Slutgruppe

En endelig gruppe i almindelighed algebra er en gruppe, der indeholder et begrænset antal elementer (dette tal kaldes dets " rækkefølge ") [1] . Yderligere antages gruppen at være multiplikativ , det vil sige, at operationen i den betegnes som multiplikation; additivgrupper med driften af addition er specificeret separat. Enheden af en multiplikativ gruppe vil blive angivet med symbolet 1. Rækkefølgen af gruppen er normalt angivet $G$ $|G|.$

Finite grupper er meget udbredt både i matematik og i andre videnskaber: kryptografi , krystallografi , atomfysik , ornamentteori osv. Finite transformationsgrupper er tæt beslægtet med symmetrien af de objekter, der undersøges.

Eksempler

Additiv gruppe af restklasser modulo . $\mathbb{Z}_n=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ $n$
En multiplikativ gruppe af enhedsrødderne isomorf $n$ i forhold til den foregående gruppe.
Det reducerede system af rester modulo : rækkefølgen er ( Euler-funktion ). $m$ $\mathbb {Z} _{m}^{\times }=U(\mathbb {Z} _{m}),$ $\varphi(m)$
Ikke-kommutativ gruppe på 8 quaternion - enheder: se Quaternion-gruppe . $Q_{8}=\venstre\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\right\};$
Symmetrisk gruppe (gruppe af substitutioner eller permutationer af elementer) . Dens rækkefølge er lig med og for den er ikke-kommutativ. $n$ $S_{n}$ $n!$ $n>2$
Kleins Quadruple Group . $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2=D_{2}$
Galois-gruppen af en endelig udvidelse af feltet , og rækkefølgen af gruppen er lig med graden af udvidelsen . For at udvide feltet af reelle tal til feltet for alle komplekse tal , indeholder Galois-gruppen 2 elementer: enheden ( identitetskort ) og kompleks konjugation .

Egenskaber og relaterede definitioner

Cayleys sætning: multiplikationstabellen for elementer i en endelig gruppe danner et latinsk kvadrat [2] .

Rækkefølgen af et element g af en endelig gruppe G er defineret som det minimale naturlige antal m , således at . Rækkefølgen er defineret for hvert element i en endelig gruppe. $g^{m}=1$

Lagranges sætning : Rækkefølgen af enhver undergruppe af en endelig gruppe er en divisor af rækkefølgen af gruppen.

Konsekvens 1: rækkefølgen af ethvert element i en endelig gruppe er en divisor af rækkefølgen af gruppen.
Følge 2: ethvert element g af en endelig gruppe af orden n opfylder forholdet: I talteori, for et reduceret system af rester , giver denne formel den vigtige Euler-sætning . $g^{n}=1.$
Følge 3: et element g i en endelig gruppe opfylder relationen: hvis og kun hvis tallet er et multiplum af rækkefølgen $g^{m}=1$ $m$ $g.$
Konsekvens 4: Lad rækkefølgen af et element g i en endelig gruppe være to potenser af dette element er lige store: hvis og kun hvis eksponenterne er kongruente modulo $m.$ ${\displaystyle g^{i}=g^{k))$ $m:$

i\equiv k{\pmod {m))

Kvotienten for at dividere rækkefølgen af en gruppe med rækkefølgen af dens undergruppe kaldes indekset for denne undergruppe og er betegnet med . For eksempel er der i ovenstående gruppe af quaternion-enheder (af orden 8) en undergruppe af orden 2 og indeks 4, samt en undergruppe af orden 4 og indeks 2. $G$ $H$ $G:H$ $\{1;-1\}$ $\{1;-1;i;-i\}$

Cauchys sætning (1815): Enhver gruppe, hvis rækkefølge er delelig med et primtal , har et ordenselement . $s$ $s$

