Geometri (Descartes)

Geometri

Titel side
generel information
Forfatter Rene Descartes
Type litterært arbejde
Genre historie
Original version
Navn fr.  La Geometri
Sprog fransk
Udgivelsessted Leiden
Udgivelsesåret 1637
sider 106
Russisk version
Tolk A. P. Yushkevich
Kommentator A. P. Yushkevich
Udgivelsessted M.-L.
Forlag Gostekhizdat
Udgivelsesåret 1938
sider 297

"Geometri" ( fr.  La Géométrie ) er et værk af René Descartes , udgivet i Leiden (Holland) i 1637 som det tredje appendiks til Descartes' filosofiske afhandling " Diskurs om metode ". Antal sider: 106. Forfatterens navn var ikke angivet i første oplag. Dette er det eneste værk af Descartes, der udelukkende er viet til matematik; det blev af forfatteren betragtet som et eksempel på anvendelsen af ​​hans generelle metoder. Efter 1637 blev Geometry udgivet separat fra Discourse on Method [1] .

Descartes' "Geometri" blev et vendepunkt i udviklingen af ​​ny matematik; det var en opslagsbog for de største matematikere i det 17. århundrede. Dens hovedværdi var, at bogen indeholdt en præsentation af et nyt afsnit af matematik - analytisk geometri , som gjorde det muligt at oversætte geometriske problemer til algebraisk sprog ved hjælp af et koordinatsystem og derved i høj grad forenklede deres undersøgelse og løsning. Derudover brugte Descartes praktisk matematisk symbolik i Geometri , som fra det øjeblik blev almindeligt accepteret i videnskaben. Endelig begyndte "Geometri" processen med at skifte matematikeres opmærksomhed fra studiet af numeriske værdier til studiet af forhold mellem dem - i moderne terminologi, funktioner [2] .

De revolutionære transformationer i matematik udført i "geometrien" gjorde det muligt for Descartes at løse en række problemer, der var utilgængelige for de gamle metoder. Den kartesiske tilgang tjente som grundlag for udviklingen af ​​matematisk analyse i slutningen af ​​det 17. århundrede af Newton og Leibniz .

Baggrund

På en måde kan det siges, at Descartes vendte prioriteringerne af algebra og geometri, og korrigerede den strategiske fejl fra de gamle græske matematikere . I det 5. århundrede f.Kr e. den første krise i matematikkens grundlag udbrød [3] - Pythagoræerne opdagede, at diagonalen af ​​et kvadrat er inkompensurabel med dets side, det vil sige, at deres forhold ( ) ikke kan udtrykkes hverken med et naturligt tal eller med en brøk . Men gamle matematikere genkendte ikke andre numeriske objekter, bortset fra naturlige tal, selv en brøkdel blev ikke betragtet af dem som et tal, men som et forhold ( proportion ). Det lykkedes ham at finde en vej ud i det 4. århundrede f.Kr. e. Eudoxus af Cnidus - han introducerede sammen med tal begrebet geometriske størrelser (længder, arealer, volumener). For homogene mængder blev der defineret aritmetiske operationer svarende til numeriske. Eudoxus' teori blev forklaret af Euklid i den femte bog af hans Principia , og den blev brugt i Europa indtil det 17. århundrede. Euklid skulle genbevise sætningerne om tal separat for mængder, og aritmetikken af ​​mængder var meget dårligere end numerisk aritmetik, om ikke andet fordi den kun vedrørte homogene størrelser [4] [5] .

I moderne tid blev det klart, at konstruktionen af ​​numerisk algebra på basis af geometri var en fejl. For eksempel, fra et synspunkt af geometri, udtryk og havde ikke engang en geometrisk fortolkning (den fysiske dimension af resultatværdien var ikke defineret) og gav derfor ikke mening; det samme gælder for negative tal [6] .

