Navier-Stokes ligninger

Navier-Stokes-ligningerne er et system af partielle differentialligninger, der beskriver bevægelsen af en viskøs newtonsk væske . Navier-Stokes-ligningerne er blandt de vigtigste inden for hydrodynamik og bruges i den matematiske modellering af mange naturfænomener og tekniske problemer. Opkaldt efter den franske fysiker Henri Navier og den britiske matematiker George Stokes .

I tilfælde af en inkompressibel væske består systemet af to ligninger:

I hydrodynamik kaldes Navier-Stokes-ligningen normalt kun én vektorligning for bevægelse [1] [2] [3] [4] [5] [6] . Navier-Stokes-ligningen blev først opnået af Navier (1822, inkompressibel væske [7] ) og Poisson (1829, komprimerbar væske [8] ), som tog udgangspunkt i modelbegreber for molekylære kræfter. Senere blev den fænomenologiske udledning af ligningen givet af Saint-Venant [9] og Stokes [10] .

I vektorform for en væske skrives de som følger:

{\frac {\partial {\vec {v))}{\partial t))=-({\vec {v))\cdot \nabla ){\vec {v))+\nu \Delta {\vec {v}}-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+{\vec {f)),

hvor er nabla-operatoren , er Laplace-vektoroperatoren , er tiden, er den kinematiske viskositetskoefficient , er tætheden , er trykket , er vektorhastighedsfeltet, er vektorfeltet for kropskræfter . De ukendte og er funktioner af tid og koordinater , hvor , er et fladt eller tredimensionelt område, hvor væsken bevæger sig. $\nabla$ $\Delta$ $t$ $\nu$ $\rho$ $s$ ${\vec {v}}=(v^{1},\;\ldots ,\;v^{n})$ ${\vec {f}}$ $s$ $\vec{v}$ $t$ $x\in \Omega$ $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ $n=2,\;3$

For en inkompressibel væske bør Navier-Stokes-ligningerne suppleres med inkompressibilitetsligningen :

\nabla \cdot {\vec {v}}=0.

Normalt føjes grænse- og begyndelsesbetingelser til Navier-Stokes ligningssystem, for eksempel:

{\vec {v}}|_{\partial \Omega }=0,

{\vec {v}}|_{t=0}={\vec {v}}_{0}.

Nogle gange inkluderer systemet med Navier-Stokes-ligninger desuden varmeligningen og tilstandsligningen.

Når komprimerbarheden tages i betragtning, tager Navier-Stokes-ligningerne følgende form:

\rho \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial t}}+v_{k}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{k}}} \right)=-{\frac {\partial p}{\partial x_{i))}+{\frac {\partial }{\partial x_{k))}\left\{\eta \left({\ frac {\partial v_{i}}{\partial x_{k}}}+{\frac {\partial v_{k}}{\partial x_{i}}}-{\frac {2}{3}} \delta _{ik}{\frac {\partial v_{l}}{\partial x_{l}}}\right)\right\}+{\frac {\partial }{\partial x_{k}}} \left(\zeta {\frac {\partial v_{l)){\partial x_{l))}\delta _{ik}\right),

hvor er den dynamiske viskositetskoefficient (forskydningsviskositet ) , er "anden viskositet ", eller bulkviskositet , er Kronecker-deltaet . Denne ligning, under betingelse af konstante viskositeter , reduceres til vektorligningen $\eta$ $\zeta$ $\delta_{ik}$ $\eta$ $\zeta$

\rho \left({\frac {\partial {\vec {v))}{\partial t))+({\vec {v))\cdot \nabla ){\vec {v))\ højre)=-\nabla p+\eta \Delta {\vec {v))+\left(\zeta +{\frac {\eta}{3))\right)\nabla \operatørnavn {div} {\vec { v}}.

Kontinuitetsligningen for en komprimerbar væske har formen

{\frac {\partial \rho }{\partial t))+\nabla \cdot (\rho {\vec {v)))=0.

