Integrationsmetoder

At finde den nøjagtige antiafledte (eller integral ) af vilkårlige funktioner er en mere kompliceret procedure end "differentiering", det vil sige at finde den afledede . Ofte er det umuligt at udtrykke integralet i elementære funktioner .

Direkte integration

Direkte integration er en metode, hvor integralet, ved identiske transformationer af integraden (eller udtrykket) og anvendelse af integralets egenskaber, reduceres til et eller flere integraler af elementære funktioner .

Variabel substitutionsmetode (substitutionsmetode)

Substitutionsintegrationsmetoden består i at indføre en ny integrationsvariabel. I dette tilfælde reduceres det givne integral til integralet af den elementære funktion eller reduceres til det.

Der er ingen generelle metoder til at vælge substitutioner - evnen til korrekt at bestemme substitutionen erhverves ved praksis.

Lad det kræves at beregne integralet Lad os lave en substitution hvor er en funktion, der har en kontinuert afledt . $\int F(x)dx.$ $x=\varphi (t),$ $\varphi (t)$

Derefter og baseret på invariansegenskaben for den ubestemte integral integrationsformel opnår vi integrationsformlen ved substitution: $dx=\varphi '(t)\cdot dt$

\int F(x)dx=\int F(\varphi (t))\cdot \varphi '(t)dt.

Denne metode kaldes også differentialtegnsmetoden og skrives som følger: view-funktionen er integreret som følger: $v(u(x))$

\int v(u(x))dx=\int v(u(x)){\frac {d(u(x))}{d(u(x))/dx))=\int v(u(x)){\frac {d(u(x))}{u'_{x))}.

Eksempel: Find $\int x{\sqrt {x-3}}\,dx$

Løsning: Lad , så . ${\sqrt {x-3}}=t$ $x-3=t^{2},x=3+t^{2},dx=2tdt$

$\int x{\sqrt {x-3}}\,dx=\int (t^{2}+3)t\cdot 2tdt=2\int (t^{4}+3t^{2} )dt=2\int t^{4}dt+6\int t^{2}dt={\frac {2}{5}}t^{5}+{\frac {6}{3}}t ^{3}+C={\frac {2}{5}}{\sqrt {x-3}}^{5}+2{\sqrt {x-3}}^{3}+C$

Generelt bruges forskellige substitutioner ofte til at beregne integraler, der indeholder radikaler. Et andet eksempel er Abel- substitutionen

$t={d({\sqrt {x^{2}+px+q))) \over dx},$

bruges til at beregne integraler af formen

$\int {dx \over (x^{2}+px+q)^{m \over 2)),$

hvor m er et naturligt tal [1] . Nogle gange anvendes Euler-substitutioner . Se også differentiel binomial integration nedenfor .

Integration af nogle trigonometriske funktioner

Lad det være nødvendigt at integrere udtrykket , hvor R er en rationel funktion af to variable. Det er praktisk at beregne et sådant integral ved substitutionsmetoden: $R(\sin x,\cos x)$

hvis , så anvendes substitutionen [2] ; $R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$ $t=\cos x$
hvis , så anvendes substitutionen [2] ; $R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$ $t=\sin x$
hvis , så anvendes substitutionen [3] . $R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x)$ $t=\operatørnavn {tg} x$

Et særligt tilfælde af denne regel:

$\int \sin ^{m}x\cdot \cos ^{n}x\cdot dx$

Valget af erstatning foretages som følger:

hvis m er ulige og positiv, er det mere bekvemt at foretage en substitution ; $\cos x=t$
hvis n er ulige og positiv, er det mere bekvemt at foretage en substitution ; $\sin x=t$
hvis både n og m er lige, er det mere bekvemt at foretage en substitution . $\operatørnavn {tg} x=t$

Eksempel: . $I=\int \sin ^{2}x\cdot \cos x\cdot dx$

Løsning: Lad ; derefter og , hvor C er enhver konstant. $\sin x=t$ $\cos x\cdot dx=dt$ $I=\int t^{2}dt={\frac {t^{3}}{3}}+C={\frac {\sin ^{3}x}{3}}+C$

Integration af det differentielle binomiale

At beregne integralet af differentialbinomialet

I=\int x^{m}(a+bx^{n})^{p}\;dx,

hvor a , b er reelle tal , a m , n , p er rationelle tal , anvendes substitutionsmetoden også i følgende tre tilfælde:

$s$ er et heltal. Substitutionen bruges , er fællesnævneren for brøker og ; $x=t^{k}$ $k$ $m$ $n$
${\frac {m+1}{n))$ er et heltal. Substitutionen bruges , er nævneren af brøken . $a+bx^{n}=t^{s}$ $s$ $s$
$p+{\frac {m+1}{n}}$ er et heltal. Substitutionen bruges , er nævneren af brøken . $ax^{{-n}}+b=t^{s}$ $s$ $s$

I andre tilfælde, som P. L. Chebyshev viste i 1853 , er dette integral ikke udtrykt i elementære funktioner [4] .

Integration efter dele

Integration af dele - anvendelse af følgende formel for integration:

\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v\cdot du.