Descartes tog en anden vej - i stedet for at reducere algebra til geometri, reducerede han geometri til algebra, og denne vej viste sig at være meget mere frugtbar. For at gøre dette muligt udvidede Descartes begrebet tal - det absorberede alle reelle tal , inklusive irrationelle , og er abstrakt , det vil sige adskilt fra geometri [7] . Det separate begreb om en geometrisk størrelse bliver da overflødigt. Algebraisering af geometri gjorde det også muligt at opdage fælles træk i geometriske problemer, der syntes at være fuldstændig uafhængige [8] [9] .

I kombination med François Vietas symbolske algebra og systemet med algebraisk notation, som var veludviklet på det tidspunkt (hvor Descartes selv deltog i udviklingen), gjorde denne innovation det muligt at udføre matematiske studier af hidtil uset dybde og almenhed . For første gang skitserede Descartes en plan for en sådan reform af matematikken den 26. marts 1619 i et brev til den hollandske matematiker Isaac Beckmann . Yderligere materiale Descartes modtog i løbet af sine studier i optik [10] .

Forgængere

Descartes henviser praktisk talt ikke til andre videnskabsmænds værker inden for geometri, hvilket gav Wallis og flere andre matematikere en grund til at beskylde ham for at plagiere ideerne fra andre algebraister, især Harriot og Girard . Descartes byggede dog også sin anden afhandling, Dioptri, som om ingen havde studeret matematisk optik før ham [11] [12] .

En utvivlsom indflydelse på Descartes var François Viète , grundlæggeren af ​​symbolsk algebra. Som nævnt ovenfor begyndte Descartes at udvikle hovedideerne i sin reform allerede i 1619, så han på hovedpunkterne i sit program er fuldstændig uafhængig. Dette bekræftes også af hans omfattende korrespondance. Girard før Descartes formulerede algebraens grundlæggende sætning (1629), og Harriot var den første til at undersøge nedbrydningen af ​​et polynomium i lineære faktorer (1631). Descartes brugte ikke den matematiske symbolik fra Girard og Herriot, og stiftede bekendtskab med Harriots bog efter udgivelsen af ​​Geometry. Descartes korresponderede aktivt med Pierre Fermat , som også kan hævde æren af ​​at opdage analytisk geometri, men Fermats indflydelse mærkes ikke i Descartes' skrifter. Ingen af ​​forgængerne foreslog en så radikal reform af matematikken som Descartes [13] [14] .

Ideologiske træk ved Descartes' tilgang

Universel metode til at løse problemer

På trods af vigtigheden af ​​at skabe analytisk geometri, ønskede Descartes at opnå et meget større mål med udgivelsen af ​​Geometry – at give den mest generelle metode til løsning af matematiske problemer. Denne generelle (som han troede) metode beskriver Descartes som følger. De fleste af de matematiske problemer kan i sidste ende reduceres til algebraiske ligninger eller et system af sådanne ligninger. Derfor er løsningen af ​​problemet simpelthen beregningen af ​​rødderne til disse ligninger . Hvis der, når man løser et problem, ikke opstår algebraiske, men andre ( transcendentale ) ligninger, så er der for dem, mente Descartes, ingen generel løsningsmetode. Til selve udregningen af ​​rødderne bruger Descartes en grafisk metode - rødderne fås som skæringspunkterne mellem linjer, cirkler og andre algebraiske kurver [15] . Descartes vidste, at konstruktionen af ​​to graders kurver og giver dig mulighed for at løse nogle graders ligning [16] .

For eksempel for at løse ligningen:

Descartes repræsenterede det som et system:

Den første ligning giver en parabel på planet (x, z) , den anden giver en cirkel , og det er tilbage at finde punkterne for deres skæringspunkt. Descartes viste, at det er muligt at løse ligninger af femte og sjette orden ved analoge metoder, for hvilke der ikke findes algebraiske formler, der ligner Cardano-formlen [17] .

Alle udtryk, der indgår i ligningen, overføres Descartes til venstre side, således at højre side altid er lig nul; denne teknik reducerede undersøgelsen til at finde rødderne af polynomiet på venstre side og studere sammenhængen mellem disse rødder og ligningens koefficienter [16] .

