Bevægelsesligningen for et kontinuerligt medium

Bevægelsesligningen for et kontinuert medium er en vektorligning, der udtrykker momentumbalancen for et kontinuert medium .

Historisk baggrund

Bevægelsesligningen i generel form blev opnået af Cauchy i begyndelsen af 1820'erne. (meddelelse henviser til 30. september 1822 [1] , kort udgivelse i 1823 [2] , fuld udgivelse i 1828 [3] ).

Generel form for ligningen

I et rektangulært kartesisk koordinatsystem har tre projektioner af bevægelsesligningen for et kontinuerligt medium formen [4]

$\rho \left({\frac {\partial v_{x}}{\partial t}}+v_{x}{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+v_{ y}{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}\right)={\frac {\ partial p_{xx)){\partial x))+{\frac {\partial p_{xy)){\partial y))+{\frac {\partial p_{xz)){\partial z))+\ rho F_{x},$

$\rho \left({\frac {\partial v_{y}}{\partial t}}+v_{x}{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}+v_{ y}{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}\right)={\frac {\ partial p_{yx)){\partial x))+{\frac {\partial p_{yy)){\partial y))+{\frac {\partial p_{yz)){\partial z))+\ rho F_{y},$

$\rho \left({\frac {\partial v_{z}}{\partial t}}+v_{x}{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}+v_{ y}{\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\right)={\frac {\ partial p_{zx)){\partial x))+{\frac {\partial p_{zy)){\partial y))+{\frac {\partial p_{zz)){\partial z))+\ rho F_{z},$

hvor er densiteten af det kontinuerte medium, , , er projektionerne af mediets hastighed, er komponenterne af spændingstensoren , , , er komponenterne af massetæthedsvektoren af de volumetriske kræfter, der virker på det kontinuerte medium (kraft pr masseenhed). Hvis den anvendte referenceramme ikke er inerti , skal inertikræfter medregnes i antallet af kropskræfter . $\rho (x,y,z,t)$ $v_{x}(x,y,z,t)$ $v_{y}(x,y,z,t)$ $v_{z}(x,y,z,t)$ $p_{{ij}}$ $F_{x}(x,y,z,t)$ $F_{y}(x,y,z,t)$ $F_{z}(x,y,z,t)$

Udtrykkene i parentes på venstre side er projektioner af acceleration , så på en måde kan bevægelsesligningen betragtes som en generalisering af Newtons anden lov for et konstant massematerialepunkt.

I et vilkårligt krumlinjet koordinatsystem har bevægelsesligningen formen

$\rho \left({\frac {\partial v^{i}}{\partial t}}+v^{k}\nabla _{k}v^{i}\right)=\nabla _ {k}p^{ik}+\rho F^{i},\quad i=1,2,3,$

hvor symbolet angiver den kovariante afledte med hensyn til den -te koordinat, og summeringen fra et til tre udføres over det gentagne indeks . ${\displaystyle \nabla _{i))$ $jeg$ $k$

Særlige former for ligningen

Hvis det kontinuerlige medium er i hvile (i forhold til det anvendte koordinatsystem), bliver bevægelsesligningerne til ligevægtsligninger ${\vec {v}}\equiv 0$

$0={\frac {\partial p_{xx}}{\partial x}}+{\frac {\partial p_{xy}}{\partial y}}+{\frac {\partial p_{xz }}{\partial z}}+\rho F_{x},$

$0={\frac {\partial p_{yx}}{\partial x}}+{\frac {\partial p_{yy}}{\partial y}}+{\frac {\partial p_{yz }}{\partial z}}+\rho F_{y},$

$0={\frac {\partial p_{zx}}{\partial x}}+{\frac {\partial p_{zy}}{\partial y}}+{\frac {\partial p_{zz }}{\partial z}}+\rho F_{z}.$

Særlige tilfælde af bevægelsesligningen er

Eulers ligning (bevægelsesligningen for en ideel væske );
Navier-Stokes-ligningen (ligningen for bevægelse for en lineært viskøs væske );
Navier-Lame- ligningen (bevægelsesligningen for små deformationer af et lineært elastisk medium ).

Noter

↑ Truesdell K. Essays i mekanikkens historie . - M.-Izhevsk: Institut for Computerforskning, 2002. - 316 s. — ISBN 5-93972-192-3 . Arkiveret 7. december 2013 på Wayback Machine
↑ Cauchy. Recherches sur l'équilibre et le mouvement intérieur des corps solides, élastiques ou non elastiques // Bulletin de la Société Philomatique. - 1823. Arkiveret 7. december 2013.
↑ Cauchy. Sur les equations qui expriment les conditions d'équilibre ou les lois du mouvement intérieur d'un corps solide, élastique ou non elastique . - 1828. Arkiveret 7. december 2013.
↑ Sedov L.I. Kontinuummekanik . - M. : Nauka, 1970. - T. 1. - 492 s. Arkiveret 28. november 2014 på Wayback Machine