Hyperbolske ligninger

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 17. april 2019; verifikation kræver 1 redigering .

Hyperbolske ligninger er en klasse af partielle differentialligninger . De er kendetegnet ved, at Cauchy-problemet med indledende data givet på en ikke-karakteristisk overflade er unikt løseligt.

Anden ordens ligninger

Overvej den generelle form for en skalar partiel differentialligning af anden orden med hensyn til funktionen : $u\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$

\sum _{{i=1}}^{n}\sum _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_ {i}\partial x_{j}}}+\sum _{{k=1}}^{n}b_{k}{\frac {\partial u}{\partial x_{k}}}+cu= f(x_{1},\ldots ,x_{n})

I dette tilfælde er ligningen skrevet i en symmetrisk form, det vil sige: . Derefter den ækvivalente ligning i form af en andengradsform : $a_{{ij}}=a_{{ji}}$

\left(\nabla A\nabla ^{T}\right)u+{\mathbf {b}}\cdot \nabla u+cu=f(x_{1},\ldots ,x_{n})

hvor . Matrixen kaldes matrixen af hovedkoefficienter . Hvis signaturen af den resulterende form er , det vil sige, at matrixen har positive egenværdier og en negativ (eller omvendt: negativ, en positiv), så henvises ligningen til den hyperbolske type [1] . $A=A^{T}$
$EN$
$(n-1,1)$ $EN$ $n-1$ $n-1$

En anden ækvivalent definition: en ligning kaldes hyperbolsk, hvis den kan repræsenteres som:

Lu-a^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=f(x_{1},\ldots ,x_{{n-1}},t )

hvor: er en positiv-bestemt elliptisk operator , . $L$ $en \neq 0$

Førsteordens ligninger i planet

type ligning

u_{t}+Au_{x}=h(t,x,u)

hvor , , er kvadratiske matricer og er ukendte. Er hyperbolske, hvis matricen har forskellige reelle egenværdier for alle parametre. [2] $x\in \mathbb {R}$ $t\in \mathbb {R}$ ${\displaystyle A=A(x,t,u)\in \mathbb {R} ^{n\cdot n))$ ${\displaystyle u=u(x,t)\in \mathbb {R} ^{n))$ $EN$

Løsning af hyperbolske ligninger

For at finde en unik løsning suppleres ligningen med initial- og randbetingelser , da ligningen har anden orden i tid, er der to begyndelsesbetingelser: for selve funktionen og for dens afledte.

Til den analytiske løsning af ligninger i et uendeligt domæne anvendes Kirchhoff-formlen , som i det endimensionelle tilfælde er repræsenteret som d'Alembert-formlen og i det todimensionale tilfælde som Poisson-Parseval-formlen.
For en analytisk løsning i et begrænset område kan man bruge Fourier-variable separationsmetoden og dens modifikationer til at løse inhomogene ligninger.
For en numerisk løsning er den endelige elementmetode , den endelige differensmetode , deres kombination (i tid løses de ved endelige forskelle, i rummet - ved endelige elementer) [3] , samt andre numeriske metoder, der egner sig til opgaven, Brugt.

Eksempler på hyperbolske ligninger

Bølgeligningen er en ligning, der beskriver vibrationerne fra strenge , membraner og så videre.
Forskellige ligninger afledt af Maxwells ligninger , der beskriver det elektromagnetiske felt . Dette kan være en indstilling med hensyn til en af vektorerne , idet kun én af komponenterne i vektoren betragtes som ikke-nul (det vil sige, når ligningen bliver skalar). ${\mathbf {A},{\mathbf {E}),{\mathbf {B}),{\mathbf {D},{\mathbf {H))$
Chebyshev-netværket er en løsning på en lineær hyperbolsk ligning af første grad.

Se også

Litteratur

Hyperbolsk type ligning // Mathematical Encyclopedic Dictionary. Chefredaktør Yu. V. Prokhorov. - M .: "Sovjetisk Encyklopædi". - 1988.
Leray J. Hyperbolske differentialligninger. - M. , Nauka , 1984. - 208 s.

Noter

↑ Tikhonov A.N. , Samarsky A.A. Equations of Mathematical Physics (5. udgave). - Moskva: Nauka, 1977.
↑ Bressan, A. Hyperbolic Systems of Conservation Laws. — Oxford University Press. — ISBN 0-19-850700-3 .
↑ Soloveichik Yu.G. , Royak M.E. , Persova M.G. Finite element-metode til skalar- og vektorproblemer. - Novosibirsk: NGTU, 2007. - 896 s. - ISBN 978-5-7782-0749-9 .

Matematisk fysik

Typer af ligninger

Grænsebetingelser

Matematisk fysiks ligninger

Diffusion og konvektion	Varme ligning Diffusionsligning Mason-Weaver ligning
Hydrodynamik	Overførselsligning Navier-Stokes ligninger Euler ligning Gromeka-lam ligning Vortex ligning Burgers ligning Lavt vand ligninger Korteweg-de Vries ligning
Elektromagnetisme	Maxwells ligninger Helmholtz ligning Landau-Lifshitz ligning Screenet Poisson-ligning
Kvantemekanik	Schrödinger ligning Heisenberg ligning Rarita-Schwinger ligning Hartrees ligning Dirac ligning Klein-Gordon ligning
Generelle modeller	Kontinuitetsligning bølgeligning Fokker-Planck ligning Poisson ligning

Løsningsmetoder

Metoder til løsning af differentialligninger

Gittermetoder

Finite element metoder	Finite element metode Galerkin metode Diskontinuerlig Galerkin-metode Flerskala Finite Element-metode Multigrid metode
Andre metoder	Endelig forskelsmetode Endeligt volumen metode Godunovs metode Grænseelementmetode

Ikke-grid metoder

Studie af ligninger

relaterede emner