Afslut forlængelse

En endelig udvidelse er en udvidelse af et felt , så det er endeligt dimensioneret over som et vektorrum . Dimensionen af et vektorrum over kaldes forlængelsesgraden og betegnes med . $E\forstyrret K$ $E$ $K$ $E$ $K$ $[E:K]$

Afslut udvidelsesegenskaber

Den endelige forlængelse er altid algebraisk . Ja, lad , da for ethvert element sættet af elementer ikke kan være lineært uafhængige, så er der et polynomium over grad ikke højere end , sådan som er dens rod. $[E:K]=n$ $\alfa \i E$ $n+1$ $1,\alpha ,\alpha ^{2},...\alpha ^{n}$ $K$ $n$ $\alfa$

En simpel algebraisk forlængelse er endelig. Hvis et irreducerbart polynomium over har grad , så . $E=K(\alpha )$ $\alfa$ $K$ $n$ $[E:K]=n$

I et tårn af felter er et felt endeligt over, hvis og kun hvis endeligt over og endeligt over . Dette følger let af vektorrums grundlæggende egenskaber. I dette tilfælde, hvis er et grundlag over og er et grundlag over , så er et grundlag over , derfor . $F\supset E\supset K$ $F$ $K$ $F$ $E$ $E$ $K$ $e_{1},...e_{n}$ $E$ $K$ $f_{1},...f_{m}$ $F$ $E$ $f_{1}e_{1},f_{1}e_{2},...f_{1}e_{n},f_{2}e_{1},...f_{m}e_{1} ,...f_{m}e_{n}$ $F$ $K$ $[F:E][E:K]=[F:K]$

En endelig udvidelse E genereres endeligt . Vi kan tage elementer af ethvert grundlag som genererende elementer . Omvendt er enhver endeligt genereret algebraisk udvidelse endelig. Faktisk ,. Elementer , der er algebraiske over , forbliver det over et større felt . Dernæst anvender vi sætningerne om endeligheden af simple algebraiske udvidelser og tårnet af endelige udvidelser. $E=K(e_{1},...e_{n})$ $K(\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{n})=K(\alpha _{1})(\alpha _{2})...(\alpha _{n})$ $\alpha_i$ $K$ $K(\alpha _{1})...(\alpha _{{i-1}})$

Hvis selvfølgelig, så for enhver udvidelse så (hvis og er indeholdt i et eller andet felt) er sammensætningen af felter en endelig udvidelse ). $E\forstyrret K$ $F\uheld K$ $F$ $E$ $EF$ $F$

Litteratur

Van der Waerden B. L. Algebra - M:, Nauka, 1975
Zarissky O., Samuel P. Kommutativ algebra v.1 - M:, IL, 1963
Leng S. Algebra - M:, Mir, 1967