Ortocenter

Ortocenter
Højder og ortocenter
barycentriske koordinater	$\tan A:\tan B:\tan C$
Trilineære koordinater	${\frac {1}{\cos A)):{\frac {1}{\cos B)):{\frac {1}{\cos C))$
ECT kode	X(4)
Forbundne prikker
isogonalt konjugeret	midten af den omskrevne cirkel
Yderligere	midten af den omskrevne cirkel
Antikomplementær	de Longchamp point

Orthocenter (fra anden græsk ὀρθός "lige") - skæringspunktet mellem højderne af en trekant eller deres forlængelser. Traditionelt betegnet med det latinske bogstav . Afhængigt af typen af trekant kan orthocentret være inde i trekanten (i en spidsvinklet), uden for den (i en stumpvinklet) eller falde sammen med toppunktet (i et rektangulært falder det sammen med toppunktet). i en ret vinkel). Ortocentret refererer til de bemærkelsesværdige punkter i en trekant og er opført i Clark Kimberlings Encyclopedia of Triangle Centres som punkt X(4). $H$

Egenskaber

Hvis punktet i de fire punkter , , , er skæringspunktet for trekantens højder , så er et hvilket som helst af de fire punkter orthocentret af trekanten dannet af de tre andre punkter. En sådan firdobling kaldes undertiden et ortocentrisk system af punkter (se figur). $EN$ $B$ $C$ $D$ $D$ $ABC$
- Desuden, for enhver opdeling af sættet af et ortocentrisk system af punkter i f.eks. to par, og eller for enhver anden lignende opdeling, de resulterende to segmenter af linjer med ender ved de givne punkter af sættene (i vores tilfælde vinkelret ) er altid vinkelrette, uanset valget af disse to par $\{A,B,C,D\}$ ${\displaystyle \{B,C\))$ ${\displaystyle \{A,D\))$ $f.Kr$ $AD$
- Radierne af cirkler, der passerer gennem tre punkter i et ortocentrisk system, er ens (en konsekvens af Hamiltons sætning for Euler-cirklen ). De omtales ofte som Johnson-cirkler .
- Det sidste udsagn kan formuleres som følger: Tre linjestykker, der forbinder ortocentret med toppunkterne i en spidsvinklet trekant, deler det i tre trekanter med lige store radier af de omskrevne cirkler (en konsekvens af Hamiltons sætning for Euler-cirklen ). I dette tilfælde er den samme radius af disse tre cirkler lig med radius af den omskrevne cirkel omkring den oprindelige spidsvinklede trekant.

Ortocentret ligger på samme linje som tyngdepunktet , midten af den omskrevne cirkel og midten af cirklen med ni punkter (se Euler-linjen ).
Ortocentret af en spids trekant er midten af cirklen indskrevet i dens ortotrekant .
Centrum af en cirkel, der er omskrevet om en trekant, fungerer som orthocentret af en trekant med spidser i midtpunkterne af siderne af den givne trekant. Den sidste trekant kaldes en ekstra trekant i forhold til den første trekant.
Den sidste egenskab kan formuleres som følger: Centret af cirklen afgrænset om trekanten fungerer som orthocenter for den ekstra trekant .
Punkter, der er symmetriske med trekantens ortocenter med hensyn til dens sider, ligger på den omskrevne cirkel (se figur) [1] .
Punkter, der er symmetriske med trekantens ortocenter med hensyn til sidernes midtpunkter, ligger også på den omskrevne cirkel og falder sammen med punkter diametralt modsat de tilsvarende toppunkter.
Hvis er midten af den omskrevne cirkel , så . $O$ $\trekant ABC$ $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$
- $OH={\sqrt {R^{2}-8R^{2}\cos A\cos B\cos C))={\sqrt {9R^{2}-(a^{2}+b ^{2}+c^{2})}}$ [2] [3] :s. 449 , hvor er radius af den omskrevne cirkel ; er længderne af trekantens sider; er trekantens indre vinkler. $R$ $a,b,c$ $A,B,C$
Med isogonal konjugation går ortocentret til midten af den omskrevne cirkel.
Ethvert segment trukket fra orthocenteret til skæringspunktet med den omskrevne cirkel er altid halveret af Euler-cirklen . Dette følger af den kendsgerning, at orthocentret er centrum for homoteten af disse to cirkler med koefficient . $1/2$
Fire parvis skærende linjer, hvoraf ikke tre går gennem det samme punkt (firkant), danner fire trekanter, når de skærer hinanden. Deres ortocentre ligger på den samme lige linje ( på Aubert-linjen ).
Hvis vi antager, at trekantens orthocenter deler den første højde i dele af længde og , den anden højde i dele af længde og , den tredje højde i dele af længde og , så [4] [5] . $u$ $v$ $w$ $x$ $y$ $z$ $uv=wx=yz$
Ligningskæden i sidste afsnit: betyder i det væsentlige, at de tre par af segmenter, som ortocentret deler de tre højder af en spidsvinklet trekant i, overholder reglen om akkorder , der skærer inde i cirklen, for eksempel :. Herfra følger det automatisk, at det gennem de fire ender af to højder af en spidsvinklet trekant altid er muligt at tegne en cirkel (højderne i den vil være krydsende akkorder). Det viser sig, at dette udsagn gælder for både stumpe og retvinklede trekanter. $uv=wx=yz$ $uv=wx$
Afstanden fra siden til midten af den omskrevne cirkel er halvdelen af afstanden fra det modsatte toppunkt til ortocentret [6] [7] .
Summen af kvadraterne af afstandene fra hjørnerne til ortocenteret plus summen af kvadraterne på siderne er lig med tolv kvadrater af radius af den omskrevne cirkel [8] .
De tre baser af højderne af en spidsvinklet trekant, eller de tre projektioner af orthocenteret på siderne af trekanten, danner en ortotrekant .

