Vinkelacceleration

Vinkelacceleration
${\boldsymbol \varepsilon }={\frac {{\mathrm d}{\boldsymbol \omega }}({\mathrm d}t))={\boldsymbol {\dot \omega }}$
Enheder
SI	rad / s 2
GHS	rad / s 2
Noter
pseudovektor

Vinkelacceleration er en pseudovektor fysisk størrelse lig med den første afledte af pseudovektoren af vinkelhastighed i forhold til tid

${\vec {\varepsilon }}={\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}.$

Vinkelacceleration karakteriserer intensiteten af ændringen i modulet og retningen af vinkelhastigheden under bevægelsen af et stift legeme .

Hvordan man kommer til begrebet vinkelacceleration: acceleration af et punkt i et stivt legeme i fri bevægelse

Begrebet vinkelacceleration kan nås ved at overveje beregningen af accelerationen af et punkt i et stift legeme i fri bevægelse. Hastigheden af et kropspunkt i fri bevægelse er ifølge Euler-formlen lig med $B$

${\vec {v}}_{B}={\vec {v}}_{A}+{\vec {\omega }}\time {\vec {AB)),$

hvor er hastigheden af kroppens punkt taget som en pæl; er pseudovektoren for kroppens vinkelhastighed; er en vektor sendt fra polen til det punkt, hvis hastighed beregnes. At differentiere dette udtryk med hensyn til tid og bruge Rivals-formlen [1] , har vi ${\vec v}_{A}$ $EN$ $\vec\omega$ ${\vec {AB}}$

${\vec {a_{B}}}={\vec {a_{A}}}+{\vec {\varepsilon }}\time {\vec {AB}}+{\vec {\omega } }\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {AB)))$

${\vec {a_{B}}}={\vec {a_{A}}}+{\vec {a_{BA}^{rot}}}+{\vec {a_{BA}^{ akse}}},$

hvor er stangens acceleration ; er pseudovektoren for vinkelacceleration. Komponenten af et punkts acceleration , beregnet gennem vinkelaccelerationen, kaldes rotationsaccelerationen af punktet omkring polen ${\vec a}_{A}$ $EN$ ${\vec \varepsilon }={\frac {d{\vec \omega }}{dt}}$ $B$ $B$ $EN$

${\vec {a}}_{BA}^{\,rot}={\vec {\varepsilon }}\ gange {\vec {AB}}.$

Det sidste led i den resulterende formel, som afhænger af vinkelhastigheden, kaldes den skarpe acceleration , accelerationen af et punkt omkring polen $B$ $EN$

${\vec {a}}_{BA}^{\,akse}={\vec {\omega }}\times \left({\vec {\omega }}\times {\vec {AB} }\ret).$

Geometrisk betydning af vinkelaccelerations-pseudovektor

Pseudovektoren er rettet tangentielt til vinkelhastighedshodografen . Overvej faktisk to værdier af vinkelhastighedsvektoren, til tiden og til tiden . Lad os estimere ændringen i vinkelhastigheden for det betragtede tidsinterval ${\vec \varepsilon }$ $t$ $t+\Delta t$ $\Delta t$

$\Delta {\vec {\omega }}={\vec {\omega }}(t+\Delta t)-{\vec {\omega }}(t).$

Vi tilskriver denne ændring den periode, hvor den fandt sted.

${\frac {\Delta {\vec {\omega ))}{\Delta t))={\vec {\varepsilon ))^{\,\,'}.$

Den resulterende vektor kaldes den gennemsnitlige vinkelaccelerationsvektor. Den indtager positionen af en sekant, der krydser hodografen for vinkelhastighedsvektoren ved punkterne og . Lad os gå til grænsen kl $M_{0}$ $M_{1}$ $\Delta t\til 0$

$\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta {\vec {\omega ))}{\Delta t))={\frac {d{\vec {\omega ))} {dt}}={\vec {\varepsilon }}.$

Den gennemsnitlige vinkelaccelerationsvektor vil blive til den øjeblikkelige vinkelaccelerationsvektor og vil tage positionen af en tangent ved et punkt til vinkelhastighedshodografen. $M_{0}$

Udtryk af vinkelaccelerationsvektoren i form af parametrene for den endelige rotation

Når man overvejer kroppens rotation gennem parametrene for den endelige rotation, kan vinkelaccelerationsvektoren skrives med formlen

${\vec {\varepsilon }}=\left(1-\cos \varphi \right)\left({\vec {u}}\time {\frac {d^{2}{\vec {u }}}{dt^{2}}}\right)+{\dot {\varphi }}\left(1+\cos \varphi \right){\frac {d{\vec {u}}}{dt }}+{\dot {\varphi }}\sin \varphi \left({\vec {u}}\times {\frac {d{\vec {u}}}}{dt}}\right)+\sin \varphi \,{\frac {d^{2}{\vec {u}}}{dt^{2}}}+{\ddot {\varphi }}\,{\vec {u}},$

hvor er enhedsvektoren, der angiver retningen af rotationsaksen; er den vinkel, gennem hvilken rotationen omkring aksen foretages . $\vec u$ $\varphi$ $\vec u$

Vinkelacceleration under rotation af et legeme omkring en fast akse

Når kroppen roterer omkring en fast akse, der passerer gennem kroppens faste punkter og , er afledte af enhedsvektoren for rotationsaksen lig nul $O_{1}$ $O_{2}$

