrydning Kolesky nedbrydning QR-nedbrydning LUP nedbrydning singular værdi nedbrydning Spektral nedbrydning af en matrix

Andet