Ikke-amino

Nonamino (eller 9-mino ) - ni-cellet polyomino , eller polygoner , sammensat af 9 lige store firkanter forbundet med sider [1] [2] .

Hvis vi ikke skelner mellem figurer opnået fra hinanden ved rotationer og refleksioner, så er der 1285 nonomino [1] [2] [3] . Hvis vi bliver enige om at skelne mellem spejlrefleksioner, stiger antallet af nonamino til 2500 [4] , og hvis vi skelner mellem rotationer, så op til 9910 [5] [6] [7] .

Undersæt

37 ud af 1285 nonamino indeholder huller [7] [8] . En af nonaminoerne indeholder et dominoformet hul ; mindre polyominoer har kun enkelte huller.

Kun én nonomino er en polygon, hvis længder af alle sider er lig med én (monominoer har denne egenskab før nonominoer, X er pentominoer og én af 369 octominoer ) [9] [10] .

Symmetrier

De 1285 bilaterale nonominoer kan opdeles i flere delmængder i henhold til deres symmetrigrupper [6] :

• 1196 nonamino er asymmetriske - deres symmetrigruppe er triviel [11] ;
• 38 nonamino har en symmetriakse , parallel med kanterne af den firkantede parket, og deres symmetrigruppe består af to elementer - identisk transformation og refleksion [12] ;

• 26 nonamino har én diagonal symmetriakse, og deres symmetrigruppe består også af to elementer [13] ;

• 19 nonamino har central symmetri af anden orden, og deres symmetrigruppe består af to elementer - identisk transformation og rotation med 180° [14] ;

• 4 nonominoer har to indbyrdes vinkelrette symmetriakser, parallelt med siderne af polyominoerne; deres symmetrigruppe består af fire elementer - en identisk transformation, to refleksioner og en 180° rotation [15] ;

• 2 nonominoer har fire symmetriakser (to parallelle med siderne af polyominoerne og to diagonale) og en central symmetri af fjerde orden. Deres symmetrigruppe består af 8 elementer [16] .

I modsætning til octamino , er der ingen figurer blandt nonamino med orden 4 central symmetri eller figurer med to diagonale symmetriakser.

Antallet af dobbeltsidede eller frie nonomino (figurer, der kan drejes og vendes) er således

antallet af ensidige nonomino (figurer, der kan drejes, men ikke vendes) kan findes ved formlen

og antallet af faste nonomino (figurer, der hverken kan drejes eller vendes) - ifølge formlen

Plane flisebelægning

1050 dobbeltsidede nonamino (alle undtagen 235, som inkluderer 37 "utætte" nonamino) dækker planet [17] [18] [19] ; 1048 af disse 1050 nonomino opfylder enten Conways kriterium alene eller er i stand til at danne en "patch" af to kopier af nonominoen, der opfylder Conways kriterium. De to exceptionelle nonominoer, der dækker flyet på trods af at Conways test ikke bestod, er vist i figuren til højre; 9 er det mindste tal, for hvilke der er sådanne undtagelser [20] .

Oprettelse af konfigurationer fra nonamino

37 nonomino indeholder "huller", så ud af alle 1285 nonomino kan ikke et eneste rektangel foldes [1] . Dog i 1972-1973. D. Bird (David Bird) byggede flere symmetriske konfigurationer ved at bruge alle 1285 nonomino; to konstruktioner passer ind i en 109  ×  109 kvadrat [2] [21] . I 2005 konstruerede Peter Esser ud fra alle 1285 nonomino fem kongruente 17  ×  137 rektangler, som hver indeholdt 12 symmetrisk arrangerede huller med et samlet areal på 16 celler [22] ; han konstruerede også 16 18  ×  39 rektangler fra 1248 enkelt forbundne nonominoer [22] .  Patrick Hamlyn byggede 48 18 × 13 rektangler fra 1248 simpelthen forbundne nonominoer  ; muligheden for at konstruere 96 identiske rektangler [22] er ikke udelukket .

Pseudononamino

Pseudopolyomino er en generalisering af polyomino, et sæt felter på et uendeligt skakbræt, som kongen kan omgå [1] . Der er 118.133 dobbeltsidede pseudononamino [23] , 235.456 enkeltsidede pseudononamino [24] og 940.982 fikserede pseudononamino [25] .

Noter

1. ↑ 1 2 3 4 Golomb, 1975 .
2. ↑ 1 2 3 Golomb, 1994 .
3. ↑ Sekvens A000105 i OEIS
4. ↑ OEIS -sekvens A000988 _
5. ↑ Sekvens A001168 i OEIS
6. ↑ 12 Redelmeier , 1981 .
7. ↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Polyomino  (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
8. ↑ OEIS -sekvens A001419 _
9. ↑ Kol. George Sicherman. Katalog over enhedspolyominoer (29. juli 2014). Hentet 15. november 2015. Arkiveret fra originalen 17. november 2015. (ubestemt)
10. ↑ Sekvens A245620 i OEIS
11. ↑ OEIS -sekvens A006749 _
12. ↑ OEIS -sekvens A006746 _
13. ↑ OEIS -sekvens A006748 _
14. ↑ OEIS -sekvens A006747 _
15. ↑ OEIS -sekvens A056877 _
16. ↑ OEIS -sekvens A142886 _
17. ↑ Rawsthorne, 1988 .
18. ↑ Joseph Myers. Polyomino, polyhex og polyiamond flisebelægning . Hentet 15. november 2015. Arkiveret fra originalen 17. november 2015. (ubestemt)
19. ↑ OEIS -sekvenser A054359 , A054360 , A054361 _
20. ↑ Rhoads, 2005 .
21. ↑ David Birds polyominokonstruktioner . Poly-siderne. Hentet 20. november 2015. Arkiveret fra originalen 4. marts 2016. (ubestemt)
22. ↑ 1 2 3 Polyominoer . Poly-siderne. Hentet 20. november 2015. Arkiveret fra originalen 14. maj 2015. (ubestemt)
23. ↑ OEIS -sekvens A030222 _
24. ↑ OEIS -sekvens A030233 _
25. ↑ OEIS -sekvens A006770 _

Litteratur

• Golomb S.V. . Polyomino \u003d Polyominoes / Pr. fra engelsk. V. Firsova. Forord og udg. I. Yagloma . —M.:Mir, 1975. — 207 s.
• Solomon W. Golomb . polyominoer. — 2. udg. - Princeton, New Jersey: Princeton University Press , 1994. - ISBN 0-691-02444-8 .
• D. Hugh Redelmeier. Optælling af polyominoer: endnu et angreb // Diskret matematik: journal. - 1981. - Bd. 36. - S. 191-203. - doi : 10.1016/0012-365X(81)90237-5 .
• Daniel A. Rawsthorne. Flisekompleksitet af små n -ominoer ( n < 10)  // Diskret matematik: Journal. - 1988. - Bd. 70.—S. 71–75. - doi : 10.1016/0012-365X(88)90081-7 .
• Glenn C. Rhoads. Plane fliser af polyominoer, polyhexes og polyiamonds // Journal of Computational and Applied Mathematics: tidsskrift. - 2005. - Bd. 174. - S. 329-353. - doi : 10.1016/j.cam.2004.05.002 .