Analyse og løsning af ligninger

Analysen af løsninger til ligninger er essensen af et af de syv " millennium-problemer ", som Clay Mathematical Institute har tildelt en pris på 1 million US$. Det er nødvendigt at bevise eller modbevise eksistensen af en global glat løsning af Cauchy-problemet for de tredimensionelle Navier-Stokes-ligninger. At finde en generel analytisk løsning af Navier-Stokes-systemet til en tredimensionel eller plan strømning er kompliceret af det faktum, at den er ikke-lineær og stærkt afhænger af start- og randbetingelserne.

Nogle præcise løsninger:

Stationære strømninger i simple kanaler ( Poiseuille flow , Couette-Taylor flow , Couette flow osv.).
Solitoner og ikke-lineære bølger . En almindelig soliton dåse være en løsning på systemet under meget komplekse randbetingelser. Det blev først observeret eksperimentelt i en kanal af ingeniør Scott Russell.
En løsning, der eksisterer i en begrænset periode (de såkaldte "blow-up-regimer"). Denne hypotese blev fremsat af Jean Leray i 1933 . Han foreslog, at turbulens ( kaos ) i en væske dannes på grund af dannelsen af punkter eller en hvirvelfilament, hvorpå en eller anden komponent af hastigheden bliver uendelig.
Lydvibrationer . For små bølgeamplituder bliver de også en løsning . De ikke-lineære led i ligningen kan kasseres, da de ikke påvirker løsningen. Løsningen er de harmoniske funktioner af sinus eller cosinus, det vil sige lydvibrationer.

Grundlæggende egenskaber for Navier-Stokes-systemet

Når Reynolds-tallet overstiger en vis kritisk værdi, giver den analytiske eksakte løsning for en rumlig eller flad strømning et kaotisk strømningsmønster (den såkaldte turbulens ). I et bestemt tilfælde er det forbundet med Feigenbaum-teorien eller andre scenarier for overgangen til kaos. Da Reynolds-tallet falder under den kritiske værdi, giver opløsningen igen en ikke-kaotisk form for flow.
Ekstraordinær følsomhed over for ændringer i ligningens koefficienter under turbulente forhold: Når Re-tallet ændres med 0,05 %, er løsningerne fuldstændig forskellige fra hinanden.

Ansøgning

Ved at blive suppleret med ligningerne for varmeoverførsel og masseoverførsel , såvel som de tilsvarende kropskræfter, kan systemet af Navier-Stokes ligninger beskrive konvektion , termisk diffusion i væsker, opførsel af multikomponentblandinger af forskellige væsker osv.

Hvis Lorentz - kraften imidlertid indføres i ligningen som en kropskraft , og systemet suppleres med Maxwells ligninger for feltet i et kontinuerligt medium, så giver modellen mulighed for at beskrive fænomenerne elektro- og magnetohydrodynamik . Især er sådanne modeller med succes brugt til at modellere adfærden af plasma , interstellar gas .

Navier-Stokes ligningssystem ligger til grund for geofysisk hydrodynamik , herunder bruges til at beskrive strømninger i Jordens kappe ("dynamoproblem " ).

Variationer af Navier-Stokes-ligningen bruges også i dynamisk meteorologi til at beskrive bevægelsen af atmosfæriske luftmasser, især når der dannes en vejrudsigt. For at beskrive reelle strømme i forskellige tekniske enheder kan en acceptabel nøjagtighed af den numeriske løsning kun opnås med et sådant beregningsgitter, hvis celler er mindre end den mindste hvirvel. Dette kræver et meget stort forbrug af estimeret tid på moderne computere. Derfor er der lavet forskellige turbulensmodeller for at forenkle beregningen af reelle strømme.

