En isogonal eller vertex-transitiv polytop er en polytop , hvis toppunkter alle er ækvivalente. Især alle hjørner er omgivet af den samme slags facetter i samme (eller omvendt) rækkefølge og med de samme vinkler mellem de respektive flader. Udtrykket kan også anvendes på polygoner eller flisebelægninger og så videre.
Formelt siger vi, at der for alle to hjørner er en polytopsymmetri , der kortlægger det første hjørne isometrisk med det andet. En anden måde at sige det samme på er, at automorfigruppen i en polytop er transitiv på sine hjørner , eller at hjørnerne ligger inden for den samme symmetribane .
Alle hjørner af en endelig n - dimensional isogonal figur findes på en (n-1)-kugle .
Udtrykket isogonal har længe været brugt i sammenhæng med polyedre. Udtrykket vertex-transitiv er et synonym lånt fra moderne ideer om symmetrigrupper og grafteori .
Den firesidede roterede kuppel - som ikke er isogonal - viser, at udsagnet "alle hjørner ser ens ud" ikke er så restriktiv som definitionen ovenfor, som involverer en isometrigruppe, der bevarer et polyeder eller flisebelægning.
| Isogonale uendeligheder |
|---|
| Isogonal rumlig uendelighed |
Alle regulære polygoner , uendeligheder og regulære stjernepolygoner er isogonale . Den dobbelte figur for en isogonal polygon er en isotoksal polygon .
Nogle polygoner med et lige antal sider og uendeligheder med skiftevis to sidelængder, såsom et rektangel , er isogonale .
Alle plane isogonale 2n-goner har dihedral symmetri (D n , n =2,3,...) med symmetriakser gennem sidernes midtpunkter.
| D2 _ | D3 _ | D4 _ | D7 _ |
|---|---|---|---|
Isogonale rektangler og krydsede rektangler har samme toppunktsarrangement |
Isogonalt hexagram med 6 identiske spidser og to kantlængder [1] |
Isogonal konveks ottekant med blå og røde radiale symmetriakser |
En isogonal "stjerne" quadradecagon med en type toppunkt og to typer kanter [2] . |
| Deformeret firkantet mosaik |
| Deformeret trunkeret firkantet mosaik |
Et isogonalt polyeder (3D) og en 2D flisebelægning har et enkelt toppunkt. Et isogonalt polyeder med regelmæssige flader er også et ensartet polyeder og kan repræsenteres ved toppunktskonfigurationsnotation ved at opregne fladerne omkring hvert toppunkt i rækkefølge. Geometrisk deformerede varianter af ensartede polyedre og flisebelægninger kan også specificeres ved en toppunktskonfiguration.
| D 3d , ordre 12 | T h , ordre 24 | O h , ordre 48 | |
|---|---|---|---|
| 4.4.6 | 3.4.4.4 | 4.6.8 | 3.8.8 |
Deformeret sekskantet prisme |
Deformeret rhombicuboctahedron |
Let afkortet cuboctahedron |
Supertrunkeret terning |
Isogonale 3D polytoper og 2D flisebelægninger kan klassificeres yderligere
Definitionerne af isogonale figurer kan udvides til højere dimensionelle polytoper og honningkager . Generelt er alle ensartede polyedre isogonale , såsom ensartede 4-polytoper og konvekse ensartede honeycombs .
Den dobbelte polytop for en isogonal polytop er isotopisk , dvs. facet transitiv .
En polytop eller honeycomb siges at være k-isogonal, hvis dens toppunkter danner k transitivitetsklasser. Et mere restriktivt udtryk, k-homogen er defineret som en k-isogonal figur , der kun består af regulære polygoner . De kan repræsenteres visuelt af forskellige farver med ensartet farve .
Dette afkortede rombiske dodekaeder er 2-isogonalt , fordi det indeholder to toppunkts transitivitetsklasser. Dette polyeder består af firkanter og oblate sekskanter . |
Denne semi-regulære flisebelægning er også 2-isogonal (og 2-homogen ). Denne mosaik består af regulære trekantede og regulære sekskantede flader. |
2-isogonalt 9/4 enneagram |