Magnetisk hydrodynamik

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 6. juli 2020; checks kræver 3 redigeringer .

Magnetohydrodynamik er en fysisk disciplin, der opstod i skæringspunktet mellem hydrodynamik og kontinuumelektrodynamik . Emnet for hendes undersøgelse er dynamikken i en ledende væske eller gas i et magnetfelt . Eksempler på de undersøgte medier er forskellige slags plasma , flydende metaller , saltvand.

Hannes Alfven , der blev tildelt Nobelprisen i 1970 for sit arbejde, er anerkendt som en pioner inden for forskning inden for teorien om magnetohydrodynamik . Det første eksperimentelle arbejde på dette område var Hartmanns undersøgelse i 1937 af modstanden mod strømmen af kviksølv i et rør under påvirkning af et tværgående magnetfelt.

Ligninger for magnetohydrodynamik

Det komplette system af ligninger af ikke-relativistisk magnetohydrodynamik af en ledende væske har formen:

{\begin{cases}\displaystyle \rho {\frac {\partial {\vec {v))}{\partial t))+\rho ({\vec {v)),\nabla ){\ vec {v}}=-\nabla p-{\frac {1}{4\pi }}[{\vec {H}}\operatørnavn {rot} {\vec {H}}]+\eta \Delta { \vec {v}}+\left({\frac {1}{3}}\eta +\zeta \right)\displaystyle \nabla \operatørnavn {div} {\vec {v}}\\\displaystyle p= p(\rho )\\\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t))+\operatørnavn {div} \rho {\vec {v))=0\\\displaystyle {\frac {\ delvis {\vec {H))}{\partial t))=-{\frac {1}{\sigma }}{\frac {c^{2}}{4\pi }}\operatørnavn {rot} \ venstre[\nabla \times {\vec {H}}\right]+\operatørnavn {rot} \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right]\\\displaystyle \nabla \cdot {\vec {H}}=0\end{cases}}

Her:

$s$ er trykket i mediet;
$\rho$ er densiteten af mediet;
$\sigma$ — mediets ledningsevne;
$\eta$ er mediets forskydningsviskositet ;
$\zeta$ er bulkviskositeten af mediet ;
${\vec {v}}$ er hastighedsfeltet;
${\vec {H}}$ er styrken af det magnetiske felt .

Dette system indeholder 8 ligninger og giver dig mulighed for at bestemme 8 ukendte ( , , , ) for givne start- og randbetingelser. $s$ $\rho$ ${\vec {H}}$ ${\vec {v}}$

Hvis vi bruger følgende tilnærmelser ( ikke-dissipativ grænse):

$\sigma \to \infty ;$
$\eta =0;$
$\zeta =0,$

så kan systemet af MHD-ligninger skrives på en enklere form:

{\begin{cases}\displaystyle \rho {\frac {\partial {\vec {v))}{\partial t))+\rho ({\vec {v)),\nabla ){\ vec {v}}=-\nabla p-{\frac {1}{4\pi }}[{\vec {H}}\operatørnavn {rot} {\vec {H}}]\\\displaystyle p= p(\rho )\\\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t))+\operatørnavn {div} \rho {\vec {v))=0\\\displaystyle {\frac {\ delvis {\vec {H}}}{\partial t}}=\operatørnavn {rot} \left[{\vec {v}}\time {\vec {H}}\right]\\\displaystyle \nabla \ cdot {\vec {H}}=0\end{cases}}

Udledning af ligninger

Udledning af MHD-ligningerne fra Maxwell- og hydrodynamiske ligninger

Lad os skrive systemet af Maxwells ligninger i CGS -systemet :

{\begin{cases}\displaystyle \nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\ delvis t}}\\\displaystyle \nabla \times {\vec {H}}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}} +{\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}\\\displaystyle \nabla \cdot {\vec {H}}=0\\\displaystyle \nabla \cdot {\vec {E }}=0\end{cases}}

Vi vil gå ud fra følgende antagelser:

den magnetiske permeabilitet er lig med én: $\mu=1;$
ingen elektriske ladninger $\rho =0;$
Ohms lov har formen: ${\vec {j}}=\sigma {\vec {E}}+{\frac {\sigma }{c}}{\vec {v}}\time {\vec {H}}.$

Vi begrænser os til det ikke-relativistiske tilfælde ( ), dvs. $v\ll c$ $\left|\nabla \times {\vec {H}}\right|\gg \left|{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{ \partial t}}\right|.$

Begrundelse for den ikke-relativistiske tilnærmelse.

