Funktionsparitet

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 3. oktober 2022; checks kræver 2 redigeringer .

Ulige og lige kaldes funktioner , der har symmetri med hensyn til ændringen i argumentets fortegn. Denne opfattelse er vigtig inden for mange områder af matematisk analyse , såsom teorien om potensrækker og Fourierrækker . Navnet er forbundet med egenskaberne for potensfunktioner: Funktionen er lige, når den er lige, og ulige, når den er ulige. $f(x)=x^{n}$ $n$ $n$

En ulige funktion er en funktion, der vender sin værdi, når tegnet for den uafhængige variabel ændres (dens graf er symmetrisk omkring centrum af koordinaterne).
En lige funktion er en funktion, der ikke ændrer sin værdi, når tegnet for den uafhængige variabel ændres (dens graf er symmetrisk om y- aksen).
Hverken en lige eller en ulige funktion (eller en generel funktion ). Denne kategori omfatter funktioner, der ikke falder ind under de foregående 2 kategorier.

Strenge definition

Definitioner introduceres for ethvert definitionsdomæne , der er symmetrisk med hensyn til nul , for eksempel et segment eller et interval . $X \subset \mathbb{R}$

En funktion kaldes, selvom ligheden $f:X \to \mathbb{R}$

f(-x)=f(x),\quad \foralt x\i X.

En funktion kaldes ulige hvis ligheden

f(-x)=-f(x),\quad \foralt x\i X.

Funktioner, der ikke tilhører nogen af ovenstående kategorier, kaldes hverken lige eller ulige (eller generiske funktioner).

Funktioner, der har en nulværdi i hele deres definitionsdomæne, og dette definitionsdomæne er symmetrisk i forhold til nul, er både lige og ulige; for eksempel funktionerne f ( x ) = 0 og f ( x ) = 0/ x . Enhver funktion, der er både lige og ulige, er identisk lig nul over hele dens definitionsdomæne.

Egenskaber

Grafen for en ulige funktion er symmetrisk i forhold til oprindelsen . $O$
Grafen for en lige funktion er symmetrisk om y-aksen . $Åh$
En vilkårlig funktion kan entydigt repræsenteres som en sum af ulige og lige funktioner: $f:[-X,X] \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

f(x) = g(x) + h(x),

hvor

g(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2},\; h(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}.

Funktionerne g ( x ) og h ( x ) kaldes henholdsvis den ulige del og den lige del af funktionen f ( x ) .

Summen , forskellen og generelt enhver lineær kombination af lige funktioner er lige, og ulige funktioner er ulige. Derfor danner lige funktioner et lineært vektorrum over feltet af reelle tal, det samme gælder for ulige funktioner.
Produktet af to funktioner af samme paritet er lige.
Produktet af to funktioner med forskellig paritet er ulige.
Sammensætningen af to ulige funktioner er ulige.
Sammensætningen af en lige funktion med en ulige er lige.
Sammensætningen af enhver funktion med et lige tal er lige (men ikke omvendt).
Den afledte af en lige funktion er ulige, og en ulige funktion er lige.
For bestemte integraler af lige funktioner, ligheden

\int \limits _{-A}^{A}f(x)\;dx=2\int \limits _{0}^{A}f(x)\;dx=2\int \limits _{-A}^{0}f(x)\;dx.

I overensstemmelse hermed, for bestemte integraler af ulige funktioner, ligheden

\int \limits _{-A}^{A}f(x)\;dx=0.

Dette indebærer relationerne for ukorrekte integraler af lige funktioner:

\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\;dx=2\int \limits _{0}^{\infty }f(x)\;dx=2\ int \limits _{-\infty }^{0}f(x)\;dx

og fra ulige funktioner:

\mathrm {vp} \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\;dx=0

(vp angiver hovedværdien af det ukorrekte Cauchy-integral).

Maclaurin-seriens udvidelse af en lige funktion indeholder kun udtryk med lige potenser, og en ulige funktion kun med ulige.
Udvidelsen i en Fourier-række af en periodisk lige funktion indeholder kun led med cosinus, og en periodisk ulige funktion indeholder kun led med sinus.
Selv funktioner danner en kommutativ algebra over feltet af reelle tal. Dette gælder dog ikke for ulige funktioner, da deres mængde ikke er lukket under multiplikation (produktet af to ulige funktioner er en lige funktion).

Eksempler

Nedenfor overalt $x\in \mathbb {R} .$

Ulige funktioner

Eksponentiering med en ulige heltalseksponent: hvor er et vilkårligt heltal . $f(x)=x^{2k+1},$ $k\in \mathbb{Z}$
Signum : $f(x)={\begin{cases}\ \ 1,&x>0\\\ \ 0,&x=0\\-1,&x<0\end{cases))$
Terningroden og generelt roden af enhver positiv ulige grad $y={\sqrt[{3}]{x}}$ $y={\sqrt[{2k+1}]{x)),\quad k\in \mathbb {N} .$
Trigonometriske funktioner : sinustangens cotangens cosecant $f(x)=\sin x,$ $f(x)=\operatørnavn {tg} x,$ $f(x)=\operatørnavn {ctg} x,$ $f(x)=\operatørnavn {cosec} x.$
Inverse trigonometriske funktioner : arcsin arctangent arccosecant $f(x)=\arcsin x,$ $f(x)=\operatørnavn {arctg} x,$ $f(x)=\operatørnavn {arccosec} x.$
Hyperbolske funktioner : hyperbolsk sinus, hyperbolsk tangens, hyperbolsk cotangens og hyperbolsk cosecant.
Inverse hyperbolske funktioner : areasin, areatangent, areacotangent, areacosecant.
Særlige og generiske funktioner :
- Gudermann-funktion og omvendt Gudermann-funktion $f(x)=\operatørnavn {gd} x=\operatørnavn {arctg} (\operatørnavn {sh} x)$ $f(x)=\operatørnavn {arcgd} x=\operatørnavn {arch} (\sek x).$
- integral sinus $f(x)=\operatørnavn {Si} x.$
- Fejlfunktion og omvendt fejlfunktion $f(x)=\operatørnavn {erf} x$ $f(x)=\operatørnavn {erf} ^{-1}x.$
- Dawsons funktion .
- Chi-funktion af Legendre .
- Mathieu funktioner se i ( x ) .
- Rademacher-funktionen .

Lige funktioner

Eksponentiering med en lige heltalseksponent: hvor er et vilkårligt heltal . $f(x)=x^{2k},$ $k\in \mathbb{Z}$
Absolut værdi (modulus) : $f(x)=|x|.$
Konstant funktion : $f(x)=a.$
Trigonometriske funktioner : cosinussekant $f(x)=\cos x,$ $f(x)=\sek x$
Hyperbolske funktioner: hyperbolsk cosinus, hyperbolsk sekant.
Særlige og generiske funktioner:
- Dirac delta funktion $f(x)=\delta(x).$
- Gaussisk funktion for b =0. $f(x)=a\exp \left(-{\frac {(xb)^{2}}{2c^{2}}}\right)$
- Dirichlet funktion .
- Kardinal sinc x (både normaliseret og unormaliseret).
- Mathieu funktioner ce i ( x ) .

Litteratur

I. M. Gelfand , E. G. Glagoleva , E. E. Shnol . Funktioner og grafer. Grundlæggende tricks . - M . : Nauka, 1968. - (Fysik- og Matematikskolens Bibliotek, hæfte 2). (Engelsk oversættelse: Functions and Graphs. The MIT Press, 1969, Birkhäuser: Boston, 1990 og 1998)