Generalisering af talbegrebet

Som vist ovenfor kombinerede Descartes, i modsætning til de gamle forfattere, tal og geometriske størrelser. Samtidig skelnede han mellem tre typer tal: heltal , brøk og irrationel ( latin  surdus , bogstaveligt talt: "døv"); Descartes lavede ikke signifikante forskelle mellem dem, da studiet af kontinuerlige kurver og deres algebraiske billeder er uforeneligt med Pythagoras begrænsning til rationelle tal [18] . Descartes tog også et skridt i retning af at legalisere negative tal ved at skildre dem som segmenter modsat positive. Selvom Descartes ifølge traditionen stadig kaldte negative rødder "falske", kombinerede han dem allerede med "sande", det vil sige positive, i den generelle kategori af "rigtige rødder" - og kontrasterede dem med imaginære ( komplekse ) rødder [19] .

Reformen af ​​Descartes betød "udligning af rettigheder" for hele, brøktal og irrationelle tal. Denne langsigtede proces blev fuldført af Newton , som i " Universal Arithmetic " (1707) gav den klassiske definition af et reelt tal som forholdet mellem måleresultatet og en enhedsstandard [19] [20] :

Ved tal forstår vi ikke så meget et sæt af enheder som et abstrakt forhold af en eller anden mængde til en anden mængde af samme art, taget som en enhed.

Originaltekst  (lat.)[ Visskjule] Per Numerum non tam multitudinem unitatum quam abstractam quantitatis cujusvis ad aliam ejusdem generis quantitattem quae pro unitate habetur ratioem intelligimus.

Analytisk geometri

Historikere opdagede begyndelsen af ​​koordinatmetoden i "keglesnittene" af Apollonius af Perga ( 3. århundrede f.Kr. ). Descartes udviklede de grundlæggende ideer om analytisk geometri senest i 1632. Princippet om at formulere geometriske egenskaber i algebraisk sprog blev udviklet samtidigt med Descartes af en anden fremragende fransk matematiker, Pierre Fermat , men hans arbejde blev ikke offentliggjort i forfatterens levetid. Fermats tilgang lignede Cartesian, selvom den var ringere end sidstnævnte i klarhed og dybde i præsentationen [21] .

Descartes' koordinatsystem var noget anderledes end det moderne. Descartes fikserer oprindelsen af ​​koordinater og den positive koordinatakse på planet (han betragtede kun positive koordinater, og hans ordinatakse er vandret), projicerer derefter punkterne på den undersøgte kurve på denne akse, vinkelret eller i en anden fast vinkel . , der faktisk opnår den anden koordinat ( abscisse ) som længden af ​​det fremspringende segment. Yderligere udleder Descartes for denne kurve en relation, der forbinder abscisse og ordinater ( kurveligning ). Derefter kan ethvert geometrisk udsagn om en given kurve udledes rent algebraisk fra kurvens ligning uden at ty til tegninger. Men som en hyldest til den gamle tradition giver Descartes normalt en geometrisk fortolkning af sine ligninger. Bemærk, at begreberne abscisse, ordinat, koordinat i moderne forstand dukkede op meget senere med Leibniz, og den anden koordinatakse blev først introduceret af Descartes Claude Rabuels kommentator ( Claude Rabuel , 1669-1728) i et supplement til Geometry publiceret posthumt ( 1730) [22] [23] [24] [25] .

Descartes inddelte alle kontinuerlige kurver i geometriske og mekaniske ; de førstnævnte adskiller sig ved, at de kan beskrives med en algebraisk ligning . Mekaniske kurver såsom spiraler eller firkanter blev taget uden for rammerne af Descartes' undersøgelse. Han udførte den første klassifikation nogensinde af plane algebraiske kurver af forskellige grader, efterfølgende korrigeret og suppleret af Newton [21] . Descartes var tydeligvis klar over, at hans algebraisering var fyldt med en skjult fare - når man drager konklusioner ud fra formlen for koordinater, er det i princippet nødvendigt at kontrollere hver gang, at disse konklusioner ikke afhænger af valget af koordinatsystemet og ikke er en tilfældig konsekvens af en eller anden funktion i det nuværende koordinatsystem. Descartes' ræsonnement om dette emne lagde grundlaget for teorien om invarianter [9] .

