Trække tilbage

En tilbagetrækning af et topologisk rum er et underrum af dette rum, for hvilket der er en tilbagetrækning på ; altså et kontinuerligt kort , der er identisk på (det vil sige sådan, at for alle ). $x$ $EN$ $x$ $EN$ $f:X\to A$ $EN$ $f(x)=x$ $x\i A$

En tilbagetrækning af et topologisk rum arver mange vigtige egenskaber ved selve rummet. Samtidig kan det arrangeres meget enklere end sig selv, mere synligt, mere bekvemt for en specifik undersøgelse.

Eksempler

Et étpunktssæt er en tilbagetrækning af et segment, en linje, et plan osv.
Hvert ikke-tomt lukket sæt af et Cantor perfekt sæt er dets tilbagetrækning.
$n$ Den dimensionelle kugle er ikke en tilbagetrækning af den dimensionelle kugle i det euklidiske rum, da kuglen har nul homologigrupper , og kuglen har en ikke-nul gruppe . Dette modsiger eksistensen af en tilbagetrækning, eftersom tilbagetrækning inducerer en epimorfi af homologigrupper. $(n+1)$ $H_n$

Relaterede definitioner

Et underrum af et rum kaldes et kvarter tilbagetrækning , hvis der er et åbent underrum, der indeholder , hvis tilbagetrækning er . $EN$ $x$ $x$ $EN$ $EN$
Et metriserbart rum kaldes en absolut tilbagetrækning ( absolut naboskabs-tilbagetrækning ), hvis det er en tilbagetrækning (henholdsvis et kvarter-tilbagetrækning) af hvert metriserbart rum, der indeholder som et lukket underrum. $x$ $x$
Hvis tilbagetrækningen af et rum på dets underrum er homotop til den identiske kortlægning af rummet på sig selv, så kaldes det en deformationsrumtilbagetrækning . $x$ $EN$ $x$ $EN$ $x$
En lineær operator på et topologisk vektorrum, der er en tilbagetrækning, kaldes en kontinuerlig projektor . Et vektorunderrum af et topologisk vektorrum siges at være komplementeret, hvis der eksisterer en kontinuerlig projektion . $P$ $E$ $F$ $E$ $P\colon E\to F$

Egenskaber

Et underrum af et rum er dets tilbagetrækning, hvis og kun hvis enhver kontinuerlig afbildning af rummet til et vilkårligt topologisk rum kan udvides til en kontinuerlig afbildning af hele rummet til . $EN$ $x$ $EN$ $Y$ $x$ $Y$
Hvis rummet er Hausdorff , så er hver tilbagetrækning af rummet lukket ind . $x$ $x$ $x$
Enhver egenskab, der er bevaret under overgangen til et kontinuerligt billede, såvel som enhver egenskab, der er nedarvet af lukkede underrum, er stabile med hensyn til overgangen til et tilbagetrækning. Især når man går over til en tilbagetrækning,
- kompakthed ,
- forbundethed ,
- lineær forbindelse ,
- adskillelighed ,
- øvre grænse for dimension ,
- parakompakthed ,
- normalitet ,
- lokal kompakthed ,
- lokal forbindelse .
Hvis rummet har egenskaben af et fast punkt , dvs. for hvert kontinuerligt kort er der et punkt sådan, at , så har hver plads tilbagetrækning fast punkt egenskaben. $x$ $f:X\til X$ $x\i X$ $f(x)=x$ $x$
En absolut tilbagetrækning er et lokalt sammentrækbart rum .
Tilbagetrækningen inducerer en epimorfi af homologigrupperne .

Litteratur

Borsuk K., Teori om tilbagetrækninger, trans. fra engelsk, M., 1971.