Eller:

\int u\cdot v'\cdot dx=u\cdot v-\int v\cdot u'\cdot dx.

Især ved at anvende denne formel n gange finder vi integralet

\int P_{{n+1}}(x)e^{x}\,dx,

hvor er et polynomium af th grad. $P_{{n+1}}(x)$ $(n+1)$

Eksempel: Find integralet . $\int x\cdot \ln x\,dx$

Løsning: For at finde dette integral anvender vi metoden til integration af dele, for dette vil vi antage, at og derefter, ifølge formlen for integration efter dele, opnår vi ${\displaystyle u=\ln x\Højrepil \displaystyle {du={\frac {dx}{x))))$ $dv=xdx\Rightarrow \int dv=\int xdx\Rightarrow v={\frac {x^{2}}{2}}$ $\int x\cdot \ln xdx={\frac {x^{2}\ln x}{2}}-{\frac {1}{2}}\int x^{2}\cdot { \frac {dx}{x}}={\frac {x^{2}\ln x}{2}}-{\frac {x^{2}}{4}}+C$

Integration af rationelle brøker

Det ubestemte integral af enhver rationel brøk på ethvert interval, hvor brøkens nævner ikke forsvinder, eksisterer og udtrykkes i form af elementære funktioner, nemlig det er den algebraiske sum af superpositionen af rationelle brøker, arctangenter og rationelle logaritmer.

Selve metoden består i at dekomponere en rationel brøk til en sum af simple brøker.

Enhver egentlig rationel brøk, hvis nævner er medregnet ${\tfrac {P(x)}{Q(x)))$

Q(x)=\prod _{{i=1}}^{{n}}(x-x_{i})^{{k_{i}}}\cdot \prod _{{j=1}} ^{{m}}(x^{2}+p_{j}x+q_{j})^{{s_{j}}}

kan repræsenteres (og entydigt) som følgende sum af simple brøker:

{\frac {P(x)}{Q(x)}}=\sum _{{i=1}}^{{n}}{\sum _{{j=1}}^{{k_{n ))}{{\frac {A_{{ij}}}{(x-x_{i})^{j}}}}}+\sum _{{l=1}}^{{m}}{ \sum _{{t=1}}^{{s_{m}}}{{\frac {\alpha _{{lt}}+\beta _{{lt}}x}{(x^{2} +p_{l}x+q_{l})^{t}}}}}

hvor er nogle reelle koefficienter, normalt beregnet ved hjælp af metoden med ubestemte koefficienter . $A_{{ij}},\alpha _{{lt}},\beta _{{lt}}$

Eksempel : $\int {\frac {2x+3}{x^{2}-9}}\,dx.$

Løsning: Vi udvider integranden til simple brøker:

${\frac {2x+3}{x^{2}-9}}={\frac {2x+3}{(x-3)(x+3)))={\frac {\alpha }{( x-3)))+{\frac {\beta }{(x+3)))$

Vi grupperer vilkårene og sætter lighedstegn mellem koefficienterne for vilkårene med de samme potenser:

$\alfa (x+3)+\beta (x-3)=2x+3$

$(\alpha +\beta )x+3\alpha -3\beta =2x+3$

følgelig ${\begin{cases}\alpha +\beta =2\\3\alpha -3\beta =3\\\end{cases)),{\begin{cases}\alpha ={\frac {3}{2 }}\\\beta ={\frac {1}{2}}\\\end{cases}}$

Derefter

{\frac {2x+3}{x^{2}-9}}={\frac {{\frac {3}{2}}}{x-3}}+{\frac {{\frac {1 }{2}}}{x+3}}

Nu er det nemt at beregne det oprindelige integral $\int {\frac {2x+3}{x^{2}-9}}\,dx={\frac {3}{2}}\int {\frac {dx}{x-3}}+{ \frac {1}{2}}\int {\frac {dx}{x+3}}={\frac {3}{2}}\ln |x-3|+{\frac {1}{2 }}\ln |x+3|+C={\frac {1}{2}}\ln |(x-3)^{3}(x+3)|+C$

Integration af elementære funktioner

For at finde antiderivatet af en elementær funktion som en elementær funktion (eller bestemme, at antiderivatet ikke er elementært), blev Risch-algoritmen udviklet. Det er helt eller delvist implementeret i mange computeralgebrasystemer .

Se også

Noter

↑ Vinogradova I. A., Olehnik S. N., Sadovnichiy V. A. Opgaver og øvelser i matematisk analyse. Bog 1. - 2. udg. - M . : Højere skole , 2000. - S. 213.
↑ 1 2 Se begrundelse i bogen: I. M. Uvarenkov, M. Z. Maller. Kursus i matematisk analyse. - M . : Uddannelse , 1966. - T. 1. - S. 459-460.
↑ Se begrundelse i bogen: V. A. Ilyin, E. G. Poznyak. Grundlæggende om matematisk analyse. - 2. udg. - M . : Nauka , 1967. - S. 219. - (Kursus i højere matematik og matematisk fysik).
↑ P. Tchebichef. Sur l'intégration des différentielles irrationnelles (fransk) // Journal de mathématiques pures et appliquées :magasin. - 1853. - Bd. XVIII . - S. 87-111 .