Mekanisk arbejde

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 31. august 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Arbejde
$A,W$
Dimension	L2MT -2 _ _
Enheder
SI	J
GHS	erg
Noter
skalar

Mekanisk arbejde - en fysisk størrelse - er et skalært kvantitativt mål for virkningen af en kraft (resultant kraft) på et legeme eller kræfter på et system af kroppe. Afhænger af den numeriske værdi og retning af kraften (kræfterne) og af kroppens forskydning (system af legemer) [1] .

Med en konstant kraft og en retlinet bevægelse af et materialepunkt beregnes arbejdet som produktet af kraftens størrelse og forskydningen og cosinus af vinklen mellem forskydnings- og kraftvektorerne: . I mere komplekse tilfælde (ikke-konstant kraft, krumlinjet bevægelse) er dette forhold gældende for et lille tidsinterval, og for at beregne det samlede arbejde er summering over alle sådanne intervaller nødvendig. $A=Fs\cos(F,s)$

Inden for mekanik er arbejde på en krop den eneste grund til at ændre dens energi ; i andre områder af fysikken ændres energi også på grund af andre faktorer (for eksempel i termodynamik , varmeoverførsel).

Definition af arbejde

Per definition er "elementært" (udført på uendelig kort tid) arbejde det skalære produkt af kraften, der virker på et materielt punkt og forskydning , dvs. $\vec{F}$ $d{\vec {s))$

\delta A={\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}

Brugen af symbolet δ (frem for ) skyldes, at arbejdsdifferentialet ikke nødvendigvis er komplet. Arbejde over en begrænset tidsperiode er integralen af elementært arbejde: $d$

A=\int \delta A

Hvis der er et system af materielle punkter, foretages summeringen over alle punkter. I nærvær af flere kræfter defineres deres arbejde som arbejdet med den resulterende (vektorsum) af disse kræfter.

Notation, dimension

Arbejde betegnes normalt med stort bogstav ( fra tysk A rbeit - arbejde, arbejde) eller stort bogstav (fra engelsk arbejde - arbejde, arbejde). $EN$ $W$

Måleenheden (dimension) for arbejde i International System of Units (SI) er joule , i CGS - erg . Hvori

1 J = 1 kg m² / s² = 1 Nm ; 1 erg \u003d 1 g cm ² / s ² \ u003d 1 dyn cm ; 1 erg \ u003d 10 −7 J.

Beregning af arbejde

Sagen om et væsentligt punkt

Med en retlinet bevægelse af et materialepunkt og en konstant værdi af kraften påført det , er arbejdet (af denne kraft) lig med produktet af projektionen af kraftvektoren på bevægelsesretningen og længden af forskydningsvektoren lavet af punktet:

A=F_{s}s=Fs\ {\mathrm {cos))(F,s)={\vec F}\cdot {\vec s}

Her betegner “ ” det skalære produkt , er forskydningsvektoren . $\,\cdot \,$ ${\vec s}$

Hvis retningen af den påførte kraft er ortogonal på kroppens forskydning, eller forskydningen er nul, så er denne krafts arbejde nul.

I det generelle tilfælde, når kraften ikke er konstant, og bevægelsen ikke er retlinet, beregnes værket som et krumlinjet integral af den anden art langs punktets bane [2] :

A=\int {\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}

(summeringen er underforstået langs kurven, som er grænsen for en brudt linje, der består af forskydninger , hvis vi først betragter dem endelige, og derefter lader længden af hver gå til nul). $d{\vec {s))$

Hvis der er en afhængighed af kraften af koordinaterne [3] , defineres integralet [4] som følger:

A=\int \limits _({\vec {r}}_{0}}^({\vec {r}}_{1}}{\vec {F}}\left({\vec {r}}\right)\cdot d{\vec {r}}

hvor og er radiusvektorerne for kroppens begyndelses- og slutposition. For eksempel, hvis bevægelsen sker i planet , og og ( , - orts ), så vil det sidste integral antage formen , hvor den afledede tages for den kurve , som punktet bevæger sig langs. ${\vec r}_{0}$ ${\vec r}_{1}$ $xy$ ${\vec {F}}=F_{x}{\vec {e}}_{x}+F_{y}{\vec {e}}_{y}$ $d{\vec {r}}=dx{\vec {e}}_{x}+dy{\vec {e}}_{y}$ $\vec{e}_x$ $\vec{e}_y$ $A=\int (F_{x}+F_{y}|dy/dx|)dx$ $dy/dx$ $y(x)$

Hvis kraften er konservativ (potentiel) , vil resultatet af beregningen af arbejdet kun afhænge af punktets indledende og endelige position, men ikke af den bane, som den bevægede sig langs. $\vec{F}$

Tilfældet med et system af punkter eller en solid

Kræfternes arbejde for at flytte systemet fra materielle punkter er defineret som summen af disse kræfters arbejde for at flytte hvert punkt (arbejdet udført på hvert punkt i systemet er opsummeret i arbejdet med disse kræfter på systemet): $N$