Hvis der til hver divisor af rækkefølgen af en gruppe svarer en undergruppe af rækkefølgen , så kaldes gruppen lagrangisk . Ikke alle grupper er lagrangiske - for eksempel er rækkefølgen af dodekaederrotationsgruppen 60, men den har ingen undergrupper af orden 15 [3] . Tilstrækkelige betingelser for eksistensen af en undergruppe af en given orden (under nogle yderligere antagelser) etablerer Sylows teoremer . Et eksempel på en lagrangisk gruppe er den symmetriske gruppe . $k$ $k$ $S_4$

Cosets og kvotientgruppen

Lad H være en undergruppe af orden m i en endelig gruppe G af orden n . Vi betragter elementer som ækvivalente med hensyn til undergruppen H , hvis der findes sådan, at det er let at kontrollere, at dette er en ækvivalensrelation i gruppen G . Den opdeler gruppen i ikke-overlappende ækvivalensklasser, kaldet (venstre) cosets , som alle indeholder m elementer, hvor antallet af klasser er lig med undergruppeindekset. Hvert element tilhører det sæt , der dannes af alle mulige produkter af g og elementer i undergruppen H . $g,g'\i G$ $h\in H$ $g=g'h.$ $g\in G$ ${\bar {g}}=gH$

Hvis undergruppen H er en normal divisor , kan man overføre gruppeoperationen til sættet af cosets ved at definere:

(g_{1}H)(g_{2}H)=(g_{1}g_{2})H

Resultatet af en sådan operation afhænger ikke af valget af repræsentanter og gør sættet af cosets til en gruppe kaldet en faktorgruppe . Det er markeret . Rækkefølgen af en faktorgruppe er lig med indekset for den tilsvarende undergruppe. $g_{1}g_{2}$ $G/H$

Klassifikation

Antal distinkte grupper af en given rækkefølge

bestille	antal grupper [4]	kommutativ	ikke-kommutativ
0	0	0	0
en	en	en	0
2	en	en	0
3	en	en	0
fire	2	2	0
5	en	en	0
6	2	en	en
7	en	en	0
otte	5	3	2
9	2	2	0
ti	2	en	en
elleve	en	en	0
12	5	2	3
13	en	en	0
fjorten	2	en	en
femten	en	en	0
16	fjorten	5	9
17	en	en	0
atten	5	2	3
19	en	en	0
tyve	5	2	3
21	2	en	en
22	2	en	en
23	en	en	0
24	femten	3	12
25	2	2	0
26	2	en	en
27	5	3	2
28	fire	2	2
29	en	en	0
tredive	fire	en	3

Finite cykliske grupper

Finite cykliske grupper har den enkleste struktur , hvis alle elementer kan repræsenteres som successive potenser af et fast element $en:$

1,a,a^{2},a^{3}\dots a^{{n-1}}\

( n er rækkefølgen af gruppen).

Elementet a kaldes generator (eller antiderivat ) for en given gruppe, og gruppen selv genereret er angivet $en,$ $\langle a\rangle .$

Som et genererende element for en gruppe kan ikke kun et element virke, men også de af dets grader , hvis eksponent er coprime med rækkefølgen af gruppen. Antallet af sådanne generatorer for en gruppe af orden n er ( Euler-funktionen ). Eksempel: gruppe af rødder fra enhed . $\langle a\rangle$ $en,$ $a^{k},$ $k$ $\varphi (n)$

Enhver endelig cyklisk ordensgruppe er isomorf i forhold til den additive restklassegruppe . Denne klasse af isomorfe grupper er normalt betegnet med . Heraf følger, at $n$ $\mathbb {Z} _{n}$ $C_{n}$

op til isomorfisme er der kun én endelig cyklisk gruppe af en given orden.
cykliske grupper er altid kommutative ( Abelian ) og Lagrangian.
en cyklisk gruppe har ikke-trivielle undergrupper, hvis og kun hvis dens rækkefølge er et sammensat tal .
enhver undergruppe af en cyklisk gruppe er også cyklisk. Enhver kvotientgruppe i den cykliske gruppe G/H vil også være cyklisk . Antallet af distinkte undergrupper i en cyklisk ordensgruppe er lig med antallet af (positive) divisorer af tallet $n$ $n.$