${\frac {d{\vec {u}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {u}}}{dt^{2}}}=0.$

I dette tilfælde er vinkelaccelerationsvektoren trivielt bestemt i form af den anden afledede af rotationsvinklen

${\vec \varepsilon }={\ddot \varphi }\,{\vec u}$

eller

${\vec {\varepsilon }}=\varepsilon \,{\vec {u)),$

hvor er den algebraiske værdi af vinkelaccelerationen. I dette tilfælde er pseudovektoren af vinkelacceleration, ligesom vinkelhastigheden, rettet langs kroppens rotationsakse. Hvis den første og anden afledede af rotationsvinklen har samme fortegn $\varepsilon ={\ddot \varphi }$

( ), ${\dot \varphi }\,{\ddot \varphi }>0$

så falder vinkelaccelerationsvektoren og vinkelhastighedsvektoren sammen i retning (kroppen roterer hurtigt). Ellers ved , er vektorerne for vinkelhastighed og vinkelacceleration rettet i modsatte retninger (kroppen roterer langsomt). ${\dot \varphi }\,{\ddot \varphi }<0$

I løbet af teoretisk mekanik er tilgangen traditionel, hvor begrebet vinkelhastighed og vinkelacceleration introduceres, når man betragter et legemes rotation omkring en fast akse. I dette tilfælde betragtes tidsafhængigheden af kroppens rotationsvinkel som bevægelsesloven

$\varphi =\varphi(t).$

I dette tilfælde kan bevægelsesloven for legemets punkt udtrykkes på en naturlig måde, som længden af en cirkelbue, der gennemløbes af det punkt, hvor kroppen roterer fra en startposition $\varphi _{0}=\varphi (t_{0}).$

$s(t)=R\,\left(\varphi (t)-\varphi _{0}\right),$

hvor er afstanden fra punktet til rotationsaksen (radius af cirklen, langs hvilken punktet bevæger sig). Ved at differentiere den sidste relation med hensyn til tid får vi punktets algebraiske hastighed $R$

${\frac {ds}{dt}}=v_{\tau }=R\,{\frac {d\varphi }{dt}}=\omega \,R,$

hvor er den algebraiske værdi af vinkelhastigheden. Accelerationen af et punkt i kroppen under rotation kan repræsenteres som den geometriske sum af den tangentielle og normale acceleration $\omega ={\frac {d\varphi }{dt))$

${\vec {a}}_{M}={\vec {a}}_{M}^{\,\tau }+{\vec {a}}_{M}^{\,n },$

desuden opnås den tangentielle acceleration som en afledt af punktets algebraiske hastighed

$a_{M}^{\,\tau }={\frac {dv_{\tau }}{dt}}={\frac {d}{dt}}\left(\omega \,R\right )=R\,{\frac {d\omega }{dt))=\varepsilon \,R,$

hvor er den algebraiske værdi af vinkelaccelerationen. Den normale acceleration af et kropspunkt kan beregnes ved hjælp af formlerne ${\displaystyle \varepsilon ={\frac {d\omega }{dt))={\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2))))$

$a_{M}^{\,n}={\frac {v_{\tau }^{2}}{R}}=\omega ^{2}\,R.$

Udtryk af pseudovektoren for vinkelacceleration i form af kroppens rotationstensor

Hvis rotationen af et stivt legeme er givet af en rangstensor ( lineær operator ), udtrykt for eksempel i form af de endelige rotationsparametre $\left(1,\,1\right)$

$B_{\,m}^{\,p}=\venstre(1-\cos \varphi \right)\,u^{\,p}\,u_{\,m}+\cos \varphi \,\delta _{\,m}^{\,p}+\sin \varphi \,g^{\,pl}\,\epsilon _{\,lkm}\,u^{\,k},$

hvor er Kronecker-symbolet ; er Levi-Civita-tensoren , så kan vinkelaccelerations-pseudovektoren beregnes med formlen ${\displaystyle \delta _{\,m}^{\,p))$ ${\displaystyle \epsilon _{\,lkj))$

$\varepsilon ^{\,i}={\frac {1}{2}}\,\epsilon ^{ikl}\,g_{\,lp}\,\left(B_{\,m}^ {'\,p}\,{\ddot {B}}_{\,k}^{\,m}+{\dot {B}}_{\,m}^{'\,p}\, {\dot {B}}_{\,k}^{\,m}\right),$

hvor er den inverse transformationstensor lig med ${\displaystyle B_{\,m}^{'\,p))$

$B_{\,m}^{'\,p}=\left(1-\cos \varphi \right)\,u^{\,p}\,u_{\,m}+\cos \ varphi \,\delta _{\,m}^{\,p}-\sin \varphi \,g^{\,pl}\,\epsilon _{\,lkm}\,u^{\,k} .$

Noter

↑ V.I. Drong, V.V. Dubinin, M.M. Ilyin og andre; udg. K.S. Kolesnikova, V.V. Dubinin. Kursus i teoretisk mekanik: en lærebog for universiteter. - 2017. - S. 101, 111. - 580 s. - ISBN 978-5-7038-4568-4 .

Litteratur

Targ S. M. Et kort kursus i teoretisk mekanik - 10. udg., Revideret. og yderligere - M .: Højere. skole., 1986 - 416 s.
Pogorelov D. Yu. Introduktion til modellering af dynamikken i kropssystemer: Lærebog. - Bryansk: BSTU, 1997. - 197 s.