A=\sum A_{n},\quad n=1,2,..,N

Hvis kroppen ikke er et system af diskrete punkter, kan den opdeles (mentalt) i et sæt af uendeligt små elementer (stykker), som hver især kan betragtes som et materielt punkt, og arbejdet kan beregnes i overensstemmelse med definitionen over. I dette tilfælde erstattes den diskrete sum af et integral:

A=\int \delta A({\vec {r}}')=\iint {\frac {d{\vec {F}}({\vec {r}}')}{dV'} }\cdot d{\vec {r}}({\vec {r}}')dV'

hvor er arbejdet med at flytte et uendeligt lille fragment af kropsvolumenet , lokaliseret nær koordinaten (i kroppens referenceramme), fra den indledende til den endelige position, (N/m 3 ) er tætheden af den handlende kraft, og integrationen udføres over hele kroppens volumen. $dA({\vec {r))')$ $dV'$ ${\vec {r))'$ $d{\vec {F}}/dV'$

Disse formler kan bruges både til at beregne arbejdet af en bestemt kraft eller klasse af kræfter og til at beregne det samlede arbejde udført af alle kræfter, der virker på systemet.

Arbejde og kinetisk energi

Kinetisk energi introduceres i mekanikken i direkte forbindelse med begrebet arbejde.

Ved at bruge Newtons anden lov , som tillader at udtrykke kraften i form af acceleration som (hvor er massen af et materielt punkt), samt relationerne og , kan elementært arbejde omskrives som ${\vec {F}}=m{\vec {a}}$ $m$ $d{\vec {s}}=d{\vec {r}}={\vec {v}}dt$ $d(v^{2})/dt=d({\vec {v}}\cdot {\vec {v}})/dt=2{\vec {a}}\cdot {\vec { v}}$

\delta A=m{\vec {a}}\cdot {\vec {v}}dt={\frac {d}{dt}}\left({\frac {mv^{2}}{ 2}}\right)dt

Når vi integrerer fra det indledende til det sidste øjeblik, får vi

A=\Delta \left({\frac {mv^{2}}{2}}\right)=\Delta E_{k}

hvor er den kinetiske energi . For et materialepunkt er det defineret som halvdelen af produktet af dette punkts masse og kvadratet af dets hastighed og udtrykkes [5] som . For komplekse objekter, der består af mange partikler, er kroppens kinetiske energi lig med summen af partiklernes kinetiske energier. $E_k$ $E_{k}=mv^{2}/2$

Arbejde og potentiel energi

En kraft kaldes potentiale, hvis der er en skalarfunktion af koordinater, kendt som potentiel energi og betegnet med , sådan at $E_{p}$

{\vec {F}}=-\nabla E_{p}

Her er nabla-operatøren . Hvis alle kræfter, der virker på en partikel, er konservative, og er den samlede potentielle energi opnået ved at summere de potentielle energier svarende til hver kraft, så $\nabla$ $E_{p}$

{\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}=-\nabla E_{p}\cdot d{\vec {s}}=-dE_{p}\Rightarrow -dE_{p }=dE_{k}\Rightarrow d(E_{k}+E_{p})=0

Dette resultat er kendt som loven om bevarelse af mekanisk energi og siger, at den samlede mekaniske energi

{\displaystyle E=E_{k}+E_{p))

i et lukket system, hvor konservative kræfter virker, er konstant i tid. Denne lov bruges i vid udstrækning til at løse problemer med klassisk mekanik .

En krafts arbejde i teoretisk mekanik

Lad et materialepunkt bevæge sig langs en kontinuerligt differentierbar kurve , hvor s er en variabel buelængde , og en kraft virker på det rettet tangentielt til banen i bevægelsesretningen (hvis kraften ikke er rettet tangentielt, vil vi forstå projektion af kraften på den positive tangens af kurven, hvilket reducerer dette tilfælde til det, der betragtes nedenfor). $M$ $G=\{r=r(s)\}$ $0\leq s\leq S$ $F(s)$ $F(s)$

Værdien kaldes det elementære arbejde af kraften på stedet og tages som en tilnærmet værdi af det arbejde, som kraften frembringer , der virker på et materielt punkt, når sidstnævnte passerer kurven . Summen af alle elementære værker er Riemann-integralsummen af funktionen . $F(\xi _{i})\trekant s_{i},\trekant s_{i}=s_{i}-s_{{i-1}},i=1,2,...,i_{{ \tau}}$ $F$ $G_{i}$ $F$ $G_{i}$ $\sum _{{i=1}}^{{i_{{\tau }}}}F(\xi _{i})\trekant s_{i}$ $F(s)$

I overensstemmelse med definitionen af Riemann-integralet kan vi definere arbejde:

Den grænse, hvortil summen af alle elementære værker går, når skillevæggens finhed har en tendens til nul, kaldes kraftens arbejde langs kurven . $\sum _{{i=1}}^{{i_{{\tau }}}}F(\xi _{i})\trekant s_{i}$ $|\tau |$ $\tau$ $F$ $G$

Således, hvis vi betegner dette værk med bogstavet , så, i kraft af denne definition, $EN$