Potenserne af ethvert element i en vilkårlig endelig gruppe danner en cyklisk undergruppe genereret (for en enhed vil dette være en triviel undergruppe , der kun består af selve enheden). Denne undergruppe er indeholdt i en hvilken som helst anden undergruppe , der indeholder et element . Rækkefølgen er lig med rækkefølgen af det genererende element . Følge: en ordregruppe er cyklisk, hvis og kun hvis den indeholder et element af samme orden $-en$ $G$ $H$ $-en$ $g,$ $en.$ $H$ $en.$ $n$ $n.$

Alle grupper, hvis rækkefølge er mindre end 4, er cykliske, så der er ikke to ikke-isomorfe grupper af samme orden for dem. Gruppen af orden 1 ( den trivielle gruppe ) indeholder kun identiteten. Gruppen af orden 2 består af elementer (og ); i planimetri er sådan f.eks. gruppen af transformationer fra enhed (identisk transformation) og spejlreflektion i forhold til en fast ret linje. Gruppe af orden 3 indeholder elementer ${\displaystyle \{1,a\))$ $a^{2}=1$ $\{1,a,a^{2}\}.$

Ikke alle kommutative endelige grupper er cykliske. Det enkleste modeksempel: Klein firdobbelt gruppe .

Grupper med primær orden (p-grupper)

Lad grupperækkefølgen være et primtal p , så holder de følgende egenskaber.

Gruppen er cyklisk .
Gruppen er kommutativ ( abelsk ) og nilpotent .
Alle grupper af samme orden p er isomorfe i forhold til hinanden.

Mere generelt og mere kompliceret er tilfældet, når rækkefølgen af gruppen er en potens af et primtal; sådanne grupper kaldes almindeligvis p-grupper .

Simple grupper

En endelig gruppe kaldes simpel, hvis alle dens normale undergrupper er trivielle (det vil sige, at de falder sammen enten med identitetsundergruppen eller med hele gruppen) [5] . Se deres generelle klassifikation .

Kommutative (abelske) grupper

Hovedsætning ( Frobenius ): Hver kommutativ endelig gruppe kan repræsenteres som en direkte sum af p-grupper . Dette er en konsekvens af den generelle sætning om strukturen af endeligt genererede Abelske grupper for det tilfælde, hvor gruppen ikke har elementer af uendelig rækkefølge.

Historie

De første undersøgelser af endelige grupper dukkede op længe før dette udtryks fremkomst, og de vedrørte specifikke repræsentanter for denne struktur. For første gang opstod et sådant behov i studiet af algebraiske ligninger for solvabilitet i radikaler , for hvilket Larrange , Ruffini og Abel dybt studerede permutationsgrupper af polynomiumrødder . I 1771 opdagede Lagrange et teorem for cykliske permutationsgrupper , som er opkaldt efter ham og har en fuldstændig generel karakter. Abel supplerede betydeligt Lagranges resultater, og siden han præciserede den rolle , kommutative permutationsgrupper spiller i dette problem, er sådanne grupper siden blevet kaldt Abelian. Cauchy beviste i 1815 , at enhver gruppe, hvis rækkefølge er delelig med et primtal p, har et element af orden p. Beviset var af generel karakter, selvom Cauchy også begrænsede sig til permutationsgruppen.

Det andet objekt for fremtidensteorien var additive restgrupper . Den enkleste ikke-trivielle gruppe af to elementer blev betragtet af Leibniz , og en meningsfuld teori om denne struktur for et vilkårligt modul blev givet af Euler og Gauss .

Udtrykket "gruppe" dukkede først op i Galois ' værker , som også studerede permutationsgrupper, men definitionen blev givet i en ret generel form. Galois introducerede også de grundlæggende begreber om en normal undergruppe , en kvotientgruppe og en løsbar gruppe .