Den trilineære polar af ortocenteret er den ortiske akse (se figur) $DEF$

Fire ortocentre af fire trekanter dannet af fire parvis skærende lige linjer, hvoraf ikke tre passerer gennem det samme punkt, ligger på én ret linje ( Aubers linie i firkanten ) . De samme fire trekanter bruges her som i Miquel-punktet .

Der er en Carnot formel [9] : $R+r=k_{a}+k_{b}+k_{c}={\frac {1}{2))(d_{A}+d_{B}+d_{C})$ ,

hvor , , er afstandene fra midten af den omskrevne cirkel , henholdsvis til siderne , , af trekanten, , , er afstandene fra henholdsvis orthocenteret til trekantens hjørner , , .

{\displaystyle k_{a))

{\displaystyle k_{b))

{\displaystyle k_{c))

-en

b

c

d_{A}

d_{B}

d_{C}

EN

B

C

Afstanden fra midten af den omskrevne cirkel til siden er: $-en$ $k_{a}={\frac {a}{2\operatørnavn {tg} A}}$ ;

afstanden fra ortocentret til toppen er: $EN$ $d_{A}={\frac {a}{\operatørnavn {tg} A}}$ .

Ortocentrisk system . Her er O 1 , O 2 , O 3 og O 4 centrene for cirklerne i fire mulige trekanter dannet ud fra ortocentriske punkter A 1 , A 2 , A 3 og A 4 (se fig.). Tre af dem er hjørnerne i den oprindelige trekant, og den fjerde er dens ortocenter. Radierne af alle fire cirkler er lige store. Centrene i tre af de fire cirkler (bortset fra den beskrevne oprindelige trekant) danner hjørnerne af en trekant, der er lig med den oprindelige, med siderne parvis parallelle med siderne af den oprindelige trekant.

*Hvis linjen ℓ af orthopolen P passerer gennem trekantens orthocenter Q , så ligger punktet, der er placeret i fortsættelsen af segmentet PQ , der forbinder orthopolen med orthocentret på den anden side i en afstand svarende til PQ på Euler-cirklen af denne trekant. [ti]

Historie

Udsagnet: "Alle 3 højder af en trekant skærer hinanden på ét punkt," nu kaldet ortocenteret , mangler fra Euklids elementer . Ortocentret blev brugt for første gang i græsk matematik i Archimedes' Lemmas Bog , selvom Arkimedes ikke gav eksplicit bevis for, at ortocentret eksisterede.

Nogle historikere tilskriver dette udsagn Arkimedes og kalder det Arkimedes' sætning [11] . Indtil midten af det nittende århundrede blev ortocentret ofte kaldt det arkimedeiske punkt [12] .

I en eksplicit form findes denne erklæring (“Alle 3 højder af en trekant skærer hinanden i ét punkt”) i Proclus (410-485) - Euklids kommentator [13] .

Andre matematikhistorikere anser William Chapple for at være forfatteren til det første bevis.( Miscellanea Curiosa Mathematica , 1749) [14] .

Udtrykket orthocenter blev først brugt af W. H. Besanti "Koniske snit undersøgt geometrisk (1869)" ( [15] ) [16] .