A=\lim _{|\tau |\rightarrow 0}\sum _{i=1}^{i_{\tau }}F(\xi _{i})\trekant s_{i}=\ int \limits _{0}^{s}F(s)ds

Hvis positionen af et punkt på banen for dets bevægelse er beskrevet ved hjælp af en anden parameter (for eksempel tid), og hvis den tilbagelagte afstand er en kontinuerligt differentierbar funktion, så vil den sidste formel give $t$ $s=s(t)$ $a\leq t\leq b$

A=\int \limits _{a}^{b}F[s(t)]s'(t)dt

Arbejde i termodynamik

I termodynamik beregnes arbejdet udført af en gas under ekspansion [6] som integralet af tryk over volumen:

A_{1\rightarrow 2}=\int \limits _{V_{1}}^{V_{2}}PdV

Arbejdet med gassen falder sammen med dette udtryk i absolut værdi, men er modsat i fortegn.

Den naturlige generalisering af denne formel gælder ikke kun for processer, hvor trykket er en funktion af en enkelt værdi af volumen, men også til enhver proces (afbildet af en hvilken som helst kurve i planet ), især for cykliske processer. $PV$
I princippet gælder formlen ikke kun for gas, men også for alt, der er i stand til at udøve tryk (det er kun nødvendigt, at trykket i beholderen er det samme overalt, hvilket implicit er underforstået i formlen).

Denne formel er direkte relateret til mekanisk arbejde, selvom det ser ud til, at det hører til en anden del af fysikken. Gastrykkraften er rettet ortogonalt til hvert elementært område og er lig med produktet af trykket og arealet af området. Når fartøjet udvider sig, vil det arbejde, som gassen udfører for at fortrænge et sådant elementært område, være $P$ $dS$ $h$

dA=PdSh

Dette er produktet af tryk- og volumenstigning nær det elementære område. Efter at have summeret over alt vil resultatet blive opnået, hvor der allerede vil være en fuld stigning i volumen, som i hovedformlen i afsnittet. $dS$

Se også

Noter

↑ Targ S. M. Kraftværk // Physical Encyclopedia / Kap. udg. A. M. Prokhorov . - M . : Great Russian Encyclopedia , 1994. - T. 4. - S. 193-194. - 704 s. - 40.000 eksemplarer. - ISBN 5-85270-087-8 .
↑ Dette gøres ud fra, at det er muligt at opdele den totale endelige forskydning i små successive forskydninger , hvor kraften hver især vil være næsten konstant, hvilket betyder, at det vil være muligt at bruge definitionen for en konstant kraft introduceret ovenfor . Derefter opsummeres arbejdet med alle disse bevægelser , hvilket giver integralet som resultat . $d{\vec {s))$ $d{\vec {s))$
↑ Som det ofte er tilfældet. For eksempel i tilfælde af et Coulomb-felt, en strækkende fjeder, en planets tyngdekraft osv.
↑ I det væsentlige gennem den forrige, da her ; den lille forskydningsvektor falder sammen med . ${\vec F}(t)={\vec F}({\vec r}(t))$ $d{\vec {s))$ $d{\vec {r}}$
↑ Targ S. M. Kinetisk energi // Physical Encyclopedia / Kap. udg. A. M. Prokhorov . - M .: Soviet Encyclopedia , 1990. - T. 2. - S. 360. - 704 s. — 100.000 eksemplarer. — ISBN 5-85270-061-4 .
↑ Det arbejde, som en gas udfører, når den komprimeres, er naturligvis negativt, men beregnes ved hjælp af samme formel. Det arbejde, som en gas (eller på en gas) udfører uden at udvide eller komprimere den (f.eks. i processen med at blande med en omrører) kan i princippet udtrykkes med en lignende formel, men stadig ikke direkte med denne, da den kræver generalisering: faktum er, at i formel , antages trykket at være det samme i hele volumen (hvilket ofte gøres i termodynamikken, da det ofte omhandler processer tæt på ligevægt), hvilket fører til den enkleste formel (i tilfældet af en roterende omrører, for eksempel, vil trykket være forskelligt på for- og bagsiden af bladet, hvilket vil føre til den nødvendige komplikation af formlen, hvis vi ønsker at anvende den i et sådant tilfælde; disse overvejelser gælder for alle andre ikke-ligevægtstilfælde, hvor trykket ikke er det samme i forskellige dele af systemet). $\int PDF$

Litteratur

Mekanikkens historie fra oldtiden til slutningen af det 18. århundrede. I 2 bind M.: Nauka, 1972.
Kirpichev VL Samtaler om mekanik. M.-L.: Gostekhizdat, 1950.
Gliozzi M. Fysikkens historie. M.: Mir, 1970.
Mach, E. Princippet om arbejdets bevarelse: en historie og dens rod. SPb., 1909.
Mach E. Mekanik. Historisk-kritisk skitse af dens udvikling. Izhevsk: RHD, 2000.
Tyulina I. A. Mekaniks historie og metodologi. M.: Forlag ved Moscow State University, 1979.