Lad os vise, at det er ækvivalent $v\ll c$ $\left|\nabla \times {\vec {H}}\right|\gg \left|{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{ \partial t}}\right|:$

\left|\nabla \times \nabla \times {\vec H}\right|\gg \left|{\frac 1c}\nabla \times {\frac {\partial {\vec E)){\partial t} }\right|={\frac {1}{c^{2}}}\left|{\frac {\partial ^{2}{\vec H}}{\partial t^{2}}}\right |

Lad os vurdere dette udtryk:

{\frac {H}{L^{2}}}\gg {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {H}{\tau ^{2}}},

hvor:

$L$ er den karakteristiske længde;
$\tau$ er en karakteristisk tid.

Dette bringer os til følgende forhold:

c^{2}\gg {\frac {L^{2}}{\tau ^{2}}}=v^{2};

v\ll c.

Det vil sige, at den karakteristiske hastighed i systemet skal være meget mindre end lysets hastighed.

Maxwells ligninger i denne tilnærmelse vil blive skrevet som følger:

{\begin{cases}\displaystyle \nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\ delvis t}}\\\displaystyle \nabla \times {\vec {H}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}\\\end{cases}}

Udtrykker vi fra Ohms lov og substituerer den i den første ligning, får vi: ${\vec E}$

-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=\nabla \times \left({\frac {1}{\ sigma }}{\vec {j}}-{\frac {1}{c}}{\vec {v}}\ gange {\vec {H}}\right).

Ved at erstatte strømmen fra Maxwells anden ligning i denne ligning får vi:

-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}={\frac {1}{\sigma }}{\frac { c}{4\pi }}\nabla \times \left[\nabla \times {\vec {H}}\right]-{\frac {1}{c}}\nabla \times \left[{\vec {v}}\ gange {\vec {H}}\right].

Inden for grænsen for en ideel ledende væske får vi: $\sigma \til \infty$

${\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=\nabla \times \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right] .$

For at forbinde med hydrodynamik føjes et udtryk til Navier-Stokes-ligningen , der er ansvarlig for Ampère-kraften, der virker på strømme fra magnetfeltet (strømmen udtrykkes fra den anden Maxwell-ligning gennem magnetfeltstyrken):

{\vec {f}}={\frac {1}{c}}\venstre[{\vec {j}}\time {\vec {H}}\right]=-{\frac {1 }{4\pi }}\venstre[{\vec {H}}\ gange \operatørnavn {rot} {\vec {H}}\right].

Ansøgninger

Principperne for magnetohydrodynamik bruges til fjernovervågning og kontrol af flydende metallers adfærd i industrien, især:

i MHD-pumper ;
i MHD-generatorer .

Se også

Litteratur

V. Denisov "Introduktion til elektrodynamik af materielle medier: lærebog". - M .: Forlag i Moskva. un-ta, 1989. - ISBN 5-211-01371-9
Landau L. D., Lifshitz E. M. Elektrodynamik af kontinuerlige medier. - 4. udgave, stereotypisk. — M .: Fizmatlit , 2003 . — 656 s. - ("Teoretisk fysik", bind VIII). — ISBN 5-9221-0123-4 .
Kotelnikov IA- forelæsninger om plasmafysik. Bind 2: Magnetohydrodynamik. - 3. udg. - Sankt Petersborg. : Lan , 2021. - 446 s. - ISBN 978-5-8114-6933-8 .

Links

Magnetisk hydrodynamik i encyklopædien "Krugosvet".
Hjemmeside for tidsskriftet for Institut for Fysik ved Letlands Universitet "Magnetohydrodynamics" (tidligere tidsskrift "Magnetic hydrodynamics") .

Ordbøger og encyklopædier

I bibliografiske kataloger
BNE : XX524551 BNF : 11958825c GND : 4130803-7 J9U : 987007543557805171 LCCN : sh85079784 LNB : 000053294 NKC : ph122552

Afsnit af elektrodynamik
Elektrostatik og elektrodynamik Magnetostatik og magnetodynamik Relativistisk elektrodynamik kvanteelektrodynamik
Elektrodynamik af kontinuerlige medier	Magnetohydrodynamik Elektrohydrodynamik