Se også

Noter

↑ Honsberger, 1995 , s. atten.
↑ Marie-Nicole Gras, "Afstande mellem extoucheringstrekantens cirkumcenter og de klassiske centre", Forum Geometricorum 14 (2014), 51-61. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html Arkiveret 28. april 2021 på Wayback Machine
↑ Smith, Geoff og Leversha, Gerry, "Euler and triangle geometry", Mathematical Gazette 91, november 2007, 436-452.
↑ Altshiller-Court, 2007 , s. 94.
↑ Honsberger, 1995 , s. tyve.
↑ Altshiller-Court, 2007 , s. 99.
↑ Honsberger, 1995 , s. 17, 23.
↑ Altshiller-Court, 2007 , s. 102.
↑ Zetel S. I. Ny geometri af en trekant. En guide til lærere . - 2. udg. - M . : Uchpedgiz, 1962. - S. 120-125 (opgave), afsnit 57, s. 73. (Russisk)
↑ College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. (Afsnit: G. Ortopolen. Punkt. 699. Sætning. Fig. 156. S.290-291). Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. 292 s.
↑ Efremov D. Ny geometri af en trekant. Odessa, 1902, s. 9, s. 16. Højder af en trekant. Arkimedes sætning.
↑ Maureen T. Carroll, Elyn Rykken. Geometri: Linjen og cirklen . Dato for adgang: 10. april 2020. (ubestemt)
↑ Nathan Altshiller-Court. College geometri. En introduktion til trekantens og cirklens moderne geometri. anden version. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. 2007. S. 298, § 175.
↑ Bogomolny, Alexander, A Possibly First Proof of Concurrence of Altitudes , < https://www.cut-the-knot.org/triangle/Chapple.shtml > . Hentet 17. november 2019. Arkiveret 7. maj 2021 på Wayback Machine
↑ Conic Sections Treated Geometrically, 1869. Ref: 1895: Keglesnit behandlet geometrisk Arkiveret 18. april 2018 på Wayback Machine fra Cornell University Historical Math Monographs.
↑ Nathan Altshiller-Court. College geometri. En introduktion til trekantens og cirklens moderne geometri. anden version. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. 2007. § 176, pkt. 94; § 176, pkt. 298

Litteratur

Ponarin Ya. P. Elementær geometri. I 2 bind - M . : MTSNMO , 2004. - S. 37-39. — ISBN 5-94057-170-0 .
Nathan Altshiller-Court. College geometri: en introduktion til den moderne geometri af trekanten og cirklen . - Dover Publications, Inc., 2007. - ISBN 0-486-45805-9 .
Ross Honsberger. Episoder i det nittende og tyvende århundredes euklidiske geometri . - Mathematical Association of America , 1995. - Vol. 37. - S. 17-26. - (Nyt matematisk bibliotek). - ISBN 0-88385-639-5 (Vol. 37). - ISBN 0-88385-600-X (komplet sæt).

Links

Levende plan
Weisstein, Eric W. Orthocenter (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
Bernard Gibert Circumcubic K006 (utilgængeligt link)
Clark Kimberling, Encyclopedia of triangle centre .
Weisstein, Eric W. "Ortocentrisk system." Fra MathWorld - En Wolfram-webressource. [en]

Trekant
Typer af trekanter	Rektangulær Ligebenet Ligesidet Ligebenet rektangulær
Vidunderlige linjer i en trekant	Median Højde Bisector Midtvinkelret midterste linje Omskrevne og indskrevne cirkler Simsons lige linje Euler linje Simediana Cheviana
Bemærkelsesværdige punkter i trekanten	Ortocenter Centroid Incenter Brocard punkt Vecten punkt Point Gergonne Lemoine punkt Miquel point Nagel point Napoleon peger Torricellis punkter Ni punkt cirkel centrum Spieker Center Encyclopedia of Triangle Centres
Grundlæggende teoremer	trekant ulighed Tegn på lighed mellem trekanter Løsning af trekanter Trekantets udvendige vinkelsætning Trekantsummen af vinkler sætning Pythagoras sætning Cosinus-sætning Sinus-sætning Projektionssætningen Herons formel
Yderligere teoremer	Van Obels sætning Menelaos sætning Reuschle (Terkema) sætning Stewarts teorem Tangentsætning Cotangenssætning Cevas sætning Mollweide formler
Generaliseringer	sfærisk trekant hyperbolsk trekant Simplex