Simpel homologi

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 4. april 2020; checks kræver 2 redigeringer .

Simplexer og komplekser

En dimension simplex er et konvekst skrog af punkter, der ikke ligger i etdimensionelt underrum. Et 0-dimensionelt simplekser et punkt, et 1-dimensioneltsegment, en 2-dimensionelttrekant, et 3-dimensionelttetraeder osv. Simplexet, der genereres af en del af punkterne, kaldes en flade af det store simpleks. $k$ $\langle a_{0},a_{1},...~a_{k}\rangle$ $(k-1)$ $\langle a_{0}\rangle$ $\langle a_{0},a_{1}\rangle$ $\langle a_{0},a_{1},a_{2}\rangle$ $\langle a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}\rangle$ $\langle a_{i}\rangle$

Derefter introducerer vi begrebet et simpelt kompleks (med vægt på e). Et kompleks er et sæt simplices, hvor komplekset hver omfatter alle dets flader, og to vilkårlige simplices har enten slet ikke et fælles punkt eller skærer kun langs en hel flade af en eller anden dimension og kun langs den ene flade. Normalt kræver de også, at ethvert punkt i komplekset har et kvarter, der skærer sig med højst et begrænset antal simplicer (den såkaldte lokale endelighed ). $K$

Kædegruppe

Overvej en gradueret Abelsk gruppe med heltalskoefficienter genereret af kompleksets simplices, de såkaldte. en kædegruppe, der er en direkte sum af kædegrupper af dimension . $C(K)$ $k:\;C_{k}(K)$

Simplices anses for at have en orientering, og simplex vil blive betragtet som ens, hvis permutationen er lige og har det modsatte fortegn, hvis den er ulige. $\langle a_{0},a_{1},...~a_{k}\rangle$ $\langle a_{\sigma (0)},a_{\sigma (1)},...~a_{\sigma (k)}\rangle$ $\sigma$

Grænseoperator

Vi definerer operatoren til at tage den geometriske flade $jeg$ :

$\langle a_{0},...~a_{i},...~a_{k}\rangle \to (-1)^{i}\langle a_{0},...~{\hat {a_{i}}},...~a_{k}\rangle$ , hvor betyder, at det -th toppunkt skal springes over. ${\hat {a_{i))}$ $jeg$

Operatøren for at tage en geometrisk flade afhænger kun af simplekset selv, men ikke af rækkefølgen af de hjørner, der definerer simplekset.

For at gøre dette er det tilstrækkeligt at bevise, at operatøren for at tage den -th flade ikke ændres, når to spidser ombyttes (transponering). Hvis denne gennemførelse ikke påvirker , så er det indlysende. Hvis det omarrangeres til det -th sted, så har vi (lad f.eks. ): $jeg$ $a_{i}$ $a_{i}$ $j$ $j<i$

{\begin{matrix}\langle a_{0},...~a_{j},...~a_{i},...~a_{k}\rangle =-\langle a_{0}, ...~a_{i},...~a_{j},...~a_{k}\rangle \to -(-1)^{j}\langle a_{0},...~ {\hat {a_{i))},...~a_{i-1},~a_{j},...~a_{k}\rangle =\\=-(-1)^{j }(-1)^{ij-1}\langle a_{0},...a_{j},...~a_{i-1},{\hat {a_{i}}}... ~a_{k}\rangle =(-1)^{i}\langle a_{0},...~a_{j},...~{\hat {a_{i))},... ~a_{k}\rangle \end{matrix}}

- som forventet (vender du tilbage til det gamle sted, skal du foretage en transponering, henholdsvis ændre tegnet det samme antal gange). ${\hat {a_{i))}$ $ij-1$

Lad os definere operatoren for den orienterede grænse af simplekset som følger:

\partial _{k}\langle a_{0},...~a_{k}\rangle =\sum (-1)^{i}\langle a_{0},...~{\hat {a_ {i}}},...~a_{k}\rangle

Ved at tage grænseoperatoren reduceres dimensionen med 1. For en 0-dimensionel simplex (punkter) betragter vi . Ved linearitet udvider vi operatøren til enhver kæde. Grænseoperatorens hovedegenskab er følgende: $EN$ $\partial{A}=0$ $\delvis$

\partial _{k-1}\partial _{k}=0

Anvendelse på et simpleks resulterer i fjernelse af to hjørner af sidstnævnte. Lad os antage det . $\partial _{k-1}\partial _{k}$ $\langle a_{0},a_{1},...~a_{k}\rangle$ $j<i$

Simplexet er inkluderet i resultatet af den første handling af operatøren med tegnet , men i med tegnet , da toppunktet ved fjernelse ikke længere vil være på -th-pladsen, men i -th. Disse tegn er modsatte, hvilket betyder, at det vil være lig med nul for enhver simplex, og ved linearitet - for enhver kæde. $\langle a_{0},...~{\hat {a_{j}}},...~{\hat {a_{i}}},...~a_{k}\rangle$ $(-1)^{i}\partial \langle {\hat {a_{i))}\rangle$ $(-1)^{i+j}$ $(-1)^{j}\delvis \langle {\hat {a_{j))}\rangle$ $(-1)^{i+j-1}$ ${\hat {a_{j))}$ ${\hat {a_{i))}$ $jeg$ $(i-1)$ $\partial _{k-1}\partial _{k}$

Simpel homologi på komplekser og polyedre

Et polyeder er en forening af polyeder.

Ved at opdele polyedre i simplices opnår vi et simpelt kompleks.