Se også

Noter

↑ Sedov L.I. Kontinuumsmekanik . - M. : Nauka, 1970. - T. 1. - 492 s. Arkiveret 28. november 2014 på Wayback Machine
↑ Landau, Lifshitz, s. 73.
↑ L. Prandtl [libgen.org/book/index.php?md5=9B89B99CB6361E775F97B48B9F816F25 Fluid Aeromechanics]. - M.-Izhevsk: NIC "Regular and Chaotic Dynamics", 2000. - S. 147. - 576 s. — ISBN 5-93972-015-2 . (utilgængeligt link)
↑ Kochin N. E. , Kibel I. A. , Rose N. V. Teoretisk hydromekanik . - M. : Fizmatlit, 1963. - T. 2. - S. 387. - 728 s. Arkiveret 26. august 2014 på Wayback Machine
↑ Batchelor J. Introduktion til væskedynamik / Pr. fra engelsk. udg. G. Yu. Stepanova . - M . : Mir, 1973. - S. 194. - 760 s. Arkiveret 26. august 2014 på Wayback Machine
↑ Navier-Stokes-ligninger - artikel fra Great Soviet Encyclopedia . Targ S. M. .
↑ Navier. Mémoire sur les lois du mouvement des fluides (fransk) // Mémoires de l'Académie des sciences de l'Institut de France. - 1822. - Bd. 6 . Arkiveret fra originalen den 7. december 2013.
↑ Poisson. Mémoire sur les équations générales de l'équilibre et du mouvement des corps solides élastiques et des fluides (fransk) // Journal de l'École Polytechnique. - 1831. - Bd. 13 . Arkiveret fra originalen den 7. december 2013.
↑ Saint-Venant. Note à joindre au Mémoire sur la dynamique des fluides, présenté le 14 april 1834 (fransk) // Comptes rendus. - 1843. - Bd. 17 , nr . 22. _ Arkiveret fra originalen den 7. december 2013.
↑ Stokes. Om teorierne om indre friktion af væsker i bevægelse, og om ligevægt og bevægelse af elastiske faste stoffer (engelsk) // Transactions of the Cambridge Philosophical Society. - 1845. - Bd. 8 . Arkiveret fra originalen den 7. december 2013.

Litteratur

Temam R. Navier-Stokes ligninger. Teori og numerisk analyse. - 2. udg. — M .: Mir, 1981. — 408 s.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Hydrodynamics. - 4. udgave, stereotypisk. — M .: Nauka , 1988. — 736 s. - (" Teoretisk fysik ", bind VI).
Kutepov A. M., Sterman L. S., Styushin N. G. Hydrodynamik og varmeoverførsel under fordampning. - 3. udg., Rev. - M . : Højere skole, 1986. - 448 s.
Kutepov A. M., Polyanin A. D., Zapryanov Z. D., Vyazmin A. V., Kazenin D. A. Kemisk hydrodynamik. - M. : Quantum, 1996. - 336 s. - 1500 eksemplarer.
Durmagambetov A. A. Navier-Stokes Equations—Millennium Prize Problemer // Asset A. Durmagambetov, Leyla S. Fazilova Naturvidenskab. Videnskabelig forskning og akademisk forlag. - 2015. - T. 7 , nr. 2 . - S. 88-99 . - doi : 10.4236/ns.2015.72010 .

Links

Matematisk fysik

Typer af ligninger

Grænsebetingelser

Matematisk fysiks ligninger

Diffusion og konvektion	Varme ligning Diffusionsligning Mason-Weaver ligning
Hydrodynamik	Overførselsligning Navier-Stokes ligninger Euler ligning Gromeka-lam ligning Vortex ligning Burgers ligning Lavt vand ligninger Korteweg-de Vries ligning
Elektromagnetisme	Maxwells ligninger Helmholtz ligning Landau-Lifshitz ligning Screenet Poisson-ligning
Kvantemekanik	Schrödinger ligning Heisenberg ligning Rarita-Schwinger ligning Hartrees ligning Dirac ligning Klein-Gordon ligning
Generelle modeller	Kontinuitetsligning bølgeligning Fokker-Planck ligning Poisson ligning

Løsningsmetoder

Metoder til løsning af differentialligninger

Gittermetoder

Finite element metoder	Finite element metode Galerkin metode Diskontinuerlig Galerkin-metode Flerskala Finite Element-metode Multigrid metode
Andre metoder	Endelig forskelsmetode Endeligt volumen metode Godunovs metode Grænseelementmetode

Ikke-grid metoder

Studie af ligninger

relaterede emner