I 1854 gav Cayley den første abstrakte definition af en gruppe. I et papir fra 1878 beviste han en nøglesætning om repræsentationen af en vilkårlig endelig gruppe ved permutationer. I 1872 opnåede den norske matematiker Sylow sine berømte resultater om maksimale p-undergrupper, som forbliver grundlaget for endelig gruppeteori den dag i dag.

Et væsentligt bidrag til teorien om abstrakte endelige grupper blev også lavet af Frobenius , takket være hvem endelige Abelske grupper blev fuldstændig beskrevet, og teorien om deres matrixrepræsentationer blev skabt. Ved slutningen af det 19. århundrede blev endelige grupper anvendt med succes både i matematik og naturvidenskab (for eksempel i krystallografi ). I begyndelsen af det 20. århundrede lagde arbejdet af Emmy Noether og Artin grundlaget for moderne gruppeteori.

Se også

Litteratur

Vechtomov E. M. Om lagrangiske grupper. §en. Fra gruppeteoriens historie // Problemer med historisk og videnskabelig forskning i matematik og matematisk uddannelse: Proceedings of the international scientific conference. - Perm: Perm-stat. Pædagogisk Universitet, 2007. - S. 23-32 . .
Vinberg E. B. Algebra kursus. - 3. udg. - M . : Factorial Press, 2002. - 544 s. — ISBN 5-88688-060-7 . .
Gorenstein D. Finite simple grupper. Introduktion til deres klassificering. — M .: Mir, 1985.
Matematisk encyklopædi (i 5 bind) . — M .: Soviet Encyclopedia , 1982.
Navarro, Joaquin. Gennem skueglasset. Symmetri i matematik. — M .: De Agostini, 2014. — 160 s. — (Matematikkens verden: i 45 bind, bind 17). - ISBN 978-5-9774-0712-0 .
Hall M. Teori om grupper. M .: Forlag for udenlandsk litteratur, 1962.

Noter

↑ Mathematical Encyclopedia, 1982 , bind 2. Finite group.
↑ Malykh A. E. Om Kirkman-problemet og dets udvikling i anden halvdel af det 19. - tidlige 20. århundrede // Problemer med historisk og videnskabelig forskning i matematik og matematisk uddannelse: Proceedings of the international scientific conference, Perm, September 2007 .. - Perm : Perm stat. Ped. Universitet, 2007. - S. 84. .
↑ Stuart, Jan. Begreber i moderne matematik. - Minsk: Højere Skole, 1980. - S. 133-134. — 384 s.
↑ Humphreys, John F. Et kursus i gruppeteori . - Oxford University Press , 1996. - S. 238-242 . — ISBN 0198534590 .
↑ Mathematical Encyclopedia, 1982 , bind 4. En simpel gruppe.

Ordbøger og encyklopædier	Fantastisk catalansk Britannica (online) Universalis
I bibliografiske kataloger	BNF : 11969510z J9U : 987007531228305171 LCCN : sh85048354 NDL : 00574433

Gruppeteori
Basale koncepter	Undergruppe Normal undergruppe Faktor gruppe Arbejde direkte semi-direkte ledig
Algebraiske egenskaber	kommutativ gruppe Cyklisk gruppe bestilt gruppe Forvandle gruppe Opløselig gruppe Schreiers Lemma Lagranges sætning Sylows sætninger Klassificering af simple endelige grupper
begrænsede grupper	Endelig cyklisk gruppe C n Symmetrisk gruppe S n Dihedral gruppe D n Skiftende gruppe A n Klein Quadruple Group Mathieu grupper M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway grupper Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko grupper J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Fiskergrupper F22 _ F 23 F24 _ Monster (M)
Topologiske grupper	Løgngrupper Ortogonal gruppe O(n) Særlig ortogonal gruppe SO(n) Enhedsgruppe U(n) Særlig enhedsgruppe SU(n) Symplektisk gruppe Sp(n) Enestående enkel Lorentz gruppe Poincaré gruppe
Algoritmer på grupper	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourier transformation