Simpel homologi introduceres på komplekser og polyedre som følger:

Overvej gruppen af dimensionskæder fra simplicerne af vores kompleks , betegnet med . $k$ $K$ $C_{k}(K)$

En kæde , hvor værdien af grænseoperatoren er lig med nul (med andre ord, ) kaldes en cyklus ; lad os betegne deres sæt . $c$ $\partial _{k}c=0$ $c\in \operatørnavn {Ker} \;\partial _{k}$ $Z_{k}(K)$

Hvis det for en eller anden kæde holder (med andre ord, ), så kaldes kæden grænsen ; sættet af grænser vil blive betegnet med . $c'$ $c=\partial _{k+1}c'$ $c\in \operatørnavn {Im} \;\partial _{k+1}$ $c$ $B_{k}(K)$

Da operatoren er lineær, danner både grænserne og cyklerne undergrupper af kædegruppen. Fra det faktum, at det er klart, at enhver grænse er en cyklus, dvs. $\delvis$ $\partial \partial =0$ $B_{k}\subseteq Z_{k}$

To strenge siges at være homologe , hvis de adskiller sig med en grænse. Det optages (dvs. ). $x\sim y$ $x=y+\delvis z$

Faktorgruppen kaldes gruppen af k-dimensionel simplicial homologi af komplekset . $H_{k}=Z_{k}(K)/B_{k}(K)=\operatørnavn {Ker} \;\partial _{k}/\operatørnavn {Im} \;\partial _{k+1}$

Eksempel

Lade være et en-dimensionelt kompleks, der er grænsen for en to-dimensionel simplex (trekant) . Lad os finde dens homologi. $S_{1}$ $\langle a_{0},a_{1},a_{2}\rangle$

$B_{1}=0$ , da der ikke er todimensionelle forenklinger i komplekset. Derfor . Lad os nu finde ud af, hvornår en endimensionel kæde kan være en cyklus. $H_{1}=Z_{1}/B_{1}=Z_{1}$

Lad os tage en vilkårlig kæde . Vi har: $c=x\langle a_{0},a_{1}\rangle +y\langle a_{1},a_{2}\rangle +z\langle a_{2},a_{0}\rangle$

\partial c=(zx)\langle a_{0}\rangle +(xy)\langle a_{1}\rangle +(yz)\langle a_{2}\rangle =0

Så . Derfor har enhver endimensionel cyklus formen $zx=xy=yz=0;\quad x=y=z$ $c$

x(\langle a_{0},a_{1}\rangle +\langle a_{1},a_{2}\rangle +\langle a_{2},a_{0}\rangle )

betyder , at der simpelthen er en uendelig cyklisk gruppe . $H_{1}=Z_{1}$ $\mathbb {Z}$

Lad os finde nul-dimensionel homologi. Siden da . Det følger af lighed , at og adskiller sig ved grænsen. På samme måde , og adskiller sig med grænsen, har enhver nuldimensional kæde derfor op til grænsen formen . Det vil sige, er simpelthen en uendelig cyklisk gruppe . Hvis det i sig selv er en grænse, altså , så har vi det , og derfor . $\partial _{0}=0$ $Z_{0}=C_{0}$ $\partial \langle a_{0},a_{1}\rangle =\langle a_{1}\rangle -\langle a_{0}\rangle$ $\langle a_{1}\rangle$ $\langle a_{0}\rangle$ $\langle a_{1}\rangle$ $\langle a_{2}\rangle$ $t\langle a_{0}\rangle$ $C_{0}$ $\mathbb {Z}$ $t\langle a_{0}\rangle =\partial c=(zx)\langle a_{0}\rangle +(xy)\langle a_{1}\rangle +(yz)\langle a_{2}\rangle$ $xy=yz=0;\quad x=y=z;\quad t=zx=0$ $B_{0}=0$ $H_{0}=C_{0}/B_{0}=\mathbb {Z}$

Så for grænsen af den todimensionelle simplex . $H_{0}=H_{1}=\mathbb {Z}$

Nogle egenskaber ved homologi

Hvis homologien af et kompleks er defineret, så anses de også for at være homologien af polyederet svarende til dette kompleks. $K$ $|K|$

Homologigruppernes uafhængighed af valget af triangulering skal dog bevises.

Det kan bevises, at en homomorfi svarer til en kontinuert kortlægning af polyedre , og denne korrespondance, som de siger, er funktionel , det vil sige, at en sammensætning af kontinuerlige afbildninger svarer til en sammensætning af homomorfismer af homologigrupper , og en identisk kortlægning svarer til en identisk homomorfi . $f:|K|\til |L|$ $f_{*}:H_{k}(K)\til H_{k}(L)$ $(fg)_{*}=f_{*}g_{*}$ $(id)_{*}=id_{*}$

Hvis komplekset består af et endeligt antal simplicer, så vil homologigruppen have et endeligt antal generatorer.

I dette tilfælde er det repræsenteret som en direkte sum af flere forekomster af gruppen af heltal (deres antal, det vil sige homologigruppens rang kaldes Betti-tallet ) og endelige cykliske grupper, hvor hver er en divisor (disse tal kaldes torsionskoefficienter ). Betti-tallet og torsionskoefficienterne er entydigt bestemt. $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} _{a_{0}},\mathbb {Z} _{a_{1}},...~\mathbb {Z} _{a_{i}},...~\mathbb { Z} _{a_{k}}$ $a_{i}$ $a_{i-1}$

I første omgang introducerede A. Poincaré dem for at karakterisere topologiske egenskaber.

E. Noether viste vigtigheden af overgangen til studiet af homologigrupperne selv.

Litteratur

Pontryagin L. S. Grundlæggende om kombinatorisk topologi. — M .: Nauka, 1986
Steenrod N., Eilenberg S. Grundlag for algebraisk topologi. - M .: Fizmatgiz, 1958
Fomenko A. T., Fuchs D. B. Et kursus i homotopi topologi. — M .: Nauka, 1989