Descartes' notation

Hos Descartes fik algebraisk symbolik et næsten moderne udseende; "Geometri" er den første bog i historien, de formler, som den moderne læser vil opfatte uden besvær. Descartes foreslog at bruge alfabetets begyndelsesbogstaver for kendte parametre : og for ukendte parametre, de sidste bogstaver: Descartes brugte det samme tredobbelte som koordinatsymboler ved plotning af grafer ; Descartes selv begrænsede sig dog til flade kurver, den aktive brug af rumlige koordinater begyndte senere end Clairaut [26] [7] .

Descartes dannede den moderne notation af eksponentiering , for eksempel: med eksponenten til højre og over variabelsymbolet . Mod slutningen af ​​århundredet udvidede Newton denne notation til brøkeksponenter og negative eksponenter. F. Cajori karakteriserer den kartesiske notation af grader som den mest vellykkede og fleksible symbolik i hele algebra - den er enkel, kompakt og klar, letter transformationer og, som viste sig at være særlig vigtig for det følgende, stimulerede den udvidelsen af begrebet eksponentiering til negative, fraktionerede og endda komplekse eksponenter, såvel som udseendet i matematik af en magt og eksponentiel funktion ; alle disse præstationer ville have været svære at opnå ved at bruge betegnelserne fra det 16. århundrede [27] .

Den algebraiske symbolik af Descartes blev næsten fuldstændig adopteret af efterfølgende generationer af videnskabsmænd, kun det usædvanlige kartesiske lighedstegn blev erstattet af et mere vellykket symbol på Robert Record . Derudover blev restriktioner på koefficienter fjernet, som Descartes altid anså for ikke-negative, og undtagelser fra denne regel blev afspejlet af et særligt tegn [28] . Den hollandske matematiker Johann Hudde tillod allerede i 1657 bogstavelige variabler at tage værdier af ethvert tegn [29] . Newtons monografi " Universal Arithmetic " (1707) bruger Descartes' notation og Records lighedstegn. Foreningen af ​​algebraisk notation blev stort set afsluttet i slutningen af ​​det 17. århundrede [28] .

Indhold

"Geometri" er opdelt i tre dele (bøger). Forfatterens udtalelser er som regel ikke ledsaget af strenge beviser, men illustreres af en lang række eksempler [16] .

Bog 1: "Om problemer, der kan konstrueres ved kun at bruge cirkler og lige linjer" . Allerede i det første kapitel erklærer forfatteren: "Alle problemer med geometri kan let reduceres til sådanne termer, at det for deres konstruktion så vil være nødvendigt kun at kende længden af ​​nogle rette linjer." Descartes beskriver overensstemmelsen mellem aritmetiske operationer og geometriske konstruktioner svarende til dem, introducerer læseren til sit notationssystem. Yderligere giver han en metode til at konstruere ligninger for det problem, der skal løses - du skal blot nedskrive dataene i forholdsproblemets tilstand med formler og derefter lede efter en løsning på de opnåede ligninger [30] .

Som et eksempel på effektiviteten af ​​hans metode betragtede og løste Descartes det klassiske problem med Pappus (fra afhandlingen Pappus "Mathematical Collection", bog VII): for linjer i et plan er det nødvendigt at finde stedet for sådanne punkter for hvor produktet af længderne af segmenterne trukket fra disse punkter til disse linjer i samme vinkler, har et givet forhold til et lignende produkt af længderne af segmenterne trukket til de resterende rette linjer. Papp fastslog, at det ønskede sted er et keglesnit , men gav ikke et fuldstændigt bevis; Descartes overvejede ikke kun den generelle sag, men også særlige situationer (en del af undersøgelsen er placeret af ham i den anden bog) [22] [23] [31] .

