Tonelli-Fubini-sætning

Tonelli - Fubini-sætningen i matematisk analyse , sandsynlighedsteori og relaterede discipliner reducerer beregningen af dobbeltintegralet til gentagne.

Ordlyd

Lad to mellemrum med -endelige mål $\sigma$ gives . Angiv med deres produkt . Lad funktionen være integrerbar med hensyn til målet . Derefter $\left(X_{i},\;{\mathcal {F}}_{i},\;\mu _{i}\right),\;i=1,\;2$ $\left(X_{1}\time X_{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\;\mu _{ 1}\nogle gange \mu _{2}\right)$ $f\colon X_{1}\ gange X_{2}\til \mathbb{R}$ $\mu _{1}\nogle gange \mu _{2}$

funktionen er defineret -næsten overalt og integrerbar med hensyn til ; $x_{1}\to \int \limits _{X_{2}}f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{2}\left(dx_ {2}\right)$ $\mu_{1}$ $\mu_{1}$
funktionen er defineret -næsten overalt og integrerbar med hensyn til ; $x_{2}\to \int \limits _{X_{1}}f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{1}\left(dx_ {1}\right)$ $\mu_{2}$ $\mu_{2}$
der er ligheder

\iint \limits _{X_{1}\gange X_{2}}f\venstre(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{1}\nogle gange \mu _{2}\left(dx_{1}\,dx_{2}\right)=\int \limits _{X_{1}}\left[\;\,\int \limits _{X_{2}} f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{2}\left(dx_{2}\right)\right]\,\mu _{1}\left( dx_{1}\right)

\iint \limits _{X_{1}\gange X_{2}}f\venstre(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{1}\nogle gange \mu _{2}\left(dx_{1}\,dx_{2}\right)=\int \limits _{X_{2}}\left[\;\,\int \limits _{X_{1}} f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{1}\left(dx_{1}\right)\right]\,\mu _{2}\left( dx_{2}\right).

Særlige tilfælde

Sandsynlighedsteori

Lade være sandsynlighed mellemrum , og være en tilfældig variabel på . Derefter $(\Omega _{i},\;{\mathcal {F}}_{i},\;{\mathbb {P}}_{i}),\;i=1,\;2$ $X\colon \Omega _{1}\ gange \Omega _{2}\til \mathbb{R}$ $(\Omega _{1}\ gange \Omega _{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\;{\mathbb {P }}_{1}\nogle gange {\mathbb {P}}_{2})$

{\mathbb {E}}_{{{\mathbb {P}}_{1}\otimes {\mathbb {P}}_{2}}}[X]={\mathbb {E}}_{{ {\mathbb {P}}_{1}}}\left[{\mathbb {E}}_{({\mathbb {P}}_{2}}}[X]\right]={\mathbb { E}}_{{{\mathbb {P}}_{2}}}\venstre[{\mathbb {E}}_{({\mathbb {P}}_{1}}}[X]\right ],

hvor indekset angiver det sandsynlighedsmål , som den matematiske forventning tages i forhold til .

Matematisk analyse

Lad den Riemann-integrerbare funktion af to variable på et rektangel , dvs. Derefter $f\kolon D=[a,\;b]\ gange [c,\;d]\til \mathbb{R}$ $[a,\;b]\ gange [c,\;d]$ $f\in \mathbb{R} (D)$

\iint \limits _{D}f(x,\;y)\,dx\,dy=\int \limits _{a}^{b}\venstre[\int \limits _{c}^ {d}f(x,\;y)\,dy\right]\,dx=\int \limits _{c}^{d}\venstre[\int \limits _{a}^{b}f( x,\;y)\,dx\right]\,dy,

hvor integralet på venstre side er todimensionelt, og resten er iterativt endimensionelt. Det antages, at der eksisterer itererede integraler.

Bevis

Enhver partition af et sæt opnås af nogle partitioner af et segment og et segment , og volumenet af ethvert rektangel bestemmes af , hvor er nogle delvise segmenter af partitioner. Overvej derefter følgende integrale estimater $\lambda$ $[a,\;b]\ gange [c,\;d]$ $\lambda _{{x}}$ $X=[a,\;b]$ $\lambda _{{y}}$ $[c,\;d]$ $X_{{i}}\ gange Y_{{j}}$ $V\left(X_{{i}}\gange Y_{{j}}\right)=\left|X_{{i}}\right|\cdot \left|Y_{{j}}\right|$ $X_{{i}},Y_{{j}}$

\int \limits _{X}dx\left[\int \limits _{Y}f\left(x,\;y\right)\,dy\right]\quad (*)

og nedre og øvre integralsummer af funktionen og : Så, med integrerbarhed med hensyn til , det vil sige lighed fra ovenstående estimater, eksisterer integralet også og har samme værdi som ${\mathcal {L}}\left(f,\;\lambda \right)$ ${\mathcal {U}}\left(f,\;\lambda \right)$
${\mathcal {L}}\left(f,\;\lambda \right)=\sum \limits _{i,\;j}\inf \limits _{x\in X_{i},\ ;y\in Y_{j}}f\left(x,\;y\right)V\left(X_{i}\gange Y_{j}\right)\leqslant \sum \limits _{i}\inf \limits _{x\in X_{i}}\left(\sum \limits _{i}\inf \limits _{y\in Y_{j}}f\left(x,\;y\right)\ venstre|Y_{j}\right|\right)\left|X_{i}\right|$
$\sum \limits _{i}\inf \left(\int \limits _{Y}f\left(x,\;y\right)\,dy\right)\left|X_{i}\ højre|\leqslant \int \limits _{X}\,dx\int \limits _{Y}f\left(x,\;y\right)\,dy\leqslant \sum \limits _{i}\sup \left(\int \limits _{Y}f\left(x,\;y\right)\,dy\right)\left|X_{i}\right|$
${\mathcal {U}}\left(f,\;\lambda \right)=\sum \limits _{i,\;j}\sup \limits _{x\in X_{i},\ ;y\in Y_{j}}f\venstre(x,\;y\right)V\venstre(X_{i}\gange Y_{j}\right)\geqslant \sum \limits _{i}\sup \limits _{x\in X_{i}}\left(\sum \limits _{i}\sup \limits _{y\in Y_{j}}f\left(x,\;y\right)\ venstre|Y_{j}\right|\right)\left|X_{i}\right|$
$f$ $X\ gange Y$ $\sup \limits _{\lambda }\,\;{\mathcal {L}}\left(f,\;\lambda \right)=\inf \limits _{\lambda }\,{\mathcal {U}}\venstre(f,\;\lambda \right)$ $(*)$ $\iint \limits _{X\ gange Y}f(x,\;y)\,dx\,dy.$

Se også

Litteratur

Zorich V. A. Matematisk analyse . - M . : Nauka Hovedudgave af fysisk og matematisk litteratur, 1984. - S. 131-138.