Heptamino

Heptamino  er en syvcellet polyomino , det vil sige en flad figur bestående af syv lige store firkanter forbundet med sider. Med heptomino-figurerne, som med alle polyominoer, er der mange problemer med at underholde matematik.

Hvis vi ikke tæller de forskellige figurer, der er sammenfaldende under rotationer og spejlrefleksioner, så er der 108 forskellige ("to-sidede", "frie") former for heptamino (se figur) [1] [2] . Der er 196 typer "ensidigt" heptamino (hvis spejlrefleksioner betragtes som forskellige figurer) og 760 typer "fast" heptamino (drejninger betragtes også som forskellige) [3] .

Klassificering af heptamino efter symmetri

De 108 frie heptomino-figurer kan opdeles i 6 kategorier i henhold til deres symmetriegenskaber:

• 84 heptamino-figurer (vist med gråt på figuren) er asymmetriske;
• 9 heptominoer (afbildet i rødt) har en symmetriakse parallel med linjerne i det firkantede gitter;
• 7 heptominoer (afbildet med grønt) har en diagonal symmetriakse;
• De 4 heptominoer (vist i blåt) har andenordens central (rotations) symmetri;
• 3 heptominoer (afbildet i lilla) har to symmetriakser parallelt med gitterlinjerne;
• 1 heptomino (afbildet i orange) har to diagonale symmetriakser.

For ensidige heptominoer (dvs. hvis spejlbillederne af figurerne betragtes som forskellige), fordobles den første og fjerde kategori i antal, hvilket giver yderligere 88 heptominoer, dvs. i alt 196. For faste heptaminoer (dvs. hvis rotationerne også betragtes som forskellige tal), så vil den første kategori stige med otte gange sammenlignet med frie heptominoer, de næste tre kategorier med fire gange og de sidste to kategorier med to . Dette vil give faste heptominoer.

Kompilering af figurer fra heptamino

Blandt 108 frie heptominoer er der en figur med et hul ("ikke-simpelt forbundet"). Det følger af dette, at en fuldstændig dækning af ethvert rektangel med kvadraternes areal med et komplet sæt heptamino er umuligt. (Det er også umuligt at dække et 757 kvadratisk rektangel med et 1 kvadrat hul med et komplet sæt heptominos, da 757 er et primtal, og det er naturligvis umuligt at lave et 1x757 rektangel ud fra heptominos.)

Ud fra et komplet sæt af 108 heptominoer kan der dog bygges tre 11x23 rektangler, hver med et enkelt cellehul i midten [4] . Selvfølgelig skal en ikke-simpelt forbundet heptomino være placeret omkring et af disse huller. Ved at kombinere disse rektangler på forskellige måder kan du få et 33x23 eller 11x69 rektangel med tre symmetrisk arrangerede huller.

Hvis vi kasserer den ikke-simpelt forbundne heptomino, kan de resterende 107 enkelt forbundne figurer (med et samlet areal på 749 kvadrater) bruges på forskellige måder til at danne et 7 × 107 rektangel. Der kan især tilføjes fire 7×25 rektangler og en 7×7 kvadrat [4] fra dem .

Af alle 108 heptominoer kan 12 identiske 8  ×  8 skakbrætter samles, som hver har det samme felt fjernet [5] [6] . Patrick Hamlyn lavede denne konstruktion ved hjælp af tre-farvede heptominoer (36 heptominoer af hver af de tre farver), så stykkerne af samme farve ikke rører hinanden. Derefter kan man, uden at ændre farven på figurerne, fra alle heptominoerne i hver af de tre farver tilføje et 11  ×  23 rektangel med den centrale monomino fjernet [5] .

Pseudo-heptamino

Pseudopolyomino er en generalisering af polyomino, et sæt felter på et uendeligt skakbræt, som kongen kan omgå [1] . Der er 3031 bilaterale [7] , 5931 unilaterale [8] og 23.592 faste [9] pseudoheptamino.

Noter

1. ↑ 1 2 Golomb, 1975 .
2. ↑ Golomb, 1994 .
3. ↑ Weisstein, Eric W. Heptomino  (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
4. ↑ 1 2 Problemer blev først løst af David A. Klarner (Golomb, 1975, s. 119).
5. ↑ 12 Ed Pegg Jr. G4G5 snak . En meget flot heptomino-løsning af Patrick Hamlyn . MathPuzzle.com . Hentet 20. november 2015. Arkiveret fra originalen 5. september 2015. (ubestemt)
6. ↑ Ed Pegg Jr. Christopher Moncktons Eternity og andre nye polyformer . MathPuzzle.com. Hentet 20. november 2015. Arkiveret fra originalen 4. marts 2016. (ubestemt)
7. ↑ OEIS -sekvens A030222 _
8. ↑ OEIS -sekvens A030233 _
9. ↑ OEIS -sekvens A006770 _

Litteratur

• Golomb S.V. . Polyomino \u003d Polyominoes / Pr. fra engelsk. V. Firsova. Forord og udg. I. Yagloma . —M.:Mir, 1975. — 207 s.
• Solomon W. Golomb . polyominoer. — 2. udg. - Princeton, New Jersey: Princeton University Press , 1994. - ISBN 0-691-02444-8 .
• D. Hugh Redelmeier. Optælling af polyominoer: endnu et angreb // Diskret matematik: journal. - 1981. - Bd. 36. - S. 191-203. - doi : 10.1016/0012-365X(81)90237-5 .
• Daniel A. Rawsthorne. Flisekompleksitet af små n -ominoer ( n < 10)  // Diskret matematik: Journal. - 1988. - Bd. 70.—S. 71–75. - doi : 10.1016/0012-365X(88)90081-7 .
• Glenn C. Rhoads. Plane fliser af polyominoer, polyhexes og polyiamonds // Journal of Computational and Applied Mathematics: tidsskrift. - 2005. - Bd. 174. - S. 329-353. - doi : 10.1016/j.cam.2004.05.002 .