Anden bog: "Om de skæve linjers natur" . Denne bog er viet til anvendelsen af ​​algebra til geometri. Her indikerede Descartes en generel metode til at tegne normaler og tangenter til algebraiske kurver, som han derefter anvendte på visse problemer inden for optik . Differentialregningen er endnu ikke oprettet, og Descartes bruger metoden med ubestemte koefficienter , som illustreres af eksemplet med ellipsen , Diocles-cissoiden og ovalen [32] . Da Pierre Fermat informerede Descartes om sin differentielle metode til at tegne tangenter, enklere og mere praktisk moderne, afviste han, at den gik ud over algebraens grænser, selvom han i studiet af cykloiden og den logaritmiske spiral selv brugte metoder, der ikke passede. ind i den kartesiske ideologi (f.eks. metoden med udelelige ) [33] [34] .

Descartes udtrykte pessimisme i dette kapitel med hensyn til muligheden for at beregne længden af ​​en bue af en vilkårlig kurve (" rette en kurve ", som de sagde dengang): efter hans mening, "er forholdet mellem rette linjer og kurver ukendt, og jeg tænk, kan ikke engang kendes af mennesker ” [35 ] [36] På det tidspunkt kunne ingen kurve, bortset fra en cirkel , rettes. Pessimisme viste sig at være uberettiget - tyve år senere (i 1657) gennemførte William Neil berigtigelsen af ​​Neils parabel , og et år senere fandt Wren længden af ​​buen af ​​en ikke-algebraisk cykloid . Yderligere skabte matematisk analyse en generel teori til at finde længden af ​​en bue, som straks blev brugt til en lang række kurver [37] .

I slutningen af ​​anden del skriver Descartes: "Jeg tror nu, at jeg ikke er gået glip af noget fra begyndelsen, der er nødvendigt for kendskabet til buede linjer." Faktisk var de grænseløse muligheder, som analytisk geometri åbnede, kun begyndelsen på den nye geometris imponerende fremskridt [23] .

Tredje bog: "Om konstruktionen af ​​kropslige eller overskridende kropslige opgaver" . I den tredje bog skitserede Descartes de grundlæggende algebrasætninger akkumuleret af denne periode og metoder til løsning af ligninger, som han sammenkædede i et enkelt system med praktisk generel symbolik og terminologi. Især formulerede han algebraens grundlæggende sætning : en ligning kan have lige så mange forskellige rødder som dens grad (Descartes kaldte komplekse rødder "imaginære" og var lidt opmærksomme på dem) [38] .

Følgende er givet (uden bevis) Descartes' tegnregel til bestemmelse af antallet af positive og negative rødder ud fra koefficienterne for et polynomium (strengt bevist først i det 18. århundrede af Lagrange ), samt regler for bestemmelse af reel position rødder på den reelle akse . Et århundrede foran Etienne Bezout viste Descartes, at hvis er roden til et polynomium , så har dette polynomium en faktor , det vil sige, at det kan repræsenteres som . Descartes reducerer problemet med vinkeltrisektion til en kubisk ligning og løser det med sin sædvanlige metode ved at bruge keglesnit [38] .

Descartes udtrykte den opfattelse, at ligninger af tredje og højere grad ikke kan løses med et kompas og en lige , generelt set; med andre ord kan den generelle kubiske ligning ikke løses ved kun at bruge kvadrat- (i stedet for kubiske ) rødder. Dette udsagn viste sig at være sandt, selvom forfatterens ræsonnement om dette emne ikke er overbevisende og ikke har nogen beviskraft. Men Descartes bemærkede korrekt, at løsningen af ​​en kubisk ligning med heltalskoefficienter og en ledende koefficient på 1 med et kompas og en ligekant er mulig, hvis denne ligning har en reel rod (som naturligvis vil være et heltal ). Descartes løste også udtømmende et lignende spørgsmål for en 4. grads ligning ved at konstruere dens 3. ordens opløsningsmiddel [39] [40] .

Historisk indflydelse

Som afslutning på "Geometrien" bemærkede Descartes spøgende [41] :

Og jeg håber, at vor efterkommere vil være mig taknemmelige, ikke blot for det, jeg har forklaret her, men også for det, jeg frivilligt har undladt, for at give dem fornøjelsen af ​​selv at finde det.

Faktisk fik Descartes' værk, især efter udgivelsen af ​​hans latinske oversættelse (1649, Frans van Schoten ), straks talrige tilhængere og forårsagede mange publikationer, hvis forfattere fulgte den vej, Descartes anviste, og aktivt udviklede hans ideer. "Geometri" modstod fire genoptryk i Holland og Tyskland i løbet af det 17. århundrede. Med hver ny udgave blev Descartes' tekst bevokset med omfattende tilføjelser og præciseringer af vanskelige steder; allerede anden udgave optog to bind [1] . Descartes selv bevægede sig efter "Geometri" til en vis grad væk fra matematikken og foretrak udviklingen af ​​sin metafysiske naturfilosofi (selv om han i breve til venner gav løsningen på mange problemer) [33] .

Blandt de første ideologiske tilhængere af Descartes var van Schoten , Erasmus Bartholin , Johann Hudde , Florimond de Beaune . John Wallis (1655) var uden tvivl påvirket af Descartes , som udgav en afhandling med den betydningsfulde titel "General Mathematics or a Complete Course in Arithmetic" ( Mathesis universalis sive arithmeticum opus integrum , 1657), efterfølgende revideret til en afhandling (168) (168) . Wallis udvidede algebraisering til metoden med udelelige (tidligere rent geometriske), og kom tæt på at skabe en integralregning [42] .

Isaac Newton læste i sin ungdom Descartes' "Geometry" og satte den endda over Euclids " Begyndelse " . I Newtons " Universal Arithmetic " (1707) fandt adskillelsen af ​​algebra fra geometri sted endegyldigt [38] [43] [44] . Som historikeren Carl Boyer bemærkede, imiterede Gottfried Leibniz i sine tidlige publikationer om analyse , bevidst eller ej, den kartesiske geometris stil [45] ; i et af sine breve nævner Leibniz Galileo , Descartes og Huygens som sine lærere [46] .

Selvom skabelsen af ​​matematisk analyse i slutningen af ​​det 17. århundrede devaluerede Descartes' tese om universaliteten af ​​den algebraiske tilgang, bibeholdt udvidelsen af ​​denne afhandling på et nyt, analytisk grundlag alt det bedste, der var i Descartes' pionerarbejde og gjorde det muligt med succes at anvende den nye matematik i mange naturvidenskaber [47] .

Publikationer

Første udgaver

Online tekst

Russisk oversættelse

Noter

  1. ↑ 1 2 Matematikkens historie, bind II, 1970 , s. tredive.
  2. ↑ Yushkevich A.P. Descartes and Mathematics, 1938 , s. 257.
  3. ↑ Matvievskaya G.P. Læren om tal i det middelalderlige nære og mellemøsten. - Tasjkent: FAN, 1967. - S. 28. - 344 s. Trods titlen sporer bogen talbegrebets historie siden de ældste tider.
  4. ↑ Kolmogorov A. N. Værdi // Mathematical Encyclopedia. - M . : Soviet Encyclopedia, 1977. - T. 1.
  5. ↑ Matematikkens historie. Fra oldtiden til begyndelsen af ​​den nye tidsalder // Mathematics History / Redigeret af A.P. Yushkevich , i tre bind. - M. : Nauka, 1970. - T. I. - S. 78.
  6. ↑ Bashmakova I. G. Forelæsninger om matematikkens historie i det antikke Grækenland // Historisk og matematisk forskning . - M .: Fizmatgiz , 1958. - Nr. 11 . - S. 309-323 .
  7. ↑ 1 2 Yushkevich A.P. Descartes and Mathematics, 1938 , s. 279-282.
  8. ↑ Scott, JF René Descartes' videnskabelige arbejde. - New York: Garland, 1987. - ISBN 0824046722 .
  9. ↑ 12 Mac Tutor .
  10. ↑ Fra algebraens historie i XVI-XVII århundreder, 1979 , s. 147-148.
  11. ↑ Fra algebraens historie i XVI-XVII århundreder, 1979 , s. 143-144.
  12. ↑ Stillwell D. Matematik og dens historie. - Moskva-Izhevsk: Institut for computerforskning, 2004. - S. 127. - 530 s.
  13. ↑ Yushkevich A.P. Descartes and Mathematics, 1938 , s. 205, 227, 290-292.
  14. ↑ Zeiten G. G., 1938 , s. 211.
  15. ↑ History of Mathematics, bind II, 1970 , s. 33, 43.
  16. ↑ 1 2 3 Yushkevich A.P. Descartes and Mathematics, 1938 , s. 281-282.
  17. ↑ Vileitner G., 1960 , s. 58.
  18. ↑ Yushkevich A.P. Descartes and Mathematics, 1938 , s. 283.
  19. ↑ 1 2 Matematikkens historie, bind II, 1970 , s. 35-36.
  20. ↑ Yushkevich A.P. Descartes and Mathematics, 1938 , s. 293.
  21. ↑ 1 2 Matematikkens historie, bind II, 1970 , s. 103-104.
  22. ↑ 1 2 Matematikkens historie, bind II, 1970 , s. 106-109.
  23. ↑ 1 2 3 Yushkevich A.P. Descartes and Mathematics, 1938 , s. 287.
  24. ↑ Geometry, 1938 , s. 215.
  25. ↑ Vileitner G., 1960 , s. 232, 247.
  26. ↑ History of Mathematics, bind II, 1970 , s. 113.
  27. ↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §315.
  28. ↑ 1 2 Matematikkens historie, bind II, 1970 , s. 40-46.
  29. ↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007 , §392.
  30. ↑ Geometry, 1938 , s. fjorten.
  31. ↑ Vileitner G., 1960 , s. 216-218.
  32. ↑ Yushkevich A.P. Descartes and Mathematics, 1938 , s. 285.
  33. ↑ 1 2 Yushkevich A.P. Descartes and Mathematics, 1938 , s. 289.
  34. ↑ Vileitner G., 1960 , s. 218-221.
  35. ↑ Geometry, 1938 , s. 49.
  36. ^ Originalt fransk citat : "la proportion, qui est entre les droites & les courbes n'estant pas connuë, & mesme ie croy ne le pouuant estre par les hommes", se Descartes, René. Discours de la metode... . - 1637. - S. 340.
  37. ↑ History of Mathematics, bind II, 1970 , s. 191-192.
  38. ↑ 1 2 3 Mathematics History, bind II, 1970 , s. 42-45.
  39. ↑ Rybnikov K. A. Matematikkens historie i to bind. - M. : Red. Moscow State University, 1960. - T. I. - S. 135.
  40. ↑ Zeiten G. G., 1938 , s. 221-223.
  41. ↑ Geometry, 1938 , s. 113.
  42. ↑ Zeiten G. G., 1938 , s. 228-230.
  43. ↑ Vileitner G., 1960 , s. 222-238.
  44. ↑ Stillwell D. Matematik og dens historie. - Moskva-Izhevsk: Institut for computerforskning, 2004. - S. 166. - 530 s.
  45. ↑ Boyer C. B. The History of the Calculus og dens konceptuelle udvikling. - Dover Publications, inc., 1949. - S. 207-208. — 346 s.
  46. ↑ Filippov M. M. Leibniz: Hans liv og arbejde: social, videnskabelig og filosofisk aktivitet. Kapitel III. - Sankt Petersborg.  : Ed. F. Pavlenkova. — 96 s. - ( ZhZL ; udgave 129).
  47. ↑ Yushkevich A.P. Descartes and Mathematics, 1938 , s. 292-293